2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第2章 统计2.1.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.3分层抽样学习目标1.理解分层抽样的基本思想和适用情形。2。掌握分层抽样的实施步骤.3.了解三种抽样方法的区别和联系．知识点一分层抽样思考当总体由差异明显的几部分构成时，为了使样本能充分地反映总体情况，在抽样时，还能直接用简单随机抽样吗?答案不能．梳理分层抽样的概念及特点（1）分层抽样的定义一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．(2）分层抽样具有如下特点:①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②按比例确定每层抽取个体的个数；③在每一层进行抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样的方法；④分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性;⑤分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是eq\f（样本容量n，总体容量N),而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法知识点二分层抽样的实施步骤分层抽样的步骤是：（1）将总体按一定标准分层．（2)计算各层的个体数与总体的个体数的比．（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量．(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样）．知识点三三种抽样方法的比较类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同系统抽样将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层,按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成1．系统抽样和分层抽样都是等可能抽样．（√）2．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(√）3．因为抽样在不同层内进行，所以不同层的个体被抽到的可能性不一样．(×）类型一对分层抽样概念的理解例1有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是________．答案分层抽样解析总体是由差异明显的几部分组成,符合分层抽样的特点,故采用分层抽样．反思与感悟判断抽样方法是分层抽样,主要是依据分层抽样的特点：（1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．（2）样本能更充分地反映总体的情况．（3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪训练1在100个零件中,有一级品20个，二级品30个，三级品50个,从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01,02，…，99,用抽签法抽取20个．方法2：采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个．方法3：采用分层抽样的方法,从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是________．①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是eq\f（1,5)；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同;③在上述三种抽样方法中，方法3抽到的样本比方法1和方法2抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中,方法2抽到的样本比方法1和方法3抽到的样本更能反映总体的特征．答案①③解析根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等,都是eq\f（n,N)，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．类型二分层抽样的应用例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层抽样来抽取样本，步骤如下：（1）分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．（2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f（100，500）＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq\f(1，5）＝25（人);在35岁至49岁的职工中抽取280×eq\f（1，5)＝56（人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq\f(1，5)＝19(人）．(3)在各层分别按系统抽样或随机数表法抽取样本．（4）汇总每层抽样，组成样本．反思与感悟利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1）将总体按一定标准进行分层；（2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样）；（5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪训练2某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程．解(1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．(2）确定每层抽取个体的个数,在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×eq\f（2,2＋3＋5）＝40；200×eq\f（3，2＋3＋5）＝60；200×eq\f(5，2＋3＋5）＝100.（3）在各层分别按系统抽样法抽取样本．（4)综合每层抽样，组成容量为200的样本．类型三三种抽样方法的比较例3某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61,88，115，142，169，196,223,250；②5，9，100,107,111,121,180，195，200，265;③11，38,65,92，119，146,173,200,227，254；④30，57，84，111,138,165,192,219,246,270。关于上述样本的下列结论中,正确的是________．a．②③都不能为系统抽样；b．②④都不能为分层抽样；c．①④都可能为系统抽样；d．①③都可能为分层抽样．答案d解析如果按分层抽样,在一年级抽取108×eq\f（10，270)＝4(人)，在二、三年级各抽取81×eq\f(10，270）＝3(人),则在号码段1,2，…,108抽取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，在号码段190,191，…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合，②④不符合,所以①③都可能为系统抽样,②④都不能为系统抽样．反思与感悟根据样本的号码判断抽样方法时,要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号码段内;利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k。其中,l为第一个样本号码(l≤k)，n为样本容量(n＝1,2,3,…），l是第一组中的号码，k为分段间隔,k＝总体容量/样本容量．跟踪训练3一个总体中的80个个体编号为0,1,2,…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，7，要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本：即在0组先随机抽取一个号码i，则k组抽取的号码为10k＋j,其中j＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(i＋ki＋k＜10，，i＋k－10i＋k≥10，))若先在0组抽取的号码为6，则所抽到的8个号码依次为_________________________________．答案6，17,28，39,40,51,62，73解析因为i＝6，所以1组抽取号码为10×1＋(6＋1）＝17,2组抽取号码为10×2＋（6＋2）＝28，3组抽取号码为10×3＋（6＋3）＝39,4组抽取号码为10×4＋（6＋4－10）＝40,5组抽取号码为10×5＋(6＋5－10)＝51，6组抽取号码为10×6＋(6＋6－10）＝62,7组抽取号码为10×7＋（6＋7－10）＝73.1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名,高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．答案8解析分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n，则eq\f（30，40）＝eq\f(6,n），得n＝8。2．某单位有职工750人,其中青年职工350人，中年职工250人,老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．答案15解析青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3,所以样本容量为7÷eq\f(7，15）＝15。3．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆,6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．答案6,30,10解析设三种型号的轿车依次抽取x,y，z辆，则有eq\f（x，1200）＝eq\f(y，6000)＝eq\f（z，2000）＝eq\f（46，1200＋6000＋2000)，解得x＝6，y＝30，z＝10。4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．答案20解析样本中松树苗为4000×eq\f(150,30000）＝4000×eq\f（1，200)＝20(棵)．5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．答案12解析设抽取男运动员的人数为n，则eq\f（n,48)＝eq\f（21,48＋36），解得n＝12.1．用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．2．分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样基础上的,由于它充分利用了已知信息,考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．解决分层抽样问题时，注意以下两个关系的应用:(1）eq\f(样本容量n,总体容量N)＝eq\f(各层抽取的样本数，该层容量).(2）总体中各层的容量比＝对应各层样本数之比．3．简单随机抽样是基础,系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成,对立统一．一、填空题1．将A,B,C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A,B，C三种性质的个体分别抽取________．答案3,6，12解析由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×eq\f（1，7）＝3,21×eq\f（2,7)＝6，21×eq\f(4,7)＝12。2．某中学有高中生3500人,初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．答案100解析由题意得，eq\f(70，n－70)＝eq\f（3500,1500）,解得n＝100.3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90的样本，则应在这三校抽取学生数分别为________．答案30，45,15解析抽样比是eq\f（90,3600＋5400＋1800）＝eq\f（1,120)，则应在这三校分别抽取学生:eq\f(1,120)×3600＝30(人)，eq\f(1,120)×5400＝45(人),eq\f（1,120）×1800＝15（人）．4．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000家,其中农民家庭1800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．（填序号）①简单随机抽样；②系统抽样;③分层抽样．答案①②③解析由于各家庭有明显的差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．5．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，则应从小学中抽取________所学校，从中学中抽取________所学校．答案189解析先求出样本抽取的比例,再逐个求解．150×eq\f（30,150＋75＋25）＝150×eq\f(30,250）＝18(所），75×eq\f(30,250)＝9（所）．6．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________人．答案10解析设超过45岁的职工应抽取x人，eq\f(25,200)＝eq\f(x，80),x＝10。7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生．现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人,则此学校共有高中学生______人．答案900解析高二年级被抽取45－20－10＝15（人），被抽取的比例为eq\f（15,300）＝eq\f(1，20),∴x＝400，z＝200.∴此学校共有高中学生900人．8．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是________．答案9，7解析抽样比为eq\f(16,54＋42）＝eq\f(1，6），则一班和二班分别被抽取的人数是54×eq\f(1，6)＝9，42×eq\f(1,6）＝7.9．学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的相关学生中抽取若干人进行调查,相关数据如表：相关学生人数抽取人数高一年级56b高二年级a3高三年级355则抽取的总人数为________．答案1610．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务的情况，记这项调查为②。则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是__________________．答案分层抽样，简单随机抽样解析由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异,所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样法．11．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本,则最适合的抽样方法是________．（填序号）①简单随机抽样；②系统抽样；③先从中年人中剔除1人，再用分层抽样；④先从老年人中剔除1人,再用分层抽样．答案④解析总人数为28＋54＋81＝163。样本容量为36,由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人抽取12人,青年人抽取18人，先从老年人中剔除1人，老年人抽取6人,组成36的样本．二、解答题12．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000，4000，8000。若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150的样本，应该如何抽样？解总体中的个体数N＝3000＋4000＋8000＝15000，样本容量n＝150,抽样比例为eq\f(n，N)＝eq\f（150，15000）＝eq\f（1，100），所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3000×eq\f(1,100)＝30（件)产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取4000×eq\f(1,100)＝40(件)产品，在第3条流水线生产的产品中随机抽取8000×eq\f（1,100）＝80（件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法．13．一批产品有一级品100个,二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．解①系统抽样方法：将200个产品编号1，2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为1~10号，…,第20段为191～200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则,通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号，…,第20段取196号,这样可得到一个容量为20的样本．②分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、三级品中分别抽取产品的个数依次是100×eq\f(1，10)，60×eq\f(1，10)，40×eq\f（1，10），即10,6，4.将一级品的100个产