2018-2019数学新学案同步必修五北师大版讲义：第二章 解三角形第3节

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3解三角形的实际应用举例学习目标1。准确理解仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握一些常见问题的测量方案。3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°"和“南偏西45°”的示意图．答案梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：（1）方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．（2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？答案可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角,通过解三角形求得地月距离．梳理测量某个量的方法有很多,但是在实际背景下,有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长,精确度越高．知识点三把实际问题抽象为数学问题思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5km后到达B处,测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°,怎样求此山的高度CD？该问题的数学本质是什么?答案先在△ABC中,用正弦定理求BC＝eq\f（5sin15°，sin10°），再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°。问题本质如图,已知三棱锥D－ABC,DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，β,m,γ表示DC的长．梳理解与三角形有关的应用题的步骤(1）准确理解题意,分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语．(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出．（3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解,并作答．1．在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．（×）2．在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影．（√）类型一平面内的测量问题命题角度1水平平面内的测量问题例1如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（eq\r(3)－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq\r（3）海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．考点解三角形求距离题点测量方向角求距离解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点）走私船，则CD＝10eq\r（3)t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝（eq\r（3)－1)2＋22－2(eq\r（3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r（6)。又∵eq\f(BC，sinA）＝eq\f(AC，sin∠ABC),∴sin∠ABC＝eq\f（AC·sinA，BC）＝eq\f(2·sin120°，\r(6)）＝eq\f(\r（2),2），又∠ABC∈(0°，60°），∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BD，sin∠BCD)＝eq\f（CD,sin∠CBD），∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD，CD)＝eq\f(10t·sin120°，10\r(3)t)＝eq\f(1，2）.又∵∠BCD∈(0°，60°），∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r（6).∴t＝eq\f（\r（6）,10）小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角（方向角），二要弄清不动点（三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3）a海里，问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇？考点解三角形求距离题点测量方向角求距离解如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中,BC＝at海里,AC＝eq\r（3)at海里，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f（BC，sin∠CAB)＝eq\f（AC,sinB），得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f（at×sin120°，\r（3)at)＝eq\f（\f(\r（3)，2),\r（3))＝eq\f（1，2)，∵0°<∠CAB〈60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．命题角度2竖直平面内的测量问题例2如图所示,D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于(）A．10mB．5eq\r（3)mC．5(eq\r(3)－1）mD．5（eq\r（3）＋1)m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角)求高度答案D解析方法一设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m，∴tan∠ADB＝eq\f(AB，DB)＝eq\f（x，10＋x）＝eq\f(\r（3)，3），解得x＝5（eq\r(3)＋1）m。∴A点离地面的高AB等于5（eq\r(3)＋1)m.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°。由正弦定理，得AC＝eq\f（CD，sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20，\r（6）－\r（2）).∴AB＝ACsin45°＝5(eq\r（3）＋1）m。反思与感悟（1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．（2）底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,观测者一直向“目标物"前进．后到达点D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______m．(精确到1m)答案811解析如图,过点D作DE∥AC交BC于点E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理,得AB＝eq\f（ADsin∠ADB，sin∠ABD)＝eq\f(1000×sin135°，sin30°)＝1000eq\r（2)（m）．在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m)．答山的高度约为811m。类型二空间中的测量问题例3如图所示,A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点处测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点处测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角)求高度解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°,所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°）＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f（AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f（\r（2)，2)，\f(\r(6）－\r(2），4))＝800(eq\r（3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1）m。反思与感悟测量方向角求高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某一个量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（)A．10m B．10eq\r（2)mC．10eq\r(3)m D．10eq\r（6)m考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°,由正弦定理，得eq\f（BC,sin∠BDC)＝eq\f（CD，sin∠DBC），BC＝eq\f（10sin45°,sin30°）＝10eq\r(2）（m）．在Rt△ABC中,tan60°＝eq\f(AB，BC），AB＝BC×tan60°＝10eq\r（6)（m)．1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后,就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50eq\r(2）m B．50eq\r（3）mC．25eq\r（2)m D。eq\f（25\r（2），2)m考点解三角形求距离题点测量可到达点与不可到达点间的距离答案A解析∠B＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由eq\f(AB，sin45°）＝eq\f(50，sin30°)，得AB＝100×eq\f（\r(2)，2)＝50eq\r（2)(m）．2．如图,某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好eq\r(13）千米,那么x的值是________．考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题答案4解析由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1（舍)．3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5,A，B，C，D四点共圆,则AC的长为________km。考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题答案7解析因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，整理得cosD＝－eq\f（1，2），代入得AC2＝32＋52－2×3×5×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2）)）＝49，故AC＝7。4.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米．考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案15eq\r(6)解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得eq\f（BC，sin∠BDC)＝eq\f（CD,sin∠CBD），所以BC＝eq\f(30sin30°，sin135°)＝15eq\r（2）。在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×tan60°＝15eq\r(6)(米）．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”,而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离"的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．3．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：（1）分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；(2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为（)A．20eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（\r（3）,3)））m B．20eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3)，2)）)mC．20(1＋eq\r(3）)m D．30m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案A解析塔的高度为20tan30°＋20tan45°＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（\r（3),3)))（m），故选A。2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(）A．200mB．300mC．400mD．100eq\r（3)m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角）求高度答案B解析如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600m,BC＝DC＝200eq\r（3）m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f（6002＋200\r（3)2－200\r(3）2,2×600×200\r（3）)＝eq\f(\r（3),2)，∵0°〈2θ〈90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BCsin4θ＝200eq\r（3）×eq\f（\r(3)，2)＝300(m），故选B.3．海上有A,B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是（)A．10eq\r(3)nmile B.eq\f（10\r（6),3）nmileC．5eq\r（2）nmile D．5eq\r(6)nmile考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案D解析在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°。由正弦定理,得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC），∴eq\f(BC，sin60°)＝eq\f(10,sin45°）,解得BC＝5eq\r（6)nmile。4．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(）A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°考点三角形中角度的求解题点三角形中角度的求解答案B解析如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2）（180°－80°）＝50°,60°－50°＝10°，故选B.5．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(）A．2h米 B。eq\r（2）h米C。eq\r（3)h米 D．2eq\r（2）h米考点解三角形求距离题点测量俯角(仰角）求距离答案A解析如图所示，BC＝eq\r(3)h，AC＝h,∴AB＝eq\r（3h2＋h2)＝2h(米)．6．某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（)A．15m B．5mC．10m D．12m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h。在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10,由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD,即（eq\r（3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°,∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10m.7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m,吊索AB＝5eq\r（19）m，起吊的货物与岸的距离AD为(）A.30m B。eq\f（15\r（3)，2)mC.15eq\r(3)m D。45m考点解三角形的实际综合应用题点解三角形的实际综合应用答案B解析在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(102＋5\r（19)2－152，2×10×5\r（19)）＝eq\f(7，2\r（19)）,∠ABC∈(0，π），∴sin∠ABC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（7，2\r(19)）））2）＝eq\f（3\r（3）,2\r(19))，∴在Rt△ABD中,AD＝AB·sin∠ABC＝5eq\r(19)×eq\f（3\r(3)，2\r(19))＝eq\f(15\r(3），2）(m）．二、填空题8。如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE,并测量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r（29）mm，则∠ACB＝________。考点解三角形求角度题点解三角形求角度答案eq\f(3π，4)解析在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq\f（32＋2\r(2）2－\r（29）2，2×3×2\r(2））＝－eq\f（\r（2）,2）.因为∠ACB∈（0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π，4).9．要测量对岸两点A，B之间的距离,选取相距eq\r(3)km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°,∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km。考点解三角形求距离题点测量两个不可到达点间的距离答案eq\r（5）解析如图,在△ACD中，∠ACD＝120°,∠CAD＝∠ADC＝30°,∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝eq\f(\r（3）sin75°，sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2）,2）（km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3）)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(6）＋\r(2)，2）））2－2×eq\r(3）×eq\f（\r(6)＋\r(2），2）×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r（3)＝5,∴AB＝eq\r（5）km.∴A，B之间的距离为eq\r（5）km.10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为________m。考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案30eq\r（6)解析设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h,PB＝eq\r(2）h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f（602＋2h2－4h2,2×60×\r（2）h），①cos∠PBC＝eq\f（602＋2h2－\f(4,3）h2,2×60×\r（2）h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°,∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0。③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)（舍去)，即建筑物的高度为30eq\r（6）m.三、解答题11．如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4m后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°。（1）求BC的长；（2）若小明身高为1。70m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度．(精确到0。01m,其中eq\r(3）≈1.732）考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度解（1)由题意，得∠CAB＝45°,∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得eq\f（BC，sin45°)＝eq\f(4,sin30°)，解得BC＝4eq\r（2），即BC的长为4eq\r(2）m.(2）在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4eq\r（2)，所以DC＝4eq\r(2)sin75°。因为sin75°＝eq\f(\r（6)＋\r(2）,4）,则DC＝2＋2eq\r(3),所以CE＝ED＋DC＝1。70＋2＋2eq\r（3）≈3。70＋3。464≈7.16（m）．即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16m.12．甲船在A处,乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶，最快用多少小时能追上乙船？考点解三角形求距离题点测量方向角求距离解如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t,AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°。由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即（28t)2＝92＋（20t）2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)）)，128t2－60t－27＝0,∴t＝eq\f(3,4)或t＝－eq\f(9,32)（舍去)，∴甲船最快用eq\f（3，4）小时能追上乙船．13．在某次地震时,震中A（产生震动的中心位置）的南面有三座东西方向的城市B，C，D。已知B,C两市相距20km,C,D相距34km,C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B,C，D三市的距离．考点解三角形的实际综合应用题点解三角形的实际综合应用解在△ABC中，由题意得AB－AC＝1。5×8＝12（km)．在△ACD中,由题意得AD－AC＝1。5×20＝30(km）．设AC＝xkm，AB＝(12＋x)km,AD＝(30＋x）(km)．在△ABC中，cos∠ACB＝eq\f（x2＋400－12＋x2,2×20×x）＝eq\f(256－24x,40x）＝eq\f（32－3x，5x)，在△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(x2＋1156－30＋x2,68x)＝eq\f（256－60x,68x)＝eq\f（64－15x,17x）.∵B，C，D在一条直线上，∴eq\f(64－15x,17x）＝－eq\f(32－3x,5x），即eq\f（64－15x，17)＝eq\f(3x－32,5）,解得x＝eq\f（48,7）.∴AB＝eq\f（132,7）km，AD＝eq\f(258，7)km。即震中A到B，C，D三市的距离分别为eq\f（132,7）km,eq\f(48，7）km，eq\f(258,7)km。四、探究与拓展14．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,则塔高为________m。考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案eq\f(103－\r（3）,3）解析如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40m到达C处,即BC＝40m,∠CAB＝135°