线性谐振子与占有数表象课件

§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符二、粒子数算符三、、对的作用四、的本征解五、能量本征值及本征态六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符一维谐振子的哈密顿量量纲分析：——无量纲

构造无量纲算符其中，、为厄米算符。§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符说明：（1）由于，故不是厄米算符。（2）满足对易关系（3）可以推出

所以说明：（1）由于，故不是厄（4）、和的对易关系

二、粒子数算符引入算符性质：（1）它是厄米算符。（2）满足对易关系

下面求它的本征值及相应的本征态。（4）、和的对易关系二、粒子数算符设的本征值方程为把作用于上，得另一方面所以显然，也是的本征态，对应的本征值为。又·········把作用于上，得同时所以因此，也是的本征态，对应的本征值为。以此类推，得也是的本征态，对应的本征值为。设的本征值方程为把作用于上结论：的本征值及本征态分别为本征态：···本征值：···采用类似的办法，的本征值及本征态又可分别为本征态：···本征值：···三、、对的作用因为

所以，可以令因此另一方面由此得结论：的本征值及本征态分别为本征态：于是即把作用到上就把它变成态，所以称为消灭算符或降算符。同理所以称为产生算符或升算符。四、的本征解设的最小本征值为，相应的本征矢为，则所以，是的本征值为0的本征态，记为，即基态。把、、···逐次作用于，得到的一系列本征解：本征态：本征值：

······012于是即把作用到上就把它变成态，所以称五、能量本征值及本征态有即也是的本征态，对应本征值为，其中。下面求。······所以因为五、能量本征值及本征态有即也是的本征态，对应本征由（即）可得解得归一化基态波函数因为即由（即）可得解得又所以下面计算。·················所以又所以下面计算。六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示1．算符、的矩阵表示

说明：实际上将矩阵取共轭就可得矩阵。2．算符、的矩阵表示

六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示1．算符

3．算符、的矩阵表示3．算符、的矩阵表示证明：因为

所以同理

例1．如果是的本征态，对应的本征值为，且，那么，波函数和也都是的本征函数，对应的本征值分别为和。证明：因为所以同理线性谐振子与占有数表象课件§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符二、粒子数算符三、、对的作用四、的本征解五、能量本征值及本征态六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符一维谐振子的哈密顿量量纲分析：——无量纲

构造无量纲算符其中，、为厄米算符。§4-5线性谐振子与占有数表象一、产生算符和消灭算符说明：（1）由于，故不是厄米算符。（2）满足对易关系（3）可以推出

所以说明：（1）由于，故不是厄（4）、和的对易关系

二、粒子数算符引入算符性质：（1）它是厄米算符。（2）满足对易关系

下面求它的本征值及相应的本征态。（4）、和的对易关系二、粒子数算符设的本征值方程为把作用于上，得另一方面所以显然，也是的本征态，对应的本征值为。又·········把作用于上，得同时所以因此，也是的本征态，对应的本征值为。以此类推，得也是的本征态，对应的本征值为。设的本征值方程为把作用于上结论：的本征值及本征态分别为本征态：···本征值：···采用类似的办法，的本征值及本征态又可分别为本征态：···本征值：···三、、对的作用因为

所以，可以令因此另一方面由此得结论：的本征值及本征态分别为本征态：于是即把作用到上就把它变成态，所以称为消灭算符或降算符。同理所以称为产生算符或升算符。四、的本征解设的最小本征值为，相应的本征矢为，则所以，是的本征值为0的本征态，记为，即基态。把、、···逐次作用于，得到的一系列本征解：本征态：本征值：

······012于是即把作用到上就把它变成态，所以称五、能量本征值及本征态有即也是的本征态，对应本征值为，其中。下面求。······所以因为五、能量本征值及本征态有即也是的本征态，对应本征由（即）可得解得归一化基态波函数因为即由（即）可得解得又所以下面计算。·················所以又所以下面计算。六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示1．算符、的矩阵表示

说明：实际上将矩阵取共轭就可得矩阵。2．算符、的矩阵表示

六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示1．算符

3．算符、的矩阵表示3．算符、的矩阵