第十七讲 解析几何I自主招生

第十七讲解析几何I【考点说明】解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。【知识引入】1•点到直线的距离：d=空0Byo9(点P(x,y)，直线l:Ax+By+C二0).7A2+B2 00圆的四种方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2二r2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F二0(D2+E2-4F>0).fx=a+rcos0圆的参数方程<[y=b+rsmu圆的直径式方程(x—x)(x—x)+(y—y)(y—y)=01212(圆的直径的端点是A(x,y)、B(x,y)).1122点与圆的位置关系点P(x，y)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种若00d=\：'(a—x)2+(b—y)2，贝I」00d>ro点P在圆夕卜；d=ro点P在圆上；d<ro点P在圆内.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x—a)2+(y—b)2=r2的位置关系有三种：d>ro相离oA<0；d=ro相切oA=0；d<ro相交oA>0.IAa+Bb+C其中d=丨J .A2+B2

x2 y2 fx二acos05•椭圆忘+厉=1(a>b>0)的参数方程是］y二bsin06.双曲线的方程与渐近线方程的关系TOC\o"1-5"\h\zx2y2 x2y2 b(1)若双曲线方程为——一=1=渐近线方程：——一=0Oy=±x.a2b2 a2b2 ab xy x2y2若渐近线方程为y=±bxO±扌=0=双曲线可设为一—一=九.a ab a2b2x2y2 x2y2若双曲线与—；=1有公共渐近线，可设为 —；=X(九〉0，焦点a2b2 a2b2在x轴上，九＜0，焦点在y轴上).7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=$(xi—x2)2+(yi—y2)2或IaB=*'(1+k2)(x一x)2=1x一xK'1+tan2a=1y一y丨"1+cot2a211212(A(x,y),B(x,y)1122【知识拓展】1.三角形四心的坐标设AABC三边的长度分别为a,b,c,三个顶点A、设AABC三边的长度分别为a,b,c,三个顶点A、B、C的坐标分别记为(x,y)、(x,y)、AA BB「VxVy)3 3丿(xC，yC)则重心G、内心I、垂心H、外心O坐标分别为GVaxVay)，皆I、H'yax Vay'厶A厶AcosA cosAV丄工亠VcosA cosA丿xsin2AVysin2A'亍A ,— 、乙sin2A'乙sin2A丿2.直线系若直线l:ax+by+c=0与直线l:ax+by+c=0相交于P,则它们的线性组11112222合叫+b1y+C1)+P(a2x+b2y+叮=0(九,听R，且不全为0)(*)表示过P点的直线系。当参数九，卩为一组确定的值时，(*)表示一条过P点的直线。特别的，当九=0时,(*)式即a2x+b2y+C2=0；当―0时，(*)式即为a1x+by+C1=0。对于l1，l2以外

的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.又若l与I平行，这时（*）式表示所有与l平行的直线。121圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.►备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d，圆半径为r，则这个定值为ld2-r2.当定点在圆内时，d2-r2<0,|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方；当定点在圆上时，d2-r2=0；当定点在圆外时，d2-r2〉0，|d2-r2|等于从定点向圆所引切线长的平方.特别地，我们把d2-r2称为定点对于圆的幕.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．►对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幕．当三个圆两两相交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点．5.各曲线的定义：PFP——=1,5.各曲线的定义：PFP——=1,PHF为定点,|PH|是P到定直线l的距离卜（1）椭圆：｛p||PF|+|PF|二2a，2a>|FF，F、佇为定点’2a为正常数｝,；⑵双曲线:^P|||PF|-|PF11=2a， 2a<|FF|,「、©为定点，2a为正常数｝,；|PH|是P|PH|是P到定直线l的距离卜(3)抛物线：\P|——=1，F为定点,IPH6•圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）.当0<e<1时，曲线是椭圆；当e>1时，曲线是双曲线；当e二1时，曲线是抛物线.这个定点F叫做曲线的焦点，定直线l叫做曲线的准线，定点F到定直线的距离P叫做焦参数．7•圆锥曲线的标准方程:x2 y2 y2 x2(1)椭圆：一+—=l(a>b>0),二+—=l(a>b>0)；a2 b2 a2b2x2x2y2(2)双曲线：一—[=1,a2b2x2y2a—厉=1(a>0，b>0)(3)抛物线：(3)抛物线：y2二2px,y2=-2px,x2二2py,x2=—2py(p>0).►备注：比值e叫圆锥曲线的离心率，其中e二典例精讲】TOC\o"1-5"\h\zx2 y2例1.(2011复旦)椭圆二+—二1上的点到圆X2+(y—6)2=1上的点的距离的最大值是2516()。(A)11 (B)J74 (C)5.Z5 (D)9x2 y2►分析与解答：由平面几何知识，椭圆弋+—二1上的点到圆x2+(y—6)2=1上的点的距25 16离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆x2+(y—6)2=1圆心为O',48sin0+61P(5cos0,4sin0)48sin0+61IPO'1=\：'(5cos0)2+(4sin0—6)2=*25cos20+16sin20—48sin0+36=J—9sin20—1—9f1—9fsin0+8]2I3丿+125<+125=10(当sin0=—1时取等号)。故所求距离最大值为11.x2y2►注：或者考虑x2+(y—6)2=k2与 +三=1的相交情况，用判别式法解决。25 16

上两点，线段AB的中垂线交x轴于D(a,O),a>0,m=1AFI+IBFI。(1)证明：a是p,m的等差中项;(2)若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程。分析与解答⑴设Axy1Bx,*2又AB中线交一x 抽于 D(a(x- 2a)+2y11x2-)a廿y(nx+2x⑴设Axy1Bx,*2又AB中线交一x 抽于 D(a(x- 2a)+2y11x2-)a廿y(nx+2x- (a2121-x) =x22-y2=2p(x-x)，因为x1212丰x，所以x+x-2a=-2p，x+x=2a-2p，11212m=IAFI+IBF=x+x+p=2a-p,a=也i * 2a是p,m的等差中项。(2)因为m=3p，所以a=2p。设A(2pt2,2pt)，D(2p,0)。圆心O'(p+pt2,pt)o设直线l的方程为x=n。由于弦长为定值，故R2-d2为定值，这里R为圆的半径，d为圆心O'到l的距离。R2-d2=4[(2pt2-2p)2+(2pt)2]-(p+pp2-n)2=p2[(t2-1)2+12]-(p+pt2-n)2=-3p2t2+2np+2npt2-n2=(2np-3p2)t2+(2np-n2)。3 9 3令2®-3“=0，即“=-p时，R2-d2为定值3p2-4p2=7p2，故这样的直线l的方程为x=Ip。例3.(2006复旦)已知抛物线y=ax2，直线l,l都过点(1,-2)且互相垂直。若抛物线与12直线l,l中至少有一条相交，求实数a的取值范围。12分析与解答：先看a<0的情形，如图13-8,显然，无论(1,-2)在抛物线y=ax2形内，还是在形外。y=ax2与l,l始终至少有一条相交，故a<0符合题意。12若a>0，过(1,-2)作抛物线y=ax2的切线，设这两条切线的张角为0。若0<90。，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与y=ax2不相交，(如图13-9)；若90。，则过(1,-2)的两条直线中，必有一条与y=ax2相交(如图13-10)。

于是，原问题转化为如下一个问题：图13-9图13-10过(1,-2)作抛物线于是，原问题转化为如下一个问题：图13-9图13-10过(1,-2)作抛物线y=ax2的切线，这两条切线对抛物线的张角>900。设过(1-, 2的切线方程为y=k(x—1)—2,由vy=a2,xy=k(x—1)—，2知ax2—kx+k+2=0。令△=k2一4ak-8a=°。设方程两根为ki，勺，则900°曾2>—1。由韦达定理,—8a>—1，故a< 。8综上，a的取值范围是aE(—®0)u|°，石I。例4・设x、xeR，常数a>0，定义运算“㊉”x㊉x=(x+x)2，定义运算“®”121212对于两点A(片」］)、B(x2,y2)，定义d(AB)=乜®(1)若(1)若x>0，求动点P的轨迹C；⑵已知直线l:y=1x+1与⑴中轨迹C交于A(x,y)、B(x,y)两点，若121122；(x®x)+(y®y)=8^15，试求a的值;1212(3)在(2)中条件下，若直线12不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与⑴中轨迹C交于不同两点p、Q,试求目沿+晋劉的取值范围。Id(SP)IId(SQ)I分析与解答：⑴设y二寸(x㊉a)-(x®a)贝ijy2=(x㊉a)一(x®a)二(x+a)2—(x—a)2二4ax又由y=J(x㊉a)—(x®a)>0可得P(x,(x㊉a)—(x®a))的轨迹方程为y2=4ax(y>0),轨迹C为顶点在原点，焦点为(a,0)的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分(2)由已知可得<y2(2)由已知可得<,整理得x2+(4—16a)x+4=0,y=x+1211由A=(4—16a)2—16>0，得a>—或a<0.Va>0,:.a>—22貞和鬲叮+(人鬲打)=州-x2貞和鬲叮+(人鬲打)=州-x2)2+(人-y2)2=(x—x)2+(1一x—x、+2)22= (x+x)2—4xx= (x+x)2—4xx= (4—16a)2—16=8\：''152*121223解得a=2或a=—2(舍)；「•a=2⑶•:d(ab)=jy®”=|y-y112.Id(ST)1Id(ST)1=ISTIISTI

:Id(sp)iId(sq)TispiisQi设直线12：x=my+c,依题意m丰0,c丰0,则T(c,0)，分别过P、Q作PP1±y轴，QQ1±y轴，垂足分别为p1、Q1，ISTI ISTI IOTI IOTI IcI IcI则+ = + =ISPI ISQI IPPI IQQI IxI IxI1 1pQ由f2=8x消去y得x2—(2c+8m2)x+c2=0[x=my+cISTIISTI + IISTIISTI + ISPIISQI11—1c1(甘+百PQxxPQ=2IcIId(ST)IId(ST)I

Td(SP)^+Td(SQ^的取值范围是(Id(ST)IId(ST)I

Td(SP)^+Td(SQ^的取值范围是(2,+g).例5・(2011“华约”抛物线y2=4x的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与xx轴交于点C,ZOFA=1350，求tanZACB。►分析与解答：解法一：设A®y解法一：设A®y1)，BL打，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为A',B'，依抛物线定义知IAF线定义知IAFI=x+1，1所以IAA'I=(x+1)sin45o,ICA'I=1+1所以IAA'tIAA'taZACA =Ica'=Sin45o= 22同理，tanZBCB'=至，所以=Sin45o= 22同理，tanZBCB'=至，所以tanZACB=2迈。2解法二：AB:y=X-1代入抛物线x2一6x+1=0x=3—，2x23+2J2，所以12B(3-2、辽,2-2同,A(3+2迈,2+2、②C(— 1C-0A，又ICAI・BCB1=12ncosZACB=1，所以tanZACB=2®^3*所例6・(2012“北约”已知点A(—2,0),B(0,2)，若点C是圆x2—2x+y2=0上的动点，求AABC面积的最小值。►分析与解答：圆的方程(x—1)2+y2=1。设C(1+cos0,sin0)到AB：x—y+2=0的距离为d，则因为cos0-sin因为cos0-sin0= cos0+J4丿3—/2'[—辽關。所以％= F，所以1 —3—1^2 L(S) =7?x2j2x—=—=3—\/(x2—x2)AC。当C点的坐标取]_—(x2—x2)ACAABCmin 2 y/2的面积有最小值3-、辽。例7.(2010五校联考)如图，A、B、C、D在x2=4y上，A、D关于抛物线对称轴对称。过点D作切线，BC//切线,点D到AB、AC距离分别为d,d，d+d=P2IADI。1212试问：AABC是锐角、钝角还是直角三角形？若AABC的面积是试问：AABC是锐角、钝角还是直角三角形？若AABC的面积是240,求A的坐标和BC的方程。kBC11X2一X241 42X—X12=4(xi+x2)=1X20AB1[(2x一x)AB1[(2x一x)2一x2]4 _ _1(3x一x)(x一x)4 _ _2x3x—x(x—x)，nx+x=2xnx=2x—x。从而B2x—x,—(2x—x)2。120201(01401丿

k=-knZDAC=ZDABndk=-knZDAC=ZDABnd=d，再结合d+d=斗''2IADIAC AB 1 2 1 2ZDAC=ZDAB=450，故AABC是直角三角形。(2)由(1),不妨设C在AD上方，AB的方程为y-4x2=-(x+x)。400=—(x+x),0得到另一个交点Bfx-4,4(x-4)2I0 40丿AC方程4y=x2,1得到另一个交y一x2=x+x400点八、、Cfx+4,4(x+4)2'丿040IABI=j2l(x-4)-(-x)I=J2l2x-4I,000IACI=J2lx+4-(-x)l=^2l2x+41,000所以S=£-2I2x-4I-12x+4I=240，解得x=±8，故A(8,16)或(-8,16)。2xo=8时，B(4,4),C(12,36),BC的方程为y=4x-12。x=-8时，B(-12,36),C(一4,4),Be的方程为y=一4x一12。0注：此题的关键是证明*=d2。方法总结】真题训练】(2001复旦)抛物线y2=-4(x-1)的准线方程为()(A)x=1B)x=2 (C)x=3 (D)(A)x=12•对于直角坐标平面内任意两点A(x,y)、B(x,y)，定义它们之间的一种“新距离”:1122||AB|=|x2-xj+|y2-人I•给出下列三个命题:①若点C在线段AB上.则AC+Bq=IIABII；在AABC中，若ZC=90，则||Aq|2+IICBII2=IIABI|2；在aabc中，||Ac+||CB|>IIABII。TOC\o"1-5"\h\z其中的真命题为( )A.①②③ B.①② C.① D.②③(2012复旦)极坐标方程P= (k>0为常数)所表示的曲线是( )。k2一2kcos0+1(A)圆或直线 (B)抛物线或双曲线 (C)双曲线或椭圆 (D)抛物线或椭圆fx=a(t-sint),(2010复旦)参数方程｛ 门、(a>0)所表示的函数y=f(x)是( )。Iy=a(1-cost)(A)图像关于原点对称(C)周期为2a兀的周期函数(B)图像关于直线x=兀对称(D)周期为2兀的周期函数5.在平面直角坐标系中，定义点P(x,y),Q(x,y)之间的“直角距离”为1122d(P,Q)=1x-xI+Iy-yI。若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的“直角距离”相等，其1212中实数x,y满足0<x<10,3<y<9，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 。6•在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点。定义P(x,y)、Q(x,y)两点之间的“直角1122距离”为d(P,Q)=|x-x|+|y-y|。已知B(1,1)，点m为直线x—y+4=0上的动点,121127. （2012“卓越联盟”）如图，AB是圆O的直径，CD丄AB于H,且AB=10,CD8,DE,4EF是圆的切线，BF交HD于G。1）求GH；（2）连结FD，判断FD与AB的关系。并加以证明。8.（2011“北约”）求过两抛物线y=2x2—2x—1,y=—5x2+2x+3交点的直线方程。9.(2010同济)如图，已知动直线l经过点P(4,0)，交抛物线y2=2ax(a>0)于A、B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ.BQ的斜率分别为k,k。AQBQ证明：k+k二0；AQBQ当a二2时，是否存在垂直于x轴的直线l'，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线1'的方程，若不存在，请说明理由。10.(2009上海交大)P、Q是圆x2+(y-3)2二1与y=x2上的点，求IPQI的最小值。【参考答案】1.【答案】BIx-1=x',【分析与解答】：令< ,则原抛物线方程为y'2=-4X'，其准线方程为X'=1，故原Iy=y抛物线的准线方程为x=x'+1=2。【答案】C【答案】D【分析与解答】：由知识拓展圆锥曲线的统一极坐标方程知k0<e= <1。故为椭圆或抛物线(当且仅1+k20<e= <1。故为椭圆或抛物线(当且仅1+k2k2-2kcos0+1i-2kcos0-1+k2C0S当k=1时取抛物线)。【答案】C【分析与解答】：x—x=a(t+2兀—sin(t+2兀))—a(t—sint)=2a兀，t+2兀 ty—y=a(1—cos(t+2兀))—a(1—cost)=0，t+2兀 t即y=f(x)=f(x+2a兀)，故f(x)是以2a兀为周期的周期函数。【答案】：5(J2+1)【答案】：47【分析与解答】：(1)连结AF、OF,则A、F、G、H四点共圆。且由EF是切线知，OF丄EF。所以ZFGE=ZBAF，且ZEFG=ZBAF(弦切角等于弦所对的圆周角)所以ZFGE=ZEFGnEF=EG。OH2+HE2=OF2+EF2=OE2nEF2=OH2+HE2一OF2=32+82一52=480所以EF=EG=4J3,GH=EH—EG=8—4p'3。(2)FD与AB不平行(即相交)，用反证法。如图，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立一个平面直角坐标系。若FD//AB，则D点的横坐标等于F点的横坐标，即4.从而F(4,3)。又E(8,—3)，—3—3 3 3 33 9所以EF的斜率为 =—怎。而k= ，k