自动控制原理习题汇总

A-7-1设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性（见图7-15（a））对系统稳定性的影响。解由等效增益定义知，等效增益曲线如图7-15（b）所示，其中。设系统不存在非线性时，临界稳定增益为，于是=1\*GB3①若<，如图7-15（b）所示，则因实际增益小于临界增益，所以系统稳定。=2\*GB3②若>，如图7-15（c）所示，其中=。则当时，因>，系统不稳定，发散，当增加至使。此时<，系统稳定，收敛；当减少至使时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现为振幅的自激振荡。=3\*GB3③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系统是否发散，现系统都不会发散。但可能产生一个以为振幅的自激振荡。A-7-2设系统微分方程为，初始条件为，，试用消去时间变量的办法求该系统相轨迹。解因为，所以特征根，（7-33）（7-34）因为==，==所以=，=由式（7-33），式（7-34）得+=+=则系统相轨迹方程为+=相轨迹如图7-16所示，为一簇同心椭圆，椭圆的大小与初始条件有关，每一个椭圆都对应着一个简谐振动。A-7-3已知非线性系统微分方程为+=0，试用直接积分法求该系统的相轨迹。解求解步骤如下：=1\*GB3①分段微分方程：==2\*GB3②求开关线：==3\*GB3③分段求解微分方程：当时=，=，==，+=+（，）为左半面相轨迹与开关线焦点或初始条件。由相轨迹方程可见，在相平面的右半面（），相轨迹是以原点为圆心,为半径的半圆弧。当时，解法同上。相轨迹方程为-=+（，）为右半面相轨迹与开关线交点或初始条件。由相轨迹方程可见，在相平面的左半面（），相轨迹方程是双曲线方程。当=时，相轨迹为=2\*ROMANII，=3\*ROMANIII象限的对角线。

=4\*GB3④画相轨迹：相轨迹如图7-17所示。由相轨迹可见，当初始点落在第=2\*ROMANII象限的对角线上时，该系统的运动才可以达到平衡位置（0,0）.该非线性系统是不稳定的。A-7-4试用等倾线法证明（）相轨迹中有两条过原点的直线，其斜率分别为微分方程的两个特征根。解微分方程特征根为。由原方程可得=令=，由等倾线方程。可见等倾线是一束过原点的直线。这些直线的斜率为，与相轨迹斜率有关。直线相轨迹的斜率也是等倾线的斜率，故令=，由此得到因为，所以是两个实数。作为相轨迹斜率是有意义的。等倾线和是两条过原点的直线，其斜率与相轨迹相同。它们也是相轨迹（如图7-18所示），其斜率确为微分方程的两个特征根。这两条直线相轨迹是附近相轨迹的渐近线。A-7-5试绘制的相轨迹（,）。解由方程可见（7-35）满足原方程，为一条相轨迹。利用等倾线法，可求出其它相轨迹。因为，，所以。令=，得等倾线方程=。可见，等倾线为一簇水平线。当时，。由式（7-35）知，该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其它相轨迹均以此线为渐近线。当时，表明相轨迹垂直穿过轴。当时，，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为.图7-19大致示出了该系统的相轨迹。A-7-6试用等倾线法绘出的相轨迹。解由，得=。令=，得等倾线方程。等倾线为一束过原点的直线，斜率时。给定不同的，便可以得到对应等倾线的斜率。表7-5列出了不同值下等倾线的斜率和等倾线与轴的夹角。图7-20画出了取不同值时的等倾线和代表相轨迹切线方向的短线段。这些短线段确定了相平面上任一点相轨迹切线方向的方向场。设初始点为A(见图7-20)。自A点开始，按图上短线段确定的方向，依次连接A，B，C...各点直到原点。在绘图过程中，相邻两等倾线间相轨迹的斜率由这两条等倾线上相轨迹斜率之和的一半来确定。在图7-20上，系统状态从A点沿着斜率为的直线转移到B点。A-7-7设非线性系统方程为，试绘制该系统的相平面图。解由，原方程可改写为=令=，得等倾线方程，或写为。它代表了一簇过原点的抛物线。抛物线顶点在相平面的（，）点上。取为不同值时，可以得到顶点在不同位置上且过原点的抛物线。这就是对应不同值时额等倾线，如图7-21所示。A-7-8设非线性系统方程为，试用法绘出初始状态A(=0，=2)出发的相轨迹。解由原式可知，，把原方程变为式（7-13）的形式，得=在本题中，，所以相平面横坐标为，纵坐标为。从A点开始绘图，根据式（7-36）算出===-0.25在-平面上，以（=0.25，0）点为圆心，过点A作一段小圆弧到某点B（0.1,0.94），称此点为“预测点”。根据式（7-36）可算出===在-平面上，以（=，0）点为圆心，过A点作一圆弧，此圆弧过点B（0.1,0.94）.B点便是第一段小圆弧终点。按此步骤分别作出eq\o(BC,\S\up5(⌒)),eq\o(CD,\S\up5(⌒)),eq\o(DE,\S\up5(⌒)),eq\o(EF,\S\up5(⌒)),eq\o(FG,\S\up5(⌒)),eq\o(GH,\S\up5(⌒)),,最终绘出该非线性系统从A点出发的相轨迹，如图7-22所示。A-7-9试分别绘制和的相轨迹，并比较二者有何异同（）。解=1\*GB3①，（）=0，必有=0和/或=0.由=知，奇点为=0上所有点，有无穷多个，这些非孤立奇点构成一条“奇线”。因为=0，所以。积分得，对应的相轨迹如图7-23(a)所示。=2\*GB3②由可直接绘相轨迹，如图7-23（b）所示。由图7-23可见，围着相轨迹形状是一样的，均斜率为的直线。不同之处在于图（a）中初始点可以取在相平面上任意一点，例如取，则系统沿AB运动，对应的相轨迹是图（a）中最右边那条；图（b）中当M确定后，初始点不能再相平面上任取，例如当，由原方程，只能是。当时，对应的相轨迹与图（a）一样，时图（b）中最右边的那条直线，初始点由A点运动到B。若,对应的相轨迹只能是图（b）中最左边的那条，初始点由C运动到D。A-7-10设非线性系统如图7-24（a）所示，试绘制初始点在，的相轨迹，计算这条封闭相轨迹所对应的周期，并将结果与线性无阻尼运动情况进行比较。解=1\*GB3①画相轨迹：由图7-24（b）可得开关线为。当时，，：积分可得，其中。故（7-37）在区域内，相轨迹是一顶点在，开口向左的抛物线。当时，：积分可得，由区域内的相轨迹与开关线的交点决定。由式（7-37）值，故（7-38）由上式可见，在区域内，相轨迹为水平直线。当时，：积分接触。由区域内的相轨迹与开关线的交点决定。因为区域内的相轨迹是水平直线，所以交点坐标为（）。因，故由此可见，在区域内，相轨迹是一顶点在（），开口向右的抛物线，与区域内相轨迹对称。实际上，由相轨迹对称条件可知，因与无关，所以该非线性系统相轨迹上下对称，左右对称且关于原点对称。相轨迹如图（7-24（b））所示。、=2\*GB3②计算周期T：由相轨迹可见，该系统相轨迹是一对封闭曲线，在给定初始条件下，系统以固定周期运动。由于相轨迹是对称的，所以只需要计算。设初始点为A（），另外再在相轨迹取两点：B（）C（），其中。=3\*GB3③与线性无阻尼运动比较：在线性无阻尼运动时，系统出现等幅振荡（相轨迹是椭圆），周期，与初始条件无关。在本题中，与初始条件有关。A-7-11上题中，若，试用圆弧法确定封闭相轨迹对应的运动周期。解当时，利用上题结论，绘制的相轨迹如图7-25所示，AB段相轨迹对应着系统匀速运动：。作垂线交轴于p点，以p点为圆心，以长为半径，作圆弧近似代替BC段相轨迹，量得==0.506。作垂线交轴于Q点为圆心，以长为半径，作圆弧eq\o(CD,\S\up5(⌒))近似代替CD段相轨迹，量得==0.454，于是有=4(0.5+0.506+0.454)=5.84上题中，当时，T=6。可见，本题图解法得到的结果误差不大。A-7-12求下列方程奇点，并确定奇点类型：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵解=1\*GB2⑴因为，所以由知，即奇点在坐标原点。在奇点（0,0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项，有奇点附近线性化方程为，特征根为，奇点为中心型。=2\*GB2⑵因为，由知，即奇点在坐标原点，将进行泰勒级数展开，保留一次项，有，奇点附近线性化方程为，特征根为，奇点为焦点。A-7-13设系统如图7-26所示。假设系统仅受到初始条件作用，是画出平面上的相轨迹。解=1\*GB3①球微分方程：由结构图知，所以当时，当时，，开关线为。=2\*GB3②求相轨迹方程：当时是与初始条件或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。由上式可见，在区域内相轨迹是一开口向左，顶点在e轴上的抛物线。当e<0时是与初始条件或或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。在e<0区域内相轨迹是一开口向右，顶点在e轴上的抛物线。当e=0时此时相轨迹正处于开关线上，发生突跳，设突跳时刻为，将上式在时刻积分：==由于时刻跳跃幅值有限（），故=0，==当e由负向向正运动穿过开关线，=2M。所以，在开关线上=上式表明了相轨迹在开关线上的跳跃幅度和方向。=3\*GB3③绘制相轨迹：相轨迹如图7-27所示。相轨迹在开关线上出现跳跃，幅度为2M。时，相轨迹下跳；当时，相轨迹上跳。最终相轨迹收敛于坐标原点。A-7-14设恒温箱动态结构图如图7-28所示。若要求稳定保持200℃，恒温箱由常温20℃启动，试在相平面上做出温度控制的相轨迹，并计算升温时间和保持温度的精度。解由图7-28可得下跳分段微分方程为相对应的相轨迹如图7-29所示，相轨迹在开关线上跳至另一条相轨迹。升温时间：在升温时，相轨迹沿AB运动。AB对应相轨迹方程为由相平面可见，保温精度为℃A-7-15试用相平面法分析图7-30所示下跳在β=0，β<0，β>0三种情况下的相轨迹特点。解由图7-30可得=开关线为。求解=可以得到这两个方程分别对应平面上开口向右，向左顶点在c轴上的两条抛物线。位置与初始条件绘另一个区域的相轨迹与开关线的交点有关。开关线是过坐标原点的直线，斜率与β值有关。=1\*GB3①当β=0时，开关线为轴，相轨迹由两个抛物线封闭组成，对应的运动是周期运动，如图7-31（a）所示。=2\*GB3②当β<0时，开关线向右倾斜，位于=1\*ROMANI，=3\*ROMANIII象限，相轨迹仍由抛物线组成，但每次转换时，均增加，对应的运动为振荡发散，如图7-31（b）所示。=3\*GB3③当β>0时，开关线向右倾斜，位于=2\*ROMANII，=4\*ROMANIV象限，相轨迹仍由抛物线组成，但每次转换时，均减小，对应的运动为振荡收敛，如图7-31（c）所示。分析本题结果知，当开关线变化后使每次转换时的值增大，会降低系统的平稳性，甚至会影响系统的稳定性。反之。若开关线变化后使每次转换时的值较小则会提高系统的平稳性。A-7-16设变增益控制系统的结构图如图7-32所示，试用相平面法研究系统在斜坡输入量作用下的相轨迹，并分析采用变增益放大器对系统稳态误差的影响。解假设开始时系统处于静止状态，即，则描述系统的方程组为，其中因为，故有，初始条件为，。整理上述关系式后可得开关线为。在相平面的=1\*ROMANI区（），描述系统的微分方程为奇点在（,0）处(称为点)，是稳定节点。在相平面的=2\*ROMANII区（）和=3\*ROMANIII区（），描述系统的微分方程为奇点在（,0）处(称为点)，是稳定焦点。因为k《1，所以总在的左边。当V取不同的数值时，这两个奇点可能处于相平面不同区域。为便于作图，不妨取T=0.5.K=5，K=0.1，=0.6。当V<时，有<<，即奇点，均在=1\*ROMANI区内。相应的相轨迹如图7-33（a）所示（取V=0.2）。系统以非周期运动形式由初始点A（0,0.2）运动到平衡位置（0.4,0），稳态误差=0.4，与线性放大器情况相比较（稳态误差为=0.04），稳态误差增大了。当<V<时，有>,<,即奇点在=2\*ROMANII区内，在=1\*ROMANI区内。因为是=1\*ROMANI区内相轨迹的奇点，现在又位于=2\*ROMANII区，故是虚奇点，是实奇点。相应的相轨迹如图7-33（b）所示（取V=0.5）。从图上可以看出，当相轨迹由A运动到B点,相轨迹进行转换。原理的相轨迹不能运动至奇点。新相轨迹的奇点又在=1\*ROMANI区内，当相轨迹由B转移到C时又发生转换，使=2\*ROMANII区相轨迹不能趋向于点。所以，系统的误差信号表现出振荡特性，最终平衡在（，0）处，稳态误差就是。在现在所取得参数下，稳态误差为0.6，与线性放大器情况相比（稳态误差为=0.1），稳态误差增大了。当V>时，有>>，即奇点，均在=2\*ROMANII区内。所以是实奇点，是虚奇点。相应的相轨迹如图7-33（c）所示（取V=4）。从图上可以看出，相轨迹收敛于稳定焦点，的横坐标就是稳态误差，即==0.8，与线性放大器的情况相同，所以，在这种情况下（V>），引入非线性放大器不会增加斜坡响应的稳态误差。以上分析表明，只有在大输入量（V>）的情况下，引入非线性放大器才会使稳态误差与线性放大器情况时的稳态误差相同。除此之外，在小会中输入量情况下，稳态误差均增大，输入量越小，两者相差越大，可见，引入非线性放大器后没有使系统的稳态误差减小，在有些情况下，反而使稳态误差增大了。A-7-17试求图7-34所示非线性环节的描述函数。解=1\*GB3①对于图7-34（a），因为，且单值奇对称，故===2\*GB3②对于图7-34（b），因为图示非线性可以分解为图7-35所示两个环节并联，所以A-7-18设非线性特性如图7-36（a）所示，试计算描述函数解设，且X>1，由曲线【图7-36（b）】可得非线性特性输出曲线，如图7-36（c）所示。因为=1，所以。故===因为，由图7-37可得==.故)==)A-7-19已知非线性控制系统的结构图如图7-38所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特性参数a,b的数值。解，当时，；；当时，。可见存在极值。由，得。因此曲线如图7-39所示。下面求曲线与实轴交点。令=,得。整理后有，或=，故，与实轴交点为（-4/3,0），因为正极点个数P=0，为使系统不产生自振，要求与-1/N(X)两曲线无交点，由图7-39知，要求，即。A-7-20设非线性系统方程为用描述函数法分析该系统是否存在周期运动解。若有，幅值和频率是多少？该解是否对应自激振荡（）？解=1\*GB3①画典型结构图：用描述函数法分析非线性系统时，该系统必须具备典型结构。原方程可以写为故该系统的等效结构图如图7-40所示。=2\*GB3②写出描述函数：由图7-40知设，则，可以采用积分得办法求出和。考虑到傅氏级数展开的唯一性，可将写成三角级数，其一次谐波的系数即为和。因为所以故=即=0，=。于是=3\*GB3③求周期解，由N(X)=得令上式实部，虚部为零，可得解出X=2，。故该系统存在周期运动解，振幅X=2，频率。=4\*GB3④判断是否存在自振：为不稳定二阶振荡环节（P=2），其概略幅相特性曲线在相平面上两曲线友谊交点M。在-1/N(X)曲线上，在交点M附近沿X增大方向取一点L，由原点过L作射线。曲线对该射线穿越次数为故该系统存在自振，自振参数即为周期运动解A-7-21设非线性系统如图7-42所示，试讨论参数T对系统自振的影响。若T=0.25，试求出输出振荡的振幅和频率。解,x>h其中，M=4;h=1，且其虚部，实部的计算数据如下：由于，，当T=0.25时，。其实部，虚部计算数据如下：利用以上数据，在复平面上作出曲线（T=0.25）和曲线，如图7-43所示。有图所见，B点对应自振，自振参数为X/h=1.1，=12。因h=1，所以自振振幅X=1.1，频率=12。将振幅X折算到输出端，考虑到所以输出振幅故输出端振荡的振幅，频率=12。为讨论T对自振的影响，令由，得。代入得令，得。故此时对应曲线与曲线相切。由上式可见，T对系统自振的影响为:T<0.138，与无交点，系统不产生自振，但系统不稳定：T>0.138，与有两个交点A和B，如图7-43所示，小扰动时自振。大扰动时发散。T越大，自振振幅越小。自振频率越高。A-7-22设非线性系统结构图如图7-44所示，试分析系统的稳定性。解设内回路输出为，原系统结构图等效变换后如图7-45所示，其中，N代表原结构图中的饱和非线性环节。线性不放传递函数为饱和线性的描述函数利用计算机，求出与曲线的交点参数为，说明该系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定，需判断G(s）中正极点个数P，由G(s）分母。画等效系统的根轨迹，如图7-46所示，该等效系统的闭环极点（K=20）即为G（s）的极点。由根轨迹知，当K>11时，G(s)有两个极点在右半复平面，故P=2.将与曲线绘在图7-47中，在两曲线交点M附近沿X增大方向取一点Q，作为等效（）点，曲线在该点以远有故该非线性系统的周期运动解释不稳定的。A-7-23试求图7-48所示非线性系统的等效形式。解=1\*GB3①对图7-48（a），由于非线性特性系统对称，故只需要考虑X>0的情况。当y有输出时。此时，，故

其中，。利用非线性系统环节的对称性，可得等效非线性特性如图7-49（a）所示。图7-49（b）为非线性系统的等效形式。=2\*GB3②对图7-48（b），由于非线性特性对称，故只需要考虑x>0的情况。当时，y=M，否则y=0；当时，。令，则有，故即当时，，y=M。所以等效非线性系统特性如图7-49（c）所示，其中。D-7-1已知二阶欠阻尼系统如图7-79所示，设系统开始时处于平衡状态，试画出系统在阶跃函数及斜坡函数作用下的相轨迹，并在图中标出系统的超调量及稳态误差。解=1\*GB3①由图7-79知、阶跃输入，因为，初始条件，由图可知所以有上式可写为令，的等倾线方程为，可见，等倾线为一束过原点的直线，其斜率为-K/（T）。由初始条件及等倾线，可在相平面上绘出相轨迹如图7-80上式。超调量及稳态误差也如图上式。=2\*GB3②对斜坡输入有，，初始条件相轨迹方程整理的等倾线方程为令，求出奇点为由图7-79知，开环传递函数阻尼比为一对实部的共轭跟，故奇点为稳定焦点。相轨迹如图7-81所示。D-7-2某系统相平面如图7-82所示，试求从点到点所需要的时间，其中分别取1,2,3,和4.解由图7-82可得到相轨迹方程因为所以D-7-3已知带速度反馈的非线性系统如图7-83所示。系统原来处于静止状态，且，输入，试分别画出有速度反馈时的系统相轨迹。解=1\*GB3①无速度反馈：由图知，。当时，，而，；当当时，必有，故。相轨迹方程为显然，开关线初始条件当时，，有。由初始条件故有这是一条抛物线，其顶点为-R。当，由相轨迹的对称性知，相轨迹是一条开口相反的抛物线，其顶点为R。当时，因，有，相轨迹为水平直线。无速度反馈时，系统的相轨迹如图7-48所示。=2\*GB3②有速度反馈：系统结构图如图7-85所示。由图知由于，所以相轨迹方程为开关线初始条件有速度反馈时系统的相轨迹如图7-87所示。D-7-4设非线性系统结构图如图7-87所示，其中非线性环节的描述函数为试分析系统的稳定性。解非线性环节的负倒描述函数为线性部分频率特性为其中令=0，得与负实轴交点处频率。将代入，得与负实轴交点处的幅值为-1/6.作与-1/N（X）曲线，如图7-88所示，由图知，与-1/N（X）交点处频率为，振幅由求出，即。因此，该非线性系统存在不稳定的周期运动，其频率为，振幅为。D-7-5设非线性系统如图4-89所示，已知非线性环节的描述函数，当=1\*GB3①=2\*GB3②试求自激振荡的频率这份，并讨论“有”或“无”非线性环节是，K对系统稳定性的影响。解由题意=1\*GB3①：令求出曲线与负实轴交点处的频率及相应幅值画出与-1/N（X）曲线如图7-90（a）所示。由图知，系统存在稳定的自激振荡，其自振频率，自激振幅为=2\*GB3②其与曲线如图7-90（b）所示。由图知，系统是稳定的，不存在自激振荡。=3\*GB3③非线性环节及K对稳定性的影响：当无非线性环节是，对于=1\*GB3①，时，系统不稳定；对于=2\*GB3②，系统始终稳定，不受K值影响。D-7-6设饱和非线性系统如图7-91所示，饱和非线性描述函数曲线如图7-92所示。试求=1\*GB2⑴系统稳定是K的最大值=2\*GB2⑵K=3时，系统自激振荡的振幅与频率解=1\*GB2⑴确定系统稳定时的其幅频与相频为令，得与负实轴交点处频率；将代入，得与负实轴交点处的幅值为-2K/3。由图7-92描述函数可知，当时，负倒描述函数-1/N()从。显然，若要求系统稳定，应有即故=1.5。=2\*GB2⑵确定自振参数当K=3时，，与-1/N（）曲线有交点，系统出现稳定的自振，其频率；令-1/N（）=，求出N(X)=0.5，由图7-92描述函数知，1/=0.4，故自振振幅。D-7-7设非线性系统如图7-93所示，其中参数均为正。试确定=1\*GB2⑴系统产生自振时，各参数应满足的条件；=2\*GB2⑵自振频率和振幅解将图示非线性系统化为典型结构当时，有令即由此可知，使系统产生稳定自振时各参数应满足的条件为自振参数为，D-7-8已知非线性系统如图7-94（a）所示，非线性原件的负倒描述函数如图7-94（b）所示。试试使系统产生自激振荡的h和M的数值。解显然当时，与负实轴交点的幅值为令求出h和M的关系D-7-9设非线性可知系统的结构图如图7-95所示，试画出的相轨迹图；当系统输入为单位阶跃信号时，。指出相轨迹路径。解=1\*GB3①当时，：若，由线性部分传递函数知顾得若，同理得相轨迹方程为相轨迹及其走向如图7-96（a）所示。=2\*GB3②当时，：若，故；若故。相轨迹方程如下：相轨迹及其走向如图7-96（b）所示。D-7-10设非线性系统如图7-97所示，其中，饱和特性参数带死区的继电特性参数M=1.7，h=1.4.试用描述函数法分析系统是否存在自振？若存在，求出自振振幅和频率。解根据信号的等效变换，对图示状态中的两个串联非线性特性进行结构归化，所得等效非线性特性仍为带死区的继电特性，只是。带死区继电特性的描述函数为其中，。由于令作稳定性分析，如图7-98所示。其中由图可知，系统存在自振，其中点对应不稳定自振，对应稳定自振，其振幅为，频率。D-7-11某二阶非线性系统的相平面和一条相轨迹如图7-99所示，图中原点0为平衡状态，B0段的相轨迹方程为，AB段为平行于x轴的线段。试求相点从A运动到原点所需的时间。解因为所以于是，相点从A到0运动所需的时间为D-7-12非线性系统如图7-100所示，其中非线性特性的描述函数为试用描述函数法判断系统是否发生自振(要求作图)？解描述函数显然频率特性若。画7-101所示。由图知，无交点，故系统不会发生自振。D-7-13设非线性系统如图7-102所示，其中非线性部分的描述函数为试用描述函数法分析系统存在自振时参数K与h应满足的条件。解因负倒描述函数为当时，右；当时，有。故，必存在极值。令得极值线性部分的频率特性为其与负实轴的交点为系统稳定性分析曲线如图7-103所示。由图知，若系统存在自振，则应有即参数K,h应满足如下条件：D-7-14已知非线性系统如图7-104所示，其中均大于零。现要求系统输出量的自振振幅，角频率，试确定参数及的数值。解非线性部分的描述函数与负倒描述函数为由题意，自振振幅故有令则有求得。由于即得因此，所求参数为D-7-15设非线性系统如图7-105所示，试在相平面上绘出起始于（-2,0）点的相轨迹，并求出相轨迹与开关线的两个交点的坐标值。解由图知故相轨迹方程为开关线为。对于，有积分得整理得因起点为（-2,0）即，故相轨迹方程为这是一个抛物线方程，相轨迹在开关线c=1上的交点坐标为，即（1,3）。根据相轨迹的对称性可知，另一对称交点坐标为（1，-3）。对于，有积分并整理得由起点（1,3），即，得相轨迹方程这也是一个抛物线方程，相轨迹在开关线c=-1上的交点为（-1，-3.6.56），其对称相点为（-1，-3.6.56）。当起点为（-1，-3.6.56）时，相轨迹方程也是积分并整理后得其与开关线c=1的交点为（1,4.1231），对称相点（1,4.1231）绘系统相轨迹曲线如图7-106所示。D-7-16设非线性系统如图7-107所示。试在相平面上画出起始于，的相轨迹，要求写出相轨迹的方程式，并求出相轨迹相轨迹与坐标轴交点的坐标值，相轨迹与坐标轴交点处相应的时间。解=1\*GB3①相轨迹：因为当c>0时，由，参照D-7-15方法，求出相轨迹方程为代入起始点值（0,2），有其与c轴交点：；与轴交点由相轨迹对称性得（0，-2）。当c<0时，相轨迹方程为代入初始点值（0，-2），由其与c轴交点为（），与轴交点（0，-2）。相轨迹曲线如图7-108所示。=2\*GB3②运动时间eq\o(DA,\S\up5(⌒))段eq\o(AB,\S\up5(⌒))段：由相轨迹的对称性，有eq\o(BC,\S\up5(⌒))段eq\o(CD,\S\up5(⌒))段：由相轨迹的对称性，有于是，一个自振周期为D-7-17社非线性系统如图7-109所示。若希望输出c（t）为频率，幅值的周期（近似正弦）信号，试确定系统参数K与的值（非线性环节描述函数）。解系统线性部分传递函数为由题意，要求系统产生自振，其自振频率，自振振幅。因此负倒描述函数与交点处频率特性因为在负实轴上相交，故令；令则有得。所以，所求产生值为D-7-18设单位负反馈非线性结构图如图7-110所示，非线性部分的描述函数为=1\*GB2⑴分析系统是否存在自振？=2\*GB2⑵若有自振，计算自振频率及振幅；=3\*GB2⑶定性分析开环增益变化时对自振产生（幅值和频率）的影响。解=1\*GB2⑴自振判断由可分别绘出负倒描述函数曲线曲线，如图7-111所示。由图知，系统存在稳定的自振。=2\*GB2⑵计算自振参数在曲线的交点处，有求得自振频率又故自振振幅为5.3=3\*GB2⑶定性分析增益影响其中K=15。当开环增益K加大时，自振频率不变，自振振幅随K增大而增大，称正比关系；反之亦然。D-7-19设非线性系统如图7-112所示，试大致画出的相轨迹。解由图知而且有故系统分段微分方程为当时令，求得奇点为。在该区域内，特征方程为特征根，故该奇点为稳定焦点。令，的等倾线方程为可知，等倾线为一簇过原点的直线。当时显然无奇点。等倾线方程为等倾线为一簇平行于横轴的直线。在。当时无奇点，等倾线是一簇平行于横轴的直线，在。。由于，故在相平面上，起始于（4,0）的相轨迹如图7-103所示。D-7-20非线性系统如图7-114所示，其中非线性元件的负倒描述函数为=1\*GB2⑴试分析系统是否存在自振？若存在，求h=0.8时系统的自振参数（频率与振幅）；=2\*GB2⑵试分析h变化时对系统自振参数的影响。解=1\*GB2⑴稳定性分析频率特性负倒描述函数其中绘曲线，如图7-115所示。由图可知，存在交点，故系统存在稳定的自振。令即由虚部相等，的自振频率由实部相等，的自振振幅因为h=0.8，所以自振参数为=2\*GB2⑵h对自振参数的影响H增大，系统自振频率减小。自振振幅变大；h减小，系统自振频率增大，自振振幅减小。D-7-21设非线性系统如图7-116所示，其中，非线性部分的描述函数为=1\*GB2⑴当时，试分析系统是否存在自振？若存在，求出自振的振幅和频率；=2\*GB2⑵当时，时分析其对系统的影响。解=1\*GB2⑴系统中，线性部分的传递函数为代入表达式，有因为M=h=1，所以令求求极值，有绘出曲线，如图7-117所示。由图可见，有交点，系统存在自振。令（舍去）得令，即求出。由-1/N(x)走向可知：对应不稳定自振；对应稳定自振。=2\*GB2⑵线性部分频率特性为显然绘出曲线，如图7-118所示。由图可见，无交点，系统不存在自振，且曲线，所以此时非线性系统是稳定的。D-7-22非线性系统如图7-119所示，其中非线性环节的描述函数。=1\*GB2⑴当时，系统受扰动后得稳定运动状态呈现什么形式？=2\*GB2⑵当时，要使系统产生幅值X=的自振，K应取何值？自振频率为何值？=3\*GB2⑶当0时，要使系统产生幅值？解=1\*GB2⑴时系统的稳定性运动形式系统频率特性为负倒描述函数为绘出曲线，如图7-120所示，由图知，存在交点，且当自振增大时，从不稳定区域进入稳定区域，所示系统受扰后稳定性运动状态呈现稳定自振。=2\*GB2⑵时系统的K与自振频率因自振振幅，故交点处的负倒描述函数为线性部分的频率特性为因交点在负实轴上必有解得有求出。于是，所求参数及自振频率为=3\*GB2⑶时的系统参数K及的值线性部分频率特性为由题意，系统自振频率，自振振幅，在的交点上，有因根据可求出由可求出。故所求参数值为D-7-23非线性系统如图7-121所示，试在平面上绘相轨迹图。解由图知故系统的分段线性微分方程为开关线方程为以及、系统相轨迹图如图7-122所示。D-7-24设非线性系统如图7-123所示。=1\*GB2⑴列写平面的相轨迹微分方程；=2\*GB2⑵