2018-2019数学新学案同步精致讲义选修1-1北师大版：第四章 导数应用2.2 第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时函数最值的应用学习目标1。了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题．知识点一生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路:上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．知识点二导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决．1．用导数解决实际问题的关键是建立函数模型．（√)2．恒成立问题可以转化成函数的最值问题．（√）3．用导数证明不等式可以通过构造函数,转化为函数大于等于0或小于等于0。（√)类型一几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm),能使矩形广告面积最小？考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题解设广告的高和宽分别为xcm，ycm,则每栏的高和宽分别为x－20，eq\f(y－25，2），其中x〉20，y>25.两栏的面积之和为2(x－20）·eq\f（y－25,2）＝18000，由此得y＝eq\f（18000,x－20)＋25.广告的面积S＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(18000，x－20)＋25）)＝eq\f（18000x,x－20）＋25x，∴S′＝eq\f（18000[x－20－x］,x－202)＋25＝eq\f（－360000，x－202)＋25.令S′〉0,得x>140，令S′〈0,得20<x〈140。∴函数在（140，＋∞）上是增加的，在(20，140）上是减少的，∴S（x)的最小值为S(140)．当x＝140时,y＝175。即当x＝140,y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小．反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少?考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解设箱底边长为x，则箱高为h＝eq\f(\r（3)，3)×eq\f（a－x,2）（0〈x〈a），箱子的容积为V(x）＝eq\f（1，2）x2×sin60°×h＝eq\f(1，8）ax2－eq\f(1，8)x3(0〈x〈a)，则V′(x)＝eq\f（1，4)ax－eq\f（3，8）x2。令V′（x）＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝eq\f(2,3）a，当x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（2,3)a）)时，V′(x)>0；当x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3)a,a))时,V′(x)〈0,所以函数V（x）在x＝eq\f（2,3)a处取得极大值，这个极大值就是函数V(x）的最大值，Veq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)a））＝eq\f(1，8）a×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)a))2－eq\f(1，8）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3）a)）3＝eq\f（1，54）a3.所以当箱子底边长为eq\f(2,3)a时，箱子容积最大,最大容积为eq\f(1，54）a3.类型二函数的最值与不等式的证明例2已知函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R,a∈R。(1）求f（x)的单调区间与极值；（2)求证：当a〉ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.(1)解由f（x)＝ex－2x＋2a知,f′（x）＝ex－2,x∈R，令f′(x）＝0，得x＝ln2.当x变化时，f′（x）及f(x)的变化情况如下表:x(－∞，ln2）ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2（1－ln2＋a）↗故f(x）在区间（－∞，ln2）上是减少的,在区间（ln2，＋∞）上是增加的,f（x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为2（1－ln2＋a），无极大值．(2)证明设g(x）＝ex－x2＋2ax－1,x∈R,于是g′(x）＝ex－2x＋2a，由（1)知g′(x）的最小值为2（1－ln2＋a），当a>ln2－1时,g′（x）〉0,故g(x）在R上是增加的，所以x〉0时g(x）>g（0）＝0，即ex〉x2－2ax＋1。反思与感悟利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤(1）构造函数．（2）利用导数确定函数的单调性、最值(或值域)．(3)将其归结为函数的最值或值域问题．（4)证明函数y＝f(x）的最大（小）值大于0或小于0,或逆用单调性定义得出结论．跟踪训练2证明：当x∈[0,1]时，eq\f(\r（2）,2)x≤sinx≤x.证明记F（x)＝sinx－eq\f（\r（2)，2）x，则F′（x）＝cosx－eq\f（\r(2）,2)。当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，4)）)时,F′（x）〉0,F(x）在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4)))上是增加的;当x∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4），1)）时，F′（x）〈0,F（x)在eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)）上是减少的；又F（0）＝0，F（1)〉0，所以当x∈［0,1］时，F(x）≥0，即sinx≥eq\f(\r（2)，2）x。记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1）时，H′(x）＝cosx－1<0,所以H（x)在［0,1]上是减少的，则H（x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，eq\f（\r(2）,2）x≤sinx≤x，x∈[0,1］．类型三与最值有关的恒成立问题例3已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f（2,3)与x＝1处都取得极值．（1)求a，b的值及函数f（x)的单调区间．（2）若对任意x∈［－1，2］，不等式f（x）〈c2恒成立，求c的取值范围．考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x）＝3x2＋2ax＋b，因为f′（1）＝3＋2a＋b＝0，f′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3)））＝eq\f(4,3)－eq\f（4，3）a＋b＝0，解得a＝－eq\f（1,2),b＝－2，所以f′（x)＝3x2－x－2＝（3x＋2)（x－1），当x变化时,f′（x),f(x）的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(2，3))）－eq\f（2,3)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3)，1）)1(1,＋∞）f′(x)＋0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x)的递增区间为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（2,3）））和(1，＋∞)；递减区间为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1））.（2）由(1)知，f（x）＝x3－eq\f(1，2）x2－2x＋c，x∈［－1，2],当x＝－eq\f（2,3）时，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3)））＝eq\f（22,27）＋c为极大值，因为f(2）＝2＋c,所以f(2）＝2＋c为最大值．要使f(x）<c2（x∈［－1,2]）恒成立，只需c2〉f（2）＝2＋c,解得c<－1或c>2。故c的取值范围为(－∞,－1）∪（2,＋∞)．反思与感悟解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x）的最大值即可,同理，要使m<f（x)恒成立，只需m<f(x）的最小值即可．跟踪训练3已知函数f(x)＝xlnx．若对所有x≥1都有f(x）≥ax－1,求实数a的取值范围．题点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞）上恒成立，即不等式a≤lnx＋eq\f（1，x)在x∈［1,＋∞)上恒成立．令g(x)＝lnx＋eq\f(1，x)，则g′(x）＝eq\f（1，x)－eq\f(1,x2）＝eq\f（x－1，x2)，当x〉1时，g′(x)〉0，故g（x)在(1,＋∞）上是增加的，所以g(x）的最小值是g（1）＝1。因此a≤g（x）min＝g（1)＝1,故a的取值范围为(－∞,1］。1．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元)与年产量x（单位:万件)的函数关系式为y＝－eq\f（1，3）x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为（)A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案C解析∵x〉0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x），令y′＝0，解得x＝9，∴当x∈(0,9）时，y′〉0,当x∈(9，＋∞)时，y′〈0,y先增加后减少．∴当x＝9时函数取最大值,故选C.2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－eq\f(1,8）t3－eq\f(3，4)t2＋36t－eq\f（629,4),则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是（)A．6时B．7时C．8时D．9时考点函数类型的优化问题题点有关函数类型的其他问题答案C解析y′＝－eq\f（3,8)t2－eq\f（3,2)t＋36＝－eq\f（3，8）（t2＋4t－96)＝－eq\f(3,8)（t＋12）（t－8),当t∈（6,8）时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′〈0，故t＝8时，y取最大值．3．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·eq\f（256,a2)＝a2＋eq\f（210，a)(a〉0)．令S′＝2a－eq\f（210,a2）＝0，得a＝8。当0〈a〈8时，S′<0;当a〉8时,S′〉0，故当a＝8时，S最小，此时h＝eq\f（28，82）＝4.4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元．考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为eq\f(4,x)。设总造价为y，则y＝20x×eq\f（4，x）＋10×1×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(4,x）））,即y＝20x＋eq\f（80，x）＋80，y′＝20－eq\f(80,x2)，令y′＝0，得x＝2.∴当x＝2时,ymin＝160(元）．5．已知函数f（x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．答案(－∞，2ln2－2］解析函数f（x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g（x）＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，可知函数g（x)＝2x－ex在(－∞,ln2）上是增加的,在(ln2，＋∞)上是减少的，所以g（x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2］，所以要使函数g(x）＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．1．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意(1）合理选择变量，正确给出函数表达式．(2）与实际问题相联系．（3）必要时注意分类讨论思想的应用．2．“恒成立"问题可转化为函数最值问题．一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位:℃)为f（x)＝eq\f(1,3）x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B.eq\f（20，3）C．－1 D．－8考点函数类型的优化问题题点有关函数类型的其他问题答案C解析原油温度的瞬时变化率f′（x)＝x2－2x＝(x－1）2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1。2．若x∈［0，＋∞），则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B。eq\f(1，\r（1＋x））≤1－eq\f（1,2）x＋eq\f（1，4)x2C．cosx≥1－eq\f(1,2）x2D．ln（1＋x）≥x－eq\f（1，8）x2答案C解析设f（x)＝cosx＋eq\f（1,2)x2－1，则f′(x）＝－sinx＋x≥0(x≥0），f(x）在［0,＋∞)上是增加的，f（x)≥f(0)＝0,故cosx≥1－eq\f(1,2)x2.3．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为(）A。eq\r(3,V） B。eq\r（3,2V)C。eq\r(3,4V） D．2eq\r（3，V）考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝eq\f（\r(3)，2）x2＋eq\f(4\r(3)，x)V（x〉0）．∴S′＝eq\f（\r（3），x2）（x3－4V）．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V)。可判断得当x＝eq\r(3,4V)时，直棱柱的表面积最小．4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱,则水箱最大容积为(）A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设水箱底边长为xcm，则水箱高h＝60－eq\f(x，2）(cm）,水箱容积V（x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3,2）（0<x〈120），则V′（x)＝120x－eq\f(3，2)x2。令V′(x)＝0，得x＝0(舍去）或x＝80。可判断得当x＝80cm时，V取最大值为128000cm3.5．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为（)A．2∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案A解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝eq\f（V，πr2）。由题意知，表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πreq\f（V，πr2)＝2πr2＋eq\f（2V,r），令S′＝4πr－eq\f(2V,r2)＝0，得r＝eq\r(3,\f(V，2π）)，当r＝eq\r(3,\f(V,2π))时,h＝eq\f（V,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f（V,2π))）)2）＝eq\r(3,\f（4V,π）)。则h∶r＝2∶1时，表面积S最小．6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么，要使这两项费用之和最小，仓库的建造位置到车站的距离为()A．4千米B．5千米C．6千米D．7千米考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案B解析依题意可设每月土地占用费y1＝eq\f（k1，x)(k1>0），每月库存货物的运费y2＝k2x（k2>0)，其中x是仓库到车站的距离,于是由2＝eq\f（k1，10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f（4,5)。因此两项费用之和为y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x，5），y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f（4,5)。令y′＝0,得x＝5（x＝－5舍去）,此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小．7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为p，销售量为q，且销售量q（单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(）A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由题意知毛利润w＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000,w′＝－3p2－300p＋11700，令w′＝0,得p＝30或p＝－130(舍）．∵只有唯一一个极值点，且是极大值点，∴当p＝30时，wmax＝23000元．8．已知函数f(x）＝eq\f(1,2)x4－2x3＋3m，x∈R,若f（x）＋9≥0恒成立，则m的取值范围是()A．m≥eq\f(3，2） B．m>eq\f（3,2)C．m≤eq\f(3,2) D．m<eq\f(3，2）考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案A解析∵f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x）＝0,得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－eq\f(27，2）,由f(x）＋9≥0恒成立，得f(x）≥－9恒成立，即3m－eq\f（27,2)≥－9,∴m≥eq\f(3,2）。二、填空题9．已知函数f（x)＝2lnx＋eq\f(a，x2）（a＞0），若当x∈(0，＋∞)时，f（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[e，＋∞）解析由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2lnx。设g（x)＝2x2－2x2lnx，则g′(x）＝2x(1－2lnx)，令g′（x)＝0，得x＝eeq\f（1,2）或x＝0（舍去），因为当0＜x＜eeq\f（1,2)时,g′(x）＞0；当x＞eeq\f(1，2)时，g′(x)＜0.所以当x＝eeq\f（1,2)时,g（x)取得最大值g（eeq\f（1，2))＝e，故a≥e。10．如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为________．考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(l，6))）3π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r，2）,V＝πr2h＝eq\f（l，2)πr2－2πr3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0<r〈\f(l，4）)）,则V′＝lπr－6πr2,令V′＝0，得r＝0(舍)或r＝eq\f（l,6），∴r＝eq\f(l，6)是其唯一的极值点，∴当r＝eq\f（l,6)时，V取得最大值，最大值是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(l，6）））3π.11．若不等式x3－eq\f(9，2)x2>2－a对实数x∈[－1,＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(31，2），＋∞))解析设f(x)＝x3－eq\f(9，2）x2，令f′(x)＝3x2－9x＝0，得x＝0或x＝3。当－1≤x〈0时，f′（x）〉0；当0〈x<3时，f′（x）〈0;当x〉3时,f′(x）〉0，所以当x＝3时，f（x）取得极小值f（3）＝－eq\f(27,2），又f（－1)＝－eq\f(11,2）>－eq\f(27，2），所以f(x）的最小值为－eq\f(27,2）,从而f（x)min＝－eq\f(27,2)〉2－a，所以a〉eq\f（31,2)。三、解答题12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100km/h，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?解设速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.则总费用f（x)＝(kx3＋200）·eq\f(a,x)＝aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(200,x））).由已知条件，得40＝k·203，∴k＝eq\f(1,200)，∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，200）x2＋\f（200,x）））。令f′（x）＝eq\f(ax3－20000，100x2）＝0，得x＝10eq\r（3,20）.当0〈x<10eq\r（3,20）时,f′（x)〈0；当10eq\r（3，20）〈x<100时，f′(x）〉0。∴当x＝10eq\r(3,20）时,f（x）有最小值,即速度为10eq\r（3,20）km/h时,总费用最少．13．已知函数f（x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R）．(1）若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值,试求a，b的值；(2)在（1)的条件下，当x∈［－2，6]时，f（x）<2｜c|恒成立，求c的取值范围．解（1）f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f（x)在x＝－1和x＝3处取得极值,∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1＋3＝\f(2,3)a,,－1×3＝\f(b，3)，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－9.）)(2）由(1）知f(x）＝x3－3x2－9x＋c,f′（x)＝3x2－6x－9。当x变化时，f′(x)，f（x）随x的变化如下表：x(－∞，－1）－1（－1，3）3(3，＋∞）f′(x)＋0－0＋f（x）↗极大值c＋5↘极小值c－27↗而f(－2）＝c－2，f(6）＝c＋54,∴当x∈[－2,6]时,f（x）的最大值为c＋54，要使f（x)〈2|c｜恒成立,只要c＋54〈2|c|即可,当c≥0时,c＋54<2c，∴c〉54；当c<0时，c＋54<