方程的根与函数的零点

关于方程的根与函数的零点第一页，共二十八页，2022年，8月28日问题探究

方程3x+3=0的根与函数y=3x+3的图象有什么关系？第二页，共二十八页，2022年，8月28日-112-2问题探究第三页，共二十八页，2022年，8月28日

我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？问题探究第四页，共二十八页，2022年，8月28日

方程的根

和

函数的零点第五页，共二十八页，2022年，8月28日

我们知道，令一个一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y＝0，则得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。思考一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？思考讨论第六页，共二十八页，2022年，8月28日以a＞0为例方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点结论：一元二次方程的实数根就是 相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．归纳：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oy423-112xOxy423-112Oxy两个交点(-1,0)，(3,0)一个交点(1,0)没有交点判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例!第七页，共二十八页，2022年，8月28日函数零点的定义：

对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint)。注意：零点指的是一个实数。零点是点吗？第八页，共二十八页，2022年，8月28日互动交流2、区别：1、联系：①数值上相等：求函数零点就是求方程的根.②存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点①零点对于函数而言，根对于方程而言．②数目不一定相等问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函数f(x)=2-x-x的零点!第九页，共二十八页，2022年，8月28日数学建构方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点．

函数y=f(x)的图象与x轴有交点辨析练习：判断下列说法的正误：1.函数y=x+1有零点x=-1；2.函数y=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0)；3.函数y=x2-2x-3的零点是-1和3；4..函数没有零点.xyO第十页，共二十八页，2022年，8月28日△>0△=0判别式△=b2－4ac方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象函数的零点个数△<0两个没有实根没有两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2一个探究以a＞0为例3、零点的求法图像法代数法第十一页，共二十八页，2022年，8月28日求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和30例1求函数f（x）=lg(x-1)的零点求函数零点的步骤：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)写出零点学以致用第十二页，共二十八页，2022年，8月28日甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了吗?过了几趟?乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河?过了几趟?问题

甲甲乙乙观察与探究

甲

甲甲

甲第十三页，共二十八页，2022年，8月28日观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____

0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)_____

0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有<xyOabcd零点存在性的探究：问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？

第十四页，共二十八页，2022年，8月28日观察下面函数图象思考:虽然函数f(x)满足了f(-1)f(1)<0,但它在区间(-1,1)上却没有零点,为什么?观察与探究第十五页，共二十八页，2022年，8月28日

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc第十六页，共二十八页，2022年，8月28日例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有f(a)·f(b)<0

（）（4）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （）abOxyabOxyabOxy画图象举反例：函数零点存在定理的三个注意点：

1函数是连续的。

2定理不可逆。

3至少存在一个零点，不排除更多。第十七页，共二十八页，2022年，8月28日例3.求证:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点.

证明:因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0

f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0且函数f(x)的图象在区间[-2,-1]上是不间断的,所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点小结论思考：能否确定函数y＝f(x)在区间(-2，-1)内存在几个零点？

几何画板

f(-2)

f(-1)<0第十八页，共二十八页，2022年，8月28日函数y=f(x)在区间[a,b]上图像连续且是单调函数且f(a)·f(b)<0问该函数在区间（a，b）内有几个零点？ab尝试画出满足条件的图形进行观察研讨新知只有一个第十九页，共二十八页，2022年，8月28日解法1：利用计算机作出函数的图像，然后判断与X轴交点的个数例4

求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)零点存在性定理的应用：几何画板第二十页，共二十八页，2022年，8月28日由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，又f(x)在区间[2,3]上连续

∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例4

求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)

解法2零点存在性定理的应用：问题6:如何说明零点的唯一性？

108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.810.012.114.2f(x)=lnx+2x－6第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日解法3：y=－2x+6y=lnx例4

求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)零点存在性定理的应用：6Ox1234y数形结合lnx+2x－6=0的根lnx=-2x+6的根可看成y=lnx与y=-2x+6图像交点的横坐标几何画板第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日学以致用求f(x)=+3x-7零点的个数x2∴

f(1)·f(2)<0又f(x)在区间[1,2]上连续∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点方法一：∵f(1)<0f(2)>0∴函数f(x)仅有一个零点∵函数f(x)在定义域(-∞,+∞)内是增函数几何画板第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日方法二：x0－2－4－6105y241086121487643192学以致用拓展延伸:函数f(x)=+3x-7在区间(1,2)上有零点，那么它更靠近那个端点呢？x2几何画板第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日归纳整理，整体认识本节课你收获了什么？第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日一个关系：函数零点与方程根的关系:函数方程零点根数值存在性个数两种思想：函数方程思想；数形结合思想．三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．归纳整理，整体认识第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日布置作业：1．利用函数图象判断下列方程有几