2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第3章 概率3.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3。3几何概型学习目标1。了解几何概型与古典概型的区别.2.了解几何概型的定义及其特点。3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理（1）几何概型的定义:设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．(2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A）＝eq\f(d的测度，D的测度）。1．在几何概型中，事件A的概率与构成事件A的大小和形状均有关系．（×)2．从几何概型看，不可能事件的概率为0，概率为0的事件是不可能事件．(×）3．几何概型与古典概型的区别主要是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．（√）类型一几何概型的判断例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型,还是几何概型．（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜,否则乙获胜．求甲获胜的概率．解（1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36(种),且它们都是等可能的，因此属于古典概型;(2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关,因此属于几何概型．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤(1）判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等,若不相等,那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型．(2）如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时,这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型,并说明理由：(1）某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．解(1）不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2）是几何概型,因为它具有无限性与等可能性．类型二几何概型的计算eq\x（命题角度1与长度有关的几何概型）例2某公共汽车站,每隔15分钟有一辆车发出,并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟"为事件A。则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝eq\f（T1T，T1T2）＝eq\f（2,15).引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时,候车时间不超过10分钟,故所求概率P＝eq\f（TT2,T1T2）＝eq\f（13,15).2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．解由原题解析图可知,当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P＝eq\f（T0T2,T1T2）＝eq\f（3，15)＝eq\f（1,5)。反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果（基本事件）都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．跟踪训练2取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A。把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时,事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P(A）＝eq\f（1，3).eq\x（命题角度2与面积有关的几何概型)例3射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12。2cm，运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少？解如图，记“射中黄心”为事件B。因为中靶点随机地落在面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，4）×π×1222）)cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）×π×12。22））cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P（B）＝eq\f（\f(1,4)×π×12。22，\f(1，4）×π×1222）＝0。01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：（1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2）找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练3欧阳修《卖油翁》中写到，（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3cm的圆,中间有一个边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计）,则油滴正好落入孔中的概率是________．答案eq\f（4，9π)解析∵S正方形＝1cm2，S圆＝π·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，2))）2＝eq\f(9π,4）(cm2)，∴P＝eq\f（S正方形,S圆）＝eq\f(4，9π）。eq\x(命题角度3与体积有关的几何概型）例4三棱锥D—ABC的体积为V,在其内部任取一点P，求三棱锥P—ABC的体积小于eq\f（1，3）V的概率．解如图，设三棱锥D-ABC的底面ABC的面积为S,高为h，则VD-ABC＝eq\f（1,3）Sh＝V。设平面EFG是距底面ABC的距离为eq\f(1，3)h的平面，则点P落在平面EFG与平面ABC之间时，可以保证三棱锥P—ABC的体积小于eq\f(1,3）V.由于三棱锥D-EFG的底面EFG的面积为eq\f(4,9)S，高为eq\f(2,3）h，因此VD-EFG＝eq\f(1，3)×eq\f(4,9）S·eq\f（2,3）h＝eq\f（8，27)V，因此所求概率P＝eq\f(V－\f(8，27)V,V)＝eq\f(19,27).反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A）＝eq\f（构成事件A的区域体积，试验的全部结果所构成的区域体积）。解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．答案eq\f（2\r（3),3π）解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1,球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝eq\f(\r（3）,2），球的体积V2＝eq\f（4，3）π×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2))）3＝eq\f（\r(3），2）π，则此点落在正方体内部的概率P＝eq\f（V1,V2）＝eq\f（2\r(3），3π).1．下列概率模型:①从区间［－10,10］内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10］内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1cm的概率．其中，是几何概型的为________．答案①③解析①是，因为区间［－10,10］和［－1,1]内都有无限多个数可取(无限性),且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同（等可能性)；②不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是,因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点（无限性），且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性）．2．在区间[－1，3]上任取一点，则此点落在区间[－1,0]上的概率为________．答案eq\f（1，4）解析[－1，0］的区间长度为1,［－1,3]的区间长度为4,所以P＝eq\f（1,4）.3．面积为S的△ABC，D是BC的中点,向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．答案eq\f（1,2）解析向△ABC内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P（M)＝eq\f（△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1，2）.4．在圆心角为150°的扇形AOB中,过圆心O作射线交于P,则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为________．答案eq\f(1，5)解析本题几何测度为角度,同时满足条件的概率为eq\f（150°－45°－75°，150°）＝eq\f(30°，150°)＝eq\f(1，5).5．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯,灯与两端距离都大于2m的概率为________．答案eq\f(1,3)解析记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P（A)＝eq\f（2，6）＝eq\f(1,3）。1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．一、填空题1．从区间(15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17<a〈20的概率是________．答案eq\f（3,10）解析由a∈(15,25],得P(17〈a〈20）＝eq\f（20－17,25－15)＝eq\f(3，10)。2．在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是________．答案eq\f（1,5）解析以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．所以，所求概率P（A）＝eq\f(8－6,10)＝eq\f(1,5).3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是________．答案eq\f（1，16)解析由题意可知,在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯"的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，根据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq\f(5,80）＝eq\f(1,16）。4．设有一均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的数字,另一半均匀地刻上区间［1，3］上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f(3，2）））上的概率是________．答案eq\f(3，8)解析由题意,记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，\f（3，2))）”．设圆的周长为C，则P(A)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)C＋\f(1，4)×\f(1，2)C,C）＝eq\f(3，8).5。如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是________．答案1－eq\f（π，4)解析由题意得无信号的区域面积为2×1－2×eq\f（1，4）π×12＝2－eq\f（π,2)，由几何概型的概率公式,得无信号的概率为P＝eq\f（2－\f（π,2),2)＝1－eq\f（π，4）。6．在区间［－2,4]上随机地取一个数x,若x满足｜x｜≤m的概率为eq\f(5,6），则m＝________。答案3解析由|x｜≤m，得－m≤x≤m。当0<m≤2时，由题意得eq\f（2m，6）＝eq\f(5，6)，解得m＝2。5，矛盾，舍去．当2〈m〈4时，由题意得eq\f(m－－2，6）＝eq\f(5，6)，解得m＝3.即m的值为3。7．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，则此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为________．答案0。31解析对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．如图所示，区域Ω是长30m，宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600（m2)，阴影A的面积为30×20－26×16＝184（m2）．所以P（A）＝eq\f（184,600）＝eq\f（23,75)≈0.31。8．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落在三角形内的概率为________．答案eq\f(3\r（3）,4π）解析设圆面半径为R,如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1，2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f(3\r（3)R2，4)，∴P＝eq\f(S△ABC，πR2)＝eq\f（3\r（3)R2,4πR2）＝eq\f（3\r（3）,4π)。9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．答案①解析①中P1＝eq\f(3，8)，②中P2＝eq\f（2,6）＝eq\f（1,3），③中设正方形边长为2，则P3＝eq\f（4－π×12,4)＝eq\f（4－π,4），④中设圆直径为2，则P4＝eq\f（\f(1,2)×2×1，π）＝eq\f（1，π）。在P1，P2，P3,P4中，P1最大．10．设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点B与点A连接,则弦长超过半径的eq\r（2）倍的概率是________．答案eq\f（1，2）解析如图，在圆O上有一定点A，任取一点B与点A连接，且弦长超过半径的eq\r（2)倍，即为∠AOB的度数大于90°,而小于270°.记“弦长超过半径的eq\r(2）倍"为事件C，则事件C表示的范围是∠AOB∈(90°,270°)．由几何概型的概率公式，得P（C）＝eq\f(270°－90°，360°)＝eq\f（1,2）.11．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．答案1－eq\f（π,4）解析如图，要使图中点到O的距离大于1,则该点需取在图中阴影部分，故概率P＝eq\f（2－\f(π,2）,2）＝1－eq\f(π，4)。二、解答题12．设点M(x，y)在区域｛(x，y）||x｜≤1，｜y｜≤1}上均匀分布出现，求：（1）x＋y≥0的概率；(2）x＋y＜1的概率；(3)x2＋y2≥1的概率．解如图，满足|x|≤1,|y|≤1的点（x，y)组成一个边长为2的正方形（ABCD）区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.(1）x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方（含AC）,即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝eq\f(1,2)·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0）＝eq\f(2,4）＝eq\f(1,2)。(2)设E（0,1），F(1,0）,则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方,即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－eq\f(1，2)＝eq\f(7，2)，所以P（x＋y＜1）＝eq\f（S五边形ABCFE，S正方形ABCD）＝eq\f(\f（7,2)，4)＝eq\f（7,8)。(3）满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，