2018-2019数学新学案同步必修四人教A版全国通用版讲义：第二章 平行向量2.3.2~2.3.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3。3平面向量的坐标运算学习目标1。了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则。3。正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且｜a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a？答案a＝2eq\r(3)i＋2j.思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A（1，1),则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝（1,1），则向量a的位置确定了吗？答案对于A点,若给定坐标为A(1，1),则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1），此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任意平移，因此a的位置不确定．思考3设向量eq\o（BC，\s\up6(→））＝(1，1）,O为坐标原点,若将向量eq\o（BC,\s\up6(→））平移到eq\o（OA，\s\up6（→）)，则eq\o（OA，\s\up6（→)）的坐标是多少？A点坐标是多少？答案向量eq\o(OA，\s\up6(→）)的坐标为eq\o（OA，\s\up6(→)）＝（1,1),A点坐标为A(1,1)．梳理(1）平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得a＝xi＋yj。平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x,y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．②在直角坐标平面中，i＝（1，0),j＝（0,1)，0＝（0,0）．（2)点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a＝(x，y）中间用等号连接，而点A(x，y）中间没有等号意义不同点A（x，y)的坐标(x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置,a＝（x,y)的坐标(x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点（x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量的坐标运算思考设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b,λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？答案a＋b＝（x1＋x2)i＋(y1＋y2）j，a－b＝（x1－x2)i＋(y1－y2)j,λa＝λx1i＋λy1j。梳理设a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2）两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘λa＝(λx1，λy1）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标已知点A（x1，y1)，B（x2,y2）,那么向量eq\o（AB，\s\up6（→）)＝（x2－x1,y2－y1）,即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．1．相等向量的坐标相等．(√)2．在平面直角坐标系内，若A（x1，y1），B（x2，y2)，则向量eq\o(AB，\s\up6（→）)＝（x1－x2,y1－y2)．(×）提示eq\o(AB,\s\up6（→））＝（x2－x1，y2－y1）．3．与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为:i＝(1,0)，j＝(0，1）．（√)类型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中,OA＝4,AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°,eq\o(OA,\s\up6(→））＝a,eq\o（AB，\s\up6（→）)＝b.四边形OABC为平行四边形．（1）求向量a，b的坐标；(2)求向量eq\o（BA，\s\up6(→))的坐标；(3)求点B的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解（1）作AM⊥x轴于点M,则OM＝OA·cos45°＝4×eq\f(\r(2)，2)＝2eq\r（2)，AM＝OA·sin45°＝4×eq\f（\r（2),2)＝2eq\r（2）。∴A(2eq\r(2），2eq\r(2）），故a＝（2eq\r（2），2eq\r(2)）．∵∠AOC＝180°－105°＝75°,∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°。又∵OC＝AB＝3，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(3，2），\f（3\r（3),2))）,∴eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o(OC，\s\up6（→))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2)，\f（3\r(3),2)）），即b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2），\f（3\r(3）,2））).(2）eq\o(BA,\s\up6（→））＝－eq\o(AB,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)，－\f(3\r(3)，2）)）。(3）eq\o(OB,\s\up6(→）)＝eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o（AB，\s\up6(→)）＝（2eq\r（2），2eq\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,2)，\f(3\r(3），2)))＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2\r（2)－\f（3，2），2\r（2）＋\f（3\r（3),2）))。反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且｜a|＝2，｜b｜＝3，|c|＝4,分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝（c1，c2），则a1＝｜a|cos45°＝2×eq\f（\r（2），2）＝eq\r(2).a2＝｜a|sin45°＝2×eq\f（\r(2）,2)＝eq\r(2）,b1＝｜b｜cos120°＝3×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)））＝－eq\f(3，2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f（\r（3）,2）＝eq\f（3\r（3），2），c1＝|c|cos（－30°)＝4×eq\f（\r（3）,2）＝2eq\r（3),c2＝｜c|sin（－30°)＝4×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)))＝－2。因此a＝(eq\r(2)，eq\r（2）），b＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2）,\f（3\r（3）,2)）），c＝(2eq\r（3），－2)．类型二平面向量的坐标运算例2已知a＝（－1，2)，b＝（2，1)，求:(1）2a＋3b;（2)a－3b；（3）eq\f(1,2）a－eq\f(1,3)b.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解（1）2a＋3b＝2（－1,2）＋3（2,1)＝（－2,4)＋(6,3）＝（4，7)．(2)a－3b＝(－1，2）－3(2，1)＝(－1,2）－(6，3)＝(－7，－1）．(3)eq\f（1,2）a－eq\f（1,3)b＝eq\f(1,2)（－1，2)－eq\f（1，3）(2,1)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，1）)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)，\f(1，3）))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（7，6),\f（2，3）)）.反思与感悟向量坐标运算的方法(1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练2已知点A(0,1），B(3，2),向量eq\o（AC，\s\up6(→））＝（－4，－3），则向量eq\o（BC，\s\up6（→）)等于(）A．（－7,－4） B．(7,4)C．(－1,4） D．(1,4）考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析设C（x,y)，则eq\o（AC,\s\up6(→）)＝(x,y－1）＝（－4，－3），即x＝－4,y＝－2，故C(－4，－2)，则eq\o（BC,\s\up6（→)）＝（－7，－4)，故选A。类型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2,3）,B(5，4）,C(7,10)．若eq\o（AP，\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＋λeq\o(AC，\s\up6（→）)（λ∈R)，试求λ为何值时:（1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2）点P在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点P的坐标为(x，y），则eq\o(AP,\s\up6（→）)＝(x,y）－（2,3)＝（x－2，y－3)，eq\o（AB,\s\up6(→)）＋λeq\o(AC,\s\up6（→))＝(5，4)－（2，3）＋λ［（7，10)－（2,3）]＝(3,1)＋λ(5,7）＝（3＋5λ，1＋7λ）．∵eq\o（AP，\s\up6(→））＝eq\o（AB,\s\up6（→）)＋λeq\o(AC，\s\up6(→)),且eq\o（AB,\s\up6(→))与eq\o(AC，\s\up6(→))不共线,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2＝3＋5λ，，y－3＝1＋7λ，）)则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，，y＝4＋7λ.））（1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq\f（1,2)。(2）若点P在第三象限内，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（5＋5λ<0，,4＋7λ<0,)）∴λ〈－1。反思与感悟（1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组）求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用．（2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3已知平面上三点的坐标分别为A（－2,1)，B(－1,3）,C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由eq\o(AB,\s\up6(→））＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6（→）)＝(3－x，4－y），且eq\o（AB，\s\up6（→））＝eq\o(DC，\s\up6（→)），得D（2，2）．当平行四边形为ACDB时，设D(x，y），由eq\o（AB,\s\up6(→）)＝(1,2），eq\o（CD,\s\up6（→））＝(x－3，y－4)，且eq\o（AB，\s\up6(→）)＝eq\o（CD,\s\up6(→）），得D（4，6)．当平行四边形为ACBD时,设D(x，y）,由eq\o(AC，\s\up6（→)）＝(5,3)，eq\o（DB,\s\up6（→）)＝（－1－x，3－y)，且eq\o(AC,\s\up6（→))＝eq\o（DB,\s\up6(→）），得D（－6，0)，故D点坐标为(2，2)或(4，6)或（－6，0)。1．已知a＝(1,1），b＝（1，－1），则eq\f（1,2）a－eq\f(3，2）b等于（)A．(－1，2） B．（1，－2）C．（－1，－2) D．（1,2)考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析eq\f(1，2）a－eq\f(3，2)b＝eq\f(1,2）(1，1)－eq\f（3，2）（1，－1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)－\f（3,2），\f(1,2）＋\f(3,2）)）＝(－1，2）．2．已知向量eq\o（OA,\s\up6(→）)＝(3,－2)，eq\o（OB,\s\up6(→))＝（－5，－1)，则向量eq\f（1，2）eq\o(AB,\s\up6(→））的坐标是（）A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－4，\f（1，2))) B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2）)）C．(－8,1） D．(8,1）考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析∵eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o（OB，\s\up6(→))－eq\o（OA，\s\up6(→））＝(－8,1），∴eq\f(1,2)eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－4，\f（1，2)））.3．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B(－1，－2）,C（3，1)，且eq\o（BC，\s\up6（→)）＝2eq\o(AD，\s\up6(→)）,则顶点D的坐标为（)A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(7，2))) B.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，－\f（1，2))）C．(3，2） D．(1,3）考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案A解析设D点坐标为(x，y)，则eq\o(BC,\s\up6（→)）＝(4,3)，eq\o（AD，\s\up6（→）)＝（x，y－2)，由eq\o（BC，\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→））,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4＝2x,，3＝2y－2，）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝\f(7，2)））,∴Deq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f(7，2))）.4．已知向量a＝（2，－3),b＝(1,2)，p＝（9，4）,若p＝ma＋nb，则m＋n＝________。考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案7解析由于p＝ma＋nb，即（9,4)＝（2m，－3m）＋(n，2n）＝(2m＋n,－3m＋2n)，所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，解得m＝2，n＝5,所以m＋n＝7。5．已知点A（2，1)，B（－2,3),且eq\o(AC，\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)eq\o(AB，\s\up6（→))，则点C的坐标为________．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案(0,2)解析设C(x，y），则（x－2，y－1)＝eq\f(1,2）(－4，2）＝（－2,1），∴x＝0,y＝2。1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示,沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A（xA，yA）,B(xB，yB）,则eq\o（AB，\s\up6(→））＝(xB－xA,yB－yA）．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差,数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题1．已知M（2,3)，N（3,1）,则eq\o（NM，\s\up6（→）)的坐标是（)A．(2,－1）B．(－1，2)C．（－2,1)D．（1，－2）考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案B解析eq\o(NM，\s\up6(→））＝（2，3）－（3,1）＝（－1，2)．2．已知a－eq\f(1,2)b＝(1,2),a＋b＝（4，－10)，则a等于(）A．(－2,－2) B．(2,2）C．(－2,2) D．（2，－2)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案D3．若向量a＝(1,1)，b＝（－1，1),c＝（4，2），则c等于(）A．3a－b B．3a＋bC．－a＋3b D．a＋3b考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案A解析设c＝xa＋yb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，，x＋y＝2，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，)）∴c＝3a－b。4．已知两点A(4,1），B（7，－3)，则与向量eq\o(AB，\s\up6（→))同向的单位向量是(）A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，5），－\f(4，5）)） B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3,5)，\f(4，5））)C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(4,5），\f(3，5）)） D.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f（3,5)）)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案A解析因为与eq\o（AB，\s\up6(→))同向的单位向量为eq\f（\o(AB,\s\up6（→)），｜\o（AB,\s\up6(→)）|)，eq\o（AB，\s\up6(→））＝（7,－3）－（4，1)＝（3，－4)，|eq\o（AB，\s\up6(→))|＝eq\r（32＋－42）＝5,所以eq\f(\o（AB,\s\up6(→)），|\o（AB，\s\up6（→））｜）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3，5)，－\f（4,5))）.5．如果将eq\o（OA,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，2），\f（1，2）））绕原点O逆时针方向旋转120°得到eq\o（OB,\s\up6（→）)，则eq\o（OB，\s\up6（→)）的坐标是（)A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,2)，－\f（1,2)))C．(－1，eq\r(3)) D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），2）,\f（1，2)))考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案D解析因为eq\o(OA,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2),\f(1，2))）所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到eq\o(OB,\s\up6（→)）所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)，2）,\f(1,2））)，故eq\o（OB，\s\up6(→))的坐标是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3）,2），\f(1,2))），故选D.6．已知M（－2，7),N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq\o（PN,\s\up6（→))＝－2eq\o（PM，\s\up6（→）)，则P点的坐标为(）A．(－14,16) B．（22，－11)C．（6,1) D．（2，4）考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案D7．若（－1，1)，n＝（1，2）下的坐标为（）A．(2，0） B．(0，－2）C．（－2,0） D．（0，2)考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案D解析∵a在基底p,q下的坐标为(－2，2)，∴a＝－2p＋2q＝－2（1，－1）＋2（2，1)＝(2，4)．令a＝xm＋yn＝（－x＋y，x＋2y),∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x＋y＝2，，x＋2y＝4，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝2，))∴a在基底m,n下的坐标为(0，2）．二、填空题8．已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10），则eq\f(1,2）eq\o（AC,\s\up6（→)）－eq\f（1,4)eq\o(BC,\s\up6（→))的坐标是________．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案（－3，6）9．已知A(－2，4），B（3，－1),C(－3，－4），eq\o(CM,\s\up6（→))＝3eq\o(CA，\s\up6(→）），eq\o（CN，\s\up6（→)）＝2eq\o（CB，\s\up6（→)),则eq\o（MN，\s\up6(→））的坐标为________．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案（9，－18)解析eq\o（CM,\s\up6(→))＝3（1，8）＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up6(→））＝2（6,3）＝（12,6)，eq\o（MN，\s\up6（→）)＝eq\o（CN,\s\up6（→））－eq\o（CM,\s\up6(→）)＝（12，6)－(3,24)＝（9，－18）．10.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R），则eq\f(λ,μ)的值为________．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案4解析以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，则a＝(－1,1），b＝(6,2)，c＝（－1，－3)，根据c＝λa＋μb得(－1，－3)＝λ（－1,1）＋μ(6，2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－eq\f(1,2），故eq\f(λ，μ)＝4。11．已知A（2，3），B(1,4），且eq\f（1,2)eq\o(AB,\s\up6（→）)＝（sinα，cosβ），α，β∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），\f（π，2)）)，则α＋β＝________。考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案eq\f(π，6)或－eq\f(π,2）解析因为eq\f(1,2)eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\f（1，2）(－1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），\f（1，2))）＝(sinα，cosβ），所以sinα＝－eq\f(1，2）且cosβ＝eq\f(1，2），∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f（π，2)）），所以α＝－eq\f(π，6)，β＝eq\f（π，3）或－eq\f(π,3)，所以α＋β＝eq\f(π,6）或－eq\f（π，2）。三、解答题12．已知点A（－1,2),B（2，8）及eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\f(1,3)eq\o(AB，\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f（1,3)eq\o(BA，\s\up6(→)），求点C，D和eq\o（CD，\s\up6(→)）的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点C（x1，y1），D（x2,y2），由题意可得eq\o(AC,\s\up6(→）)＝（x1＋1，y1－2），eq\o（AB，\s\up6(→）)＝(3，6)，eq\o(DA，\s\up6（→))＝（－1－x2，2－y2），eq\o（BA，\s\up6(→))＝（－3，－6）．∵eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\f（1,3)eq\o（AB，\s\up6(→)），eq\o(DA，\s\up6（→)）＝－eq\f（1,3）eq\o(BA，\s\up6(→)）,∴（x1＋1,y1－2)＝eq\f（1,3)（3，6）＝(1,2),(－1－x2，2－y2)＝－eq\f(1，3)（－3，－6)＝(1,2)，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＋1＝1，，y1－2＝2))和eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1－x2＝1，,2－y2＝2,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝0，，y1＝4））和eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝－2,,y2＝0.）)∴C，D的坐标分别为（0，4)和(－2,0)，∴eq\o（CD，\s\up6(→））＝（－2，－4)．13．已知a＝(2，1），b＝（－1,3），c＝（1，2)，求p＝2a＋3b＋c,并用基底a,b表示p.考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解p＝2a＋3b＋c＝2(2，1)＋3(－1,3)＋（1，2)＝(4,2）＋（－3，9)＋(1，2）＝（2,13）．设p＝xa＋yb＝x（2,1)＋y（－1，3)＝(2x－y，x＋3y),a与b不共线，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝2，，x＋3y＝13，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（19，7），,y＝\f（24，7）。))∴p＝eq\f（19,7）a＋eq\f（24,7)b.四、探究与拓展14．已知点A（3,－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq\o（AP，\s\up6（→)）｜＝2|eq\o（PB，\s\up6（→)）｜，求点P的坐标．考点平面向