2018-2019数学新学案同步必修五苏教版讲义：第二章 数列2.3.3 第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1。理解等比数列前n项和公式的函数特征。2。熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和．知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列{an｝的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an｝是不是等比数列？若数列｛an｝的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？答案当Sn＝2n－1时，an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（S1,n＝1，，Sn－Sn－1,n≥2)）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1，n＝1，，2n－1，n≥2)）n∈N*是等比数列；当Sn＝2n＋1－1时，an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（S1，n＝1，，Sn－Sn－1，n≥2)）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3，n＝1，,2n，n≥2））n∈N＊不是等比数列．梳理当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1），等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn－1)．即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1,Sn是n的正比例函数．知识点二等比数列前n项和的性质思考若公比不为－1的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,则Sn，S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列吗？答案由题意可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，设{an}的公比为q，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn,S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn（S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn。梳理等比数列{an｝前n项和的三个常用性质：（1)数列｛an}为公比不为－1的等比数列,Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn,S3n－S2n仍构成等比数列．（2)若{an｝是公比为q的等比数列,则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＊)．（3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则：①在其前2n项中,eq\f(S偶，S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q）＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)（q≠－1）．1．对于公比q≠1的等比数列｛an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．（√)2．当｛an｝为等差数列，{bn｝为公比不是1的等比数列时,求数列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f（an,bn）))的前n项和,适用错位相减法．（√)类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证:数列{an}为等比数列．考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1）·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴eq\f(an＋1，an)＝a，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟（1)已知Sn,通过an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2）)求通项an，应特别注意n≥2时,an＝Sn－Sn－1。(2)若数列{an｝的前n项和Sn＝A（qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则｛an}是等比数列．跟踪训练1若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t,则t＝________。考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案－eq\f（1，3)解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f（1,3）·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3）.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1）＝5n2aeq\o\al（2,1），Sn（S2n＋S3n)＝na1（2na1＋3na1）＝5n2aeq\o\al(2，1），∴Seq\o\al（2，n)＋Seq\o\al(2，2n)＝Sn(S2n＋S3n）．当q≠1时，Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，S2n＝eq\f（a1，1－q)（1－q2n)，S3n＝eq\f(a1，1－q)(1－q3n）,∴Seq\o\al（2，n)＋Seq\o\al（2,2n）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a1,1－q））)2·［（1－qn)2＋（1－q2n)2]＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a1,1－q))）2·（1－qn）2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn（S2n＋S3n）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a1,1－q)））2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n），∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al（2，2n)＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn（1＋qn),S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn,∴Seq\o\al（2，n）＋Seq\o\al（2,2n）＝Seq\o\al（2,n）＋［Sn(1＋qn）］2＝Seq\o\al(2，n）（2＋2qn＋q2n)，Sn（S2n＋S3n）＝Seq\o\al（2，n）(2＋2qn＋q2n)．∴Seq\o\al（2，n）＋Seq\o\al（2，2n)＝Sn(S2n＋S3n)．反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：（1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．（2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质整体处理．跟踪训练2在等比数列｛an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列解由等比数列前n项和的性质得，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴122＝48(S3n－60)，解得S3n＝63。命题角度2不连续n项之和问题例3已知等比数列｛an｝的公比q＝－eq\f(1，3)，则eq\f（a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8）＝________.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案－3解析∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7），∴eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)＝eq\f（1，q）＝－3.反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机;整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列，则＝________。考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案126解析∵＝＝2，∴{｝是首项为b2，公比为2的等比数列．∴＝eq\f（b21－26,1－2）＝27－2＝126。类型三错位相减法求和例4求数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(n，2n)))的前n项和．考点错位相减法求和题点错位相减法求和解设Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f（2，22）＋eq\f（3,23）＋…＋eq\f(n,2n)，则有eq\f(1，2）Sn＝eq\f(1,22）＋eq\f（2，23）＋…＋eq\f(n－1，2n）＋eq\f（n,2n＋1)，两式相减,得Sn－eq\f（1，2）Sn＝eq\f（1，2）＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n）－eq\f（n,2n＋1），即eq\f(1，2)Sn＝eq\f（\f(1,2）\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,2n）))，1－\f(1，2）)－eq\f（n，2n＋1)＝1－eq\f(1，2n）－eq\f(n,2n＋1).∴Sn＝2－eq\f（1，2n－1)－eq\f（n，2n）＝2－eq\f(n＋2,2n）.反思与感悟一般地,如果数列{an｝是等差数列,{bn}是公比不为1的等比数列，求数列｛anbn}的前n项和时,可采用错位相减法．跟踪训练4求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0）．考点错位相减法求和题点错位相减法求和解当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f（nn＋1,2）;当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn,xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋（n－1)xn＋nxn＋1,∴（1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq\f（x1－xn，1－x)－nxn＋1，∴Sn＝eq\f(x1－xn,1－x2）－eq\f（nxn＋1，1－x).综上可得,Sn＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1，2)，x＝1,,\f（x1－xn,1－x2)－\f(nxn＋1，1－x)，x≠1且x≠0.))1．已知等比数列｛an｝的公比为2，且其前5项和为1，那么｛an｝的前10项和为________．考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案33解析设｛an｝的公比为q，由题意，q＝2,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32,∴S10＝1＋32＝33。2．已知等比数列｛an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为________．考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案eq\f（1，2)解析方法一∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1，6）＝eq\f（x,3)·3n－eq\f（1,6），由Sn＝A(qn－1）,得eq\f（x，3)＝eq\f（1，6)，∴x＝eq\f(1,2)。方法二当n＝1时，a1＝S1＝x－eq\f(1,6）；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵｛an｝是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f（1,6），解得x＝eq\f（1，2)。3．已知等差数列｛an｝的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列｛bn}的前n项和Tn＝3n＋d,则向量a＝（c，d）的模为______．考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案14．设等比数列｛an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________。考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案12解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12,∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1．在利用等比数列前n项和公式时,一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若｛an}是等比数列，且an>0，则｛lgan｝构成等差数列．2．等比数列前n项和中用到的数学思想:(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论:当a1〉0，q〉1或a1<0,0〈q〈1时为递增数列；当a1〈0,q〉1或a1〉0,0〈q〈1时为递减数列;当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．（2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝eq\f（a1,q)·qn（q〉0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝eq\f(a1,q－1)（qn－1)（q≠1）．设A＝eq\f（a1，q－1)，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相关．(3）整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，eq\f(a1，1－q)当成整体求解．一、填空题1．在等比数列｛an｝中,a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q＝________。考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案4解析∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，∴a4－a3＝3(S3－S2）＝3a3，即a4＝4a3,∴q＝eq\f（a4，a3)＝4。2．设{an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn｝是等差数列，则q＝________。考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案1解析∵Sn－Sn－1＝an(n≥2）,又{Sn}是等差数列,∴an为定值，即数列｛an}为常数列，∴q＝eq\f（an，an－1）＝1.3．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140,则S20＝________。考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案40解析∵S30≠3S10,∴q≠1。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10,,S10＋S30＝140))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（S10＝10，，S30＝130，）)由等比数列前n项和性质得，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴（S20－10）2＝10(130－S20），解得S20＝40.4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足eq\f（S2m，Sm）＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f（5m＋1，m－1)，则数列{an｝的公比为________．考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案2解析设公比为q，若q＝1,则eq\f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1。∵eq\f(S2m，Sm）＝eq\f（\f（a11－q2m，1－q），\f（a11－qm，1－q)）＝qm＋1＝9，∴qm＝8。∴eq\f(a2m，am)＝eq\f(a1q2m－1，a1qm－1）＝qm＝8＝eq\f（5m＋1，m－1)，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2。5．已知等比数列｛an｝的公比为q，记bn＝am（n－1）＋1＋am（n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am（n－1)＋2·…·am（n－1）＋m(m,n∈N*），则以下结论一定正确的是________．①数列｛bn｝为等比数列，公比为qm；②数列｛bn}为等比数列，公比为q2m；③数列｛cn}为等比数列，公比为；④数列{cn}为等比数列，公比为。考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案①③解析∵{an｝是等比数列，∴eq\f(amn＋k，amn－1＋k)＝qmn＋k－m（n－1)－k＝qm（1≤k≤m)，∴eq\f(cn＋1，cn)＝eq\f(amn＋1·amn＋2·…·amn＋m，amn－1＋1·amn－1＋2·…·amn－1＋m）＝（qm)m＝qm2。eq\f(bn＋1，bn)＝eq\f（amn＋1＋amn＋2＋…＋amn＋m,amn－1＋1＋amn－1＋2＋…＋amn－1＋m)＝eq\f（amn＋11＋q＋…＋qm－1，amn－1＋11＋q＋…＋qm－1）＝qm.6．设｛an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和,已知a2a4＝1,S3＝7,则S5＝________.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案eq\f（31,4）解析∵{an｝是由正数组成的等比数列,且a2a4＝1，∴设｛an}的公比为q，则q>0，且aeq\o\al(2，3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f（1,q2)＋eq\f(1,q）＋1＝7，即6q2－q－1＝0。故q＝eq\f（1,2)或q＝－eq\f（1，3)（舍去)，∴a1＝eq\f（1,q2）＝4。∴S5＝eq\f（4\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，25）)），1－\f（1，2）)＝8eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，25))）＝eq\f（31,4).7．数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*），则a3＝________.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案12解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴a3＝3×4＝12.8．记等比数列｛an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq\f（S10,S5)＝________.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案33解析由题意知公比q≠1，eq\f（S6,S3)＝eq\f（\f(a11－q6，1－q）,\f(a11－q3，1－q））＝1＋q3＝9，∴q＝2，eq\f(S10,S5）＝eq\f(\f（a11－q10,1－q),\f（a11－q5,1－q）)＝1＋q5＝1＋25＝33.9．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________。考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案2解析根据题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（S奇＋S偶＝－240,,S奇－S偶＝80，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160，)）∴q＝eq\f(S偶，S奇)＝eq\f(－160,－80）＝2。10．已知首项为1的等比数列｛an｝是摆动数列，Sn是{an｝的前n项和，且eq\f(S4，S2）＝5，则数列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f(1,an））)的前5项和为________．考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案eq\f(11，16）解析eq\f（S4，S2）＝eq\f（S2＋q2S2,S2)＝1＋q2＝5,q＝±2.∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f（1,an）)）首项为1，公比为－eq\f(1,2)，前5项和为eq\f（1·\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)))5）)，1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)）))＝eq\f(1＋\f(1,32)，\f（3，2))＝eq\f(11，16）.二、解答题11．已知在等比数列{an}中,a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1）求数列｛an}的通项公式；(2）记bn＝anlog2an,求数列｛bn}的前n项和Sn。考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1）设数列{an}的公比为q,由题意知2(a3＋2）＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即（q－2)（q2＋1）＝0。∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n，n∈N*。（2)由题意得，bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋（n－1)·2n＋n·2n＋1， ②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1）·2n＋1。∴Sn＝2＋（n－1）·2n＋1，n∈N＊.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0。5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.（1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年）(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策,否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解(1)当n≤10时，数列{an｝是首项为45.5，公差为0。5的等差数列,所以an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n.当n≥11时，数列｛an}是以0.99为公比的等比数列．又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人）的表达式为an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（45＋0.5n，1≤n≤10,n∈N*,50×0。99n－10,11≤n≤20，n∈N*。))(2）设Sn为数列｛an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477。5＋4950×(1－0。9910）≈950。8（万），所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为eq\f（S20，20)≈47.54万．因为eq\f(S20，20）〈49，故到2036年不需要调整政策．13．已知｛an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．（1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合(1)解由已知，得an＝aqn－1,因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a（1＋q＋q2＋q3)．当S1,S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1,可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0。解得q＝eq\f（1±\r（5),2).（2）证明若q＝1，则｛an}的各项均为a,此时am＋k,an＋k，al＋k显然成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即eq\f(aqm－1，q－1）＋eq\f(aql－1,q－1）＝eq\f(2aqn－1，q－1),整理得qm＋ql＝2qn.因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，所以am＋k,an＋k，al＋k成等差数列．三、探究与拓展14．数列{an｝满足:a1＝eq\f(4,3)，且an＋1＝eq\f(4n＋1an，3an＋n)（n∈N*)，则eq\f(1,a1）＋eq\f（2,a2）＋eq\f(3,a3)＋…＋