2018-2019数学新学案同步必修四北师大版讲义：第一章 三角函数3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3弧度制学习目标1。理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式。知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案周角的eq\f（1,360)等于1度。思考2在弧度制中,1弧度的角是如何规定的,如何表示?答案在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，用符号rad表示。思考3“1弧度的角"的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案在半径为1的圆中,1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.梳理（1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的eq\f(1,360)弧度制在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角。它的单位符号是rad，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制（2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足｜α|＝eq\f(l,r）。知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案利用1°＝eq\f（π，180)rad和1rad＝eq\f（180°,π）进行弧度与角度的换算。梳理（1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f（π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\f（180°，π）≈57。30°＝57°18′(2）一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π，180）eq\f（π，6）eq\f（π,4)eq\f（π,3)eq\f（π,2)eq\f(2π，3)eq\f(3π,4)eq\f(5π，6）πeq\f（3π，2)2π知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数,则S＝eq\f(1，2)lr，l＝αr.梳理α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝eq\f（απr,180）l＝αr扇形的面积S＝eq\f(απr2，360)S＝eq\f(1，2）lr＝eq\f（1,2)αr21。1rad的角和1°的角大小相等.（×)提示1rad的角和1°的角大小不相等，1°＝eq\f（π,180）rad。2。用弧度来表示的角都是正角。（×)提示弧度也可表示负角,负角的弧度数是一个负数。3。“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值，与所在圆的半径大小无关.类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化。（1）20°；(2)－15°；(3）eq\f（7π，12)；（4）－eq\f（11π，5）.考点弧度制题点角度与弧度的互化解（1)20°＝eq\f(20π，180）＝eq\f(π，9)。（2）－15°＝－eq\f(15π,180）＝－eq\f(π,12）。(3)eq\f(7π，12）＝eq\f（7,12)×180°＝105°.（4)－eq\f(11π，5)＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°。反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解。把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq\f（180°，π)即可。跟踪训练1(1）把112°30′化成弧度；(2）把－eq\f(5π,12）化成度。考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1）112°30′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(225，2）））°＝eq\f（225,2）×eq\f（π，180)＝eq\f（5π,8）。(2）－eq\f(5π,12）＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5π，12）×\f(180,π）））°＝－75°。类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2kπ＋α（0≤α〈2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角。（1)－1500°；（2)eq\f（23π,6);(3）－4.考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°。∴－1500°可化成－10π＋eq\f（5π，3)，是第四象限角。(2）∵eq\f（23π，6）＝2π＋eq\f（11π，6）,∴eq\f(23π,6)与eq\f（11π，6）终边相同，是第四象限角.(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq\f(π,2）＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角。反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z）时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用。跟踪训练2(1）把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z）的形式，其中0≤α≤2π；(2)在[0°，720°］内找出与eq\f(2π,5）角终边相同的角.考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角解(1)∵－1480°＝－1480×eq\f(π，180)＝－eq\f（74π，9），而－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f（16π,9），且0≤α≤2π，∴α＝eq\f（16π,9)。∴－1480°＝eq\f(16π,9)＋2×(－5)π。(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f（2π，5）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（180,π）))°＝72°,∴终边与eq\f(2π,5)角的终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z）,当k＝0时，θ＝72°;当k＝1时,θ＝432°。∴在[0°，720°]内与eq\f（2π，5)角终边相同的角为72°，432°。类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3（1)若扇形的中心角为120°，半径为eq\r(3），则此扇形的面积为(）A。πB。eq\f（5π，4)C.eq\f(\r（3)π,3）D.eq\f(2\r（3)π,9）(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为()A。2B。eq\f（2,sin1）C.2sin1D.eq\f（4，sin1)考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用答案(1)A（2)D解析(1）扇形的中心角为120°＝eq\f（2π,3)，半径为eq\r（3），所以S扇形＝eq\f(1，2）｜α｜r2＝eq\f(1，2）×eq\f(2π,3)×(eq\r(3））2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形,半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为eq\f（2,sin1)。这个圆心角所对的弧长为2×eq\f（2，sin1)＝eq\f(4，sin1).反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝eq\f（1，2）lr＝eq\f(1,2）|α｜r2，二是l＝｜α|r，如果已知其中两个,就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度,再计算.跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用解设扇形的半径为R，弧长为l,则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝eq\f(1，2）lR,得1＝eq\f(1，2)（4－2R）·R,∴R＝1，∴l＝2，∴α＝eq\f（l,R)＝eq\f(2,1)＝2，即扇形的圆心角为2rad。1.下列说法中，错误的是(）A。“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的eq\f（1，360），1rad的角是周角的eq\f(1,2π）C.1rad的角比1°的角要大D。用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关考点弧度制题点对弧度制概念的理解答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的,故选D。2。时针经过一小时，转过了()A.eq\f（π，6)rad B。－eq\f(π,6）radC。eq\f（π,12)rad D。－eq\f（π,12）rad考点弧度制题点角度与弧度的互化答案B解析时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－eq\f（π，6）rad，故选B.3.若θ＝－5,则角θ的终边在(）A.第四象限 B。第三象限C.第二象限 D.第一象限考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案D解析2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）)），∴2π－5是第一象限角,则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2，则扇形圆心角的弧度数是（）A。1 B.4C.1或4 D.2或4考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用答案C解析设扇形半径为r,圆心角的弧度数为α，则由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2r＋αr＝6，，\f（1，2)αr2＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝2，，α＝1。）)5.已知扇形AOB的圆心角α为eq\f（2π，3)，半径长R为6，求:（1）弧AB的长；（2)扇形所含弓形的面积。考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1）l＝α·R＝eq\f(2π,3）×6＝4π，所以弧AB的长为4π.（2）S扇形OAB＝eq\f（1，2）lR＝eq\f（1，2）×4π×6＝12π.如图所示,过点O作OD⊥AB，交AB于点D，eq\f(2π,3)＝120°,所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×6sin30°＝9eq\r（3）.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3)。1。角的概念推广后,在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角）与它对应.2。解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式.易知：度数×eq\f(π，180）rad＝弧度数,弧度数×eq\f（180°,π）＝度数。3。在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、选择题1.下列与eq\f（9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A.2kπ＋45°（k∈Z)B。k·360°＋eq\f(9π,4)（k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D。kπ＋eq\f(5π，4)（k∈Z)考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案C解析A,B中弧度与角度混用，不正确.eq\f（9π，4）＝2π＋eq\f(π,4），所以eq\f(9π,4）与eq\f(π，4）的终边相同.－315°＝－360°＋45°,所以－315°也与45°的终边相同.故选C.2.下列转化结果错误的是（）A.60°化成弧度是eq\f（π,3)B.－eq\f（10，3）π化成度是－600°C。－150°化成弧度是－eq\f(7,6）πD。eq\f（π，12)化成度是15°考点弧度制题点角度与弧度的互化答案C解析C项中－150°＝－150×eq\f(π,180）＝－eq\f(5,6)π.3.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为(）A。第一象限 B。第二象限C.第三象限 D。第四象限考点弧度制的应用题点角所在象限的判断答案C解析∵－π<－2〈－eq\f(π，2),∴2π－π<2π－2<2π－eq\f（π,2),即π<2π－2<eq\f(3，2)π,∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角.4。把－eq\f(11,4）π表示成θ＋2kπ(k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是()A.－eq\f（3，4)πB.－2πC。πD.－π考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案A解析∵－eq\f(11，4)π＝－2π＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3，4）π））＝2×（－1)π＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3，4)π)),∴θ＝－eq\f（3,4）π。5.若扇形圆心角为eq\f（π,3）,则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为（）A。1∶3B.2∶3C.4∶3D。4∶9考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋eq\f(r,sin\f（π,6）)＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2，S扇形＝eq\f（1，2)αR2＝eq\f(1，2）×eq\f(π，3)×9r2＝eq\f（3，2）πr2.∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.6。已知一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正方形的边长，则这段圆弧对应的圆心角的弧度数为()A.eq\f(π,2） B.eq\f(π，3）C.eq\r（2） D。eq\r（3）考点弧度制题点弧度制的综合应用答案C解析二、填空题7.（2017·陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式答案2eq\r（3)解析设圆的半径为r,其外切正三角形的边长为a，则r＝eq\f(1，3)×eq\f(\r（3)，2)×a＝eq\f（\r（3)，6）a,又弧长为a，所以圆心角为α＝eq\f(a，r)＝eq\f（a，\f（\r(3)，6）a）＝eq\f（6，\r（3))＝2eq\r（3).8.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π,k∈Z｝，集合B＝{x|－4≤x≤4},则A∩B＝。考点弧度制的应用题点弧度制与集合的综合答案［－4，－π］∪[0，π]解析如图所示，∴A∩B＝[－4,－π]∪[0，π］。9.若2π<α<4π，且α与－eq\f（7,6)π角的终边垂直，则α＝。考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案eq\f（7,3)π或eq\f(10，3）π解析α＝－eq\f（7，6)π－eq\f(π,2)＋2kπ＝2kπ－eq\f(5,3）π，k∈Z,∵2π<α<4π，∴k＝2,α＝eq\f(7，3)π;或者α＝－eq\f(7，6)π＋eq\f(π，2)＋2kπ＝2kπ－eq\f（2，3）π，k∈Z，∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝eq\f（10，3)π.综上,α＝eq\f(7，3)π或eq\f(10,3）π.10。如果圆心角为eq\f(2π，3)的扇形所对的弦长为2eq\r(3)，则扇形的面积为.考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用答案eq\f(4π,3）解析如图，作BF⊥AC.已知AC＝2eq\r(3),∠ABC＝eq\f（2π,3)，则AF＝eq\r(3），∠ABF＝eq\f（π,3）.∴AB＝eq\f(AF,sin∠ABF)＝2，即扇形的半径R＝2。∴弧长l＝|α｜R＝eq\f(4π,3),∴S＝eq\f（1,2）lR＝eq\f(4π,3)。三、解答题11.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R。（1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;（2)若扇形的周长是30,当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用解（1)设弧长为l,弓形面积为S弓.∵α＝60°＝eq\f(π，3)，R＝10cm,∴l＝αR＝eq\f(10π,3)（cm).S弓＝S扇－S△＝eq\f(1，2）×eq\f（10π，3）×10－2×eq\f（1,2)×10×sineq\f(π,6)×10×coseq\f（π,6)＝50eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，3）－\f(\r(3),2)))（cm2）.（2)∵l＋2R＝30，∴l＝30－2R，从而S＝eq\f（1,2）·l·R＝eq\f(1,2)（30－2R）·R＝－R2＋15R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(15，2）））2＋eq\f（225,4).∴当半径R＝eq\f（15,2）cm时，l＝30－2×eq\f（15，2)＝15（cm),扇形面积的最大值是eq\f（225,4）cm2，这时α＝eq\f（l,R)＝2（rad）.∴当扇形的圆心角为2rad,半径为eq\f（15，2）cm时，面积最大,为eq\f（225,4）cm2。12。已知角α＝1200°。（1）将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β〈2π）的形式，并指出α是第几象限的角；（2）在区间［－4π,π］上找出与α终边相同的角。考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角解(1)∵α＝1200°＝1200×eq\f（π,180）＝eq\f（20π，3)＝3×2π＋eq\f（2π，3），又eq\f(π,2）<eq\f(2π,3)<π，∴角α与eq\f(2π，3)的终边相同，且角α是第二象限的角。(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内）为2kπ＋eq\f(2π,3),k∈Z，∴由－4π≤2kπ＋eq\f(2π，3）≤π，得－eq\f（7，3)≤k≤eq\f(1,6).∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0。故在区间［－4π，π]上与角α终边相同的角是－eq\f(10π，3)，－eq\f（4π,3),eq\f（2π,3)。13.如图，已知一个长为eq\r（3）dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成eq\f（π,6)的角。求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解AA1所在圆弧的半径是2dm，圆心角为eq\f（π，2)；A1A2所在圆弧的半径是1dm，圆心角为eq\f（π，2）；A2A3所在圆弧的半径是eq\r(3)dm，圆心角为eq\f(π，3)，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×eq\f(π,2)＋1×eq\f(π，2）＋eq\r(3)×eq\f（π,3)＝eq\f（9＋2\r(3）,6)π（dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是eq\f（1，2）×2×π＋eq\f（1,2)×eq\f（π,2）＋eq\f（1，2）×eq\r（3)×eq\f（\r(3)π,3）＝eq\f(7π，4）（dm2)。四、探究与拓展14.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f（1，2)(弦×矢＋矢2)。弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为e