2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page2020页，共=sectionpages2020页2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知抛物线y=(a−1)A.−2 B.−1 C.0 2.如图，点C、D分别在△AOB的边BO、AO的延长线上，AB//CD

A.BO：BC=1：2 B.CO：BC=2：3

C.AB：C3.如图，AC与BD相交于点O，∠B=∠C，如果OC：A.ODOA=23 B.C4.已知向量a、b、c为非零向量，下列条件中，不能判定a//b的是A.|a|=3|b| B.a=2c5.如果抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点的坐标是(6,0)A.(−6,0) B.(−6.下列说法中，不一定成立的是(

)A.所有的等边三角形都相似

B.有一个钝角相等的两个等腰三角形相似

C.腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似

D.两边对应成比例的两个直角三角形相似二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果xy=23，那么x8.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，如果9.如图，已知a//b//c，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E、F，如果AB=1，10.若向量a与单位向量e的方向相反，且|a|=2，则a=______.(11.抛物线y=−2(x12.已知二次函数y=x2+3x13.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−14.如图，在等边△ABC中，AB=12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠AP

15.已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是______．

16.如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设AB=a，BC=b，那么向量BD17.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是边AB上一点，且AD=2，如果点

18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=15，CD是斜边AB的中线，将△ABC三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0分)

如图，已知两个不平行的向量a、b.先化简，再求作：2(a−1220.(本小题10.0分)

已知二次函数的图象经过点A(−1,1)、21.(本小题10.0分)

已知抛物线y=ax2−4x+a经过点(−3,2)．

(1)求a的值，并将抛物线的表达式写成y=a(x+m)2+k的形式；22.(本小题10.0分)

如图．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=3323.(本小题12.0分)

已知：如图，在△ABC和△ADE中，AD是△ABC的角平分线，∠ADE=∠B，边DE与A24.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线的顶点是A(1,−5)，且经过点B(−1,−1)，过点B作BC//x轴，交抛物线的对称轴于点C25.(本小题14.0分)

在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是线段BD上的一动点(不与点B、D重合)，过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE．

(1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长；

(2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP=x，AF=答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2开口向上，

∴a−1>0，

∴a>1，

那么a的取值可以是2．

故选：D2.【答案】B

【解析】解：∵AB//CD，

∴∠A=∠D，∠B=∠C，

∴△AOB∽△DOC，

∴AB：CD=BO：CO=AO：DO=1：2，故C选项错误；

A、∵BO：CO=1：2，

∴BO：BC=1：(2+1)=1：3，故A选项错误；

B、∵BO：CO=1：2，

∴CO：DO=2：3.【答案】D

【解析】解：∵∠C=∠B，∠DOC=∠AOB，OC：OB=2：3，

∴△DOC∽△AOB，

∴ODOA=4.【答案】A

【解析】解：∵|a=3|b|，不能确定两个向量的方向，

∴无法判断a//b，选项A符合题意；

∵a=2c，b=c，

∴a=2b，

∴a//b，选项B不符合题意；

∵a5.【答案】C

【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(6,0)，对称轴为直线x=2，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，6.【答案】D

【解析】解：A、所有的等边三角形都相似一定成立；

B、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立；

C、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立；

D、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，

故选：D．

根据相似三角形的判定定理进行判定即可．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7.【答案】53【解析】解：∵xy=23

∴3x=2y

∴3(x+y)=5y

∴x8.【答案】2

【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AP=5−1，

∴AP=5−9.【答案】32【解析】解：∵a//b//c，

∴ABAC=DEDF，

∴110.【答案】−2【解析】【分析】

本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．根据向量的表示方法可直接进行解答．

【解答】

解：∵向量a与单位向量e的方向相反，且|a|=2，

∴a=11.【答案】x=【解析】解：∵y=−2(x−1)2−1，

∴12.【答案】4

【解析】解：将(0,0)代入y=x2+3x+m−4得0=m13.【答案】<

【解析】解：∵y=−x2，

∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，

∵x1<x2<0，

∴y1<y2．

故答案为：<．14.【答案】83【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=12，

∵PC=8，

∴BP=4，

∵∠APC=∠B+∠BA15.【答案】133【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，

∴斜边的长度为52+122=13，

∴这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是12×13×23=133．

故答案为：16.【答案】−2【解析】解：∵CA=CB+BA=−b−a，CD=23A17.【答案】83或3【解析】解：∵△ADE与△ABC相似，

∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，

∴ABAD=18.【答案】13【解析】解：过点A作AH⊥CD于点H，

∵∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，AB=6，

∴CD=AD=BD=3，

设DF=x，则CF=x+3，

由旋转性质知，AC=AF=15，

∴CH=FH=x+3219.【答案】解：原式=2a−b−a−2b

=a−3b【解析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量．

此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解此题的关键．

20.【答案】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

∵二次函数的图象经过点A(−1,1)、B(1,3)和C(0【解析】把A(3,−2)、B21.【答案】y=【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2−4x+a经过点(−3,2)，

∴把x−3，y=2代入y=ax2−4x+a，得2=(−3)−32⋅a−4×(−3)−a，

解得a=−122.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=33，AD=3，BC=6，DE=2．

∴AC=BC2−AB2=【解析】(1)由勾股定理求得AC=3，AE=DE2−AD2=1，则ABAC=ADAE=3，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明Rt23.【答案】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAF=∠BAD，

∵∠ADE=∠B，

∴△ADF∽△ABD，

∴AFAD=DFBD，

∴AF⋅BD=AD【解析】(1)由∠DAF=∠BAD，∠ADE=∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADF∽△ABD，得AFAD=DFBD，所以AF⋅BD=AD24.【答案】解：(1)由抛物线的顶点是A(1,−5)，

可设抛物线的表达式为y=a(x−1)2−5，(a≠0)，

∵抛物线经过点B(−1,−1)，

∴4a−5=−1，得a=1．

∴抛物线的表达式为y=(x−1)2−5．

∵BC//x轴，交抛物线的对称轴于点C，

∴C(1,−1)．

(2)∵抛物线的一般式y=x2−2x−4，

【解析】(1)根据抛物线的顶点是A(1,−5)，可设抛物线的表达式为y=a(x−1)2−5，(a≠0)，将点B(−1,−1)的坐标代入表达式，即可得出结论；

(2)设25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，

∴CD=6，BC=8，BD=10，∠A=90°，AD//CB，

∴∠ADB=∠CBP，

∵C