圆中的分类讨论习题

细说圆中的分类讨论题……之两解情况钱漪由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下：一、根据点与圆的位置分类例1、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2,则该圆的半径为。分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。(1)当点P在圆内时；(2)当点P在圆外时；所以，圆O的直径为2或6。二、三角形与圆心的位置关系例2：已知AABC内接于圆O,/OBC=35。，则/A的度数为分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在AABC的内部和外部两种情况。解：(1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3,/OBC=35。・••/BOC=110。/./BAC=55。图3

图3（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4,/OBC=35。/./BOC=110°「./BPC=55。/./BAC=125。所以/A的度数是55°或125°。练习：已知圆内接AABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）三、角与圆心的位置关系图6三、角与圆心的位置关系图6例3:在半径为1的。例3:在半径为1的。O中，弦AB、AC的长分别为＜3和v：2，则NBAC的度数是分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图7,当圆心在/BAC内部时，连接AO并延长交。O于E…T1…在RtAABE中，由勾股定理得：BE=1=5AE，所以NBAE=30°同理，在RtACAE中，EC=AC，所以NEAC=45°，/BAC=30°+45°=75°当圆心O在NBAC的外部时（NBAC'），由轴对称性可知：/BAC'/BAC'=45°—30°=15°所以NBAC为75或15四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例4.圆O的直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,CD=8cm，求AB和CD的距离。分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8,过点O作OM1AB交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得RtAOMB，RtAOND，然后由勾股定理求得：OM=4cm，ON=3cm，故AB和CD的距离为1cm。（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图9,仍可求得OM=4cm，ON=3cm。故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7cm。五、圆与圆的位置关系例5、已知圆O］和圆。2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O］的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O］的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O］的半径为3cm。（2）当圆O2是小圆时，则圆O］的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O］的半径为5cm。

所以圆。1的半径是3cm或5cm。例6、两圆相切，半径分别为4cm和6cm,求两圆的圆心距 。分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6-4=2cm。（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6+4=10cm。所以两圆的圆心距是2cm或10cm。例7、相交两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充：1、弦所对弧的优劣情况不确定已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。20cm深度。20cm或80cm2、已知圆q和圆q相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆q的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。解：（1）当圆O2是大圆时，则圆01的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。（2）当圆O2是小圆时，则圆O］的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆

O1的半径为5cm。所以圆O1的半径是3cm或5cm。3、相交两圆的半径分别为8和5,公共弦为8,这两个圆的圆心距等于。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。解：⑴当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6,设AB是公共弦，OR交AB

4、如图8,在平面直角坐标系中，P是经过O(0,0),A的一个动点(P与O、B不重合)，则NOAB=度，NOPB=度。解：依题意可知4AOB是等腰直角三角形，所以/OAB=45°…当动点P在OAB上时，NOPB=NOAB=45°(0,2),(0,2),B(2,0)的圆上当动点P在OB上时，NOPB=180°—45°=135°故NOPB为45°或135°5、已知半径为4和2<2的两圆相交，公共弦长为4,则两圆的圆心距为分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10,在RtAO]AC中，01c;JO]A2—AC2;[42—2在RtAO]AC中，13 1分析：由于6<y，即CD<-AB,所以点D在直径上的位置有两种情况:22解：（1）如图3，当点D和点A在圆心O的同旁时（AD<BD）.在RtACOD在RtACOD中，OD=yCO2—CD2=；/13、 , 5，（一）2—62=-，则AD=OA-OD=4；:2 2（2）如图4，当点D和点A在圆心的两旁时（AD>BD）. 5一, 13 5同理可求OD=~，则AD=AO+OD=~+5=9.乙 乙 乙故所求的AD的长为4或9.点评：图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性地思考问题.如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个.本题可以拓展到整圆：已知：。0的半径为5,AB为直径，弦CD±AB,CD=6,则AE=（1或9）7、如图,在平面直角坐标系中,已知。C的半径为r,直线l:y=；x-4，与x轴、y轴分别交于A、B两点.（1）当r=1.5时，将。C从点C与坐标原点重合开始