2018-2019数学新学案同步必修三人教A版全国通用版讲义：第三章 概率章末复习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末复习学习目标1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率。2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3。能区分古典概型与几何概型,并能求相应概率。1。频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值,是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.求较复杂概率的常用方法（1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A)＝1－P(eq\x\to(A）)求解.3。古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P（A）＝eq\f（m，n)求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.4。几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解。1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.（√）2.“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”。（×)3。几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等。（√）类型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率eq\f(b，a）(1)计算表中次品的频率；(2）从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?（3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘?考点概率与频率题点概率与频率的应用解(1)表中次品频率从左到右依次为0。06,0.04，0。025，0。017，0。02，0。018。(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0。02.（3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘,则x（1－0。02）≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘.反思与感悟概率是个常数。但除了几类概型，概率并不易知,故可用频率来估计。跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80。950.880.920.890。91(1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗？(4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？考点概率与频率题点概率与频率的应用解(1）由题意得,击中靶心的频率与0。9接近，故概率约为0。9。(2）击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.（3）由概率的意义,可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化。后30次中，每次击中靶心的概率仍是0。9，所以不一定不击中靶心.（4)不一定.类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个，判断题2个,甲、乙两人各抽一题。(1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率解把3个选择题记为x1,x2，x3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：（x1，p1),(x1，p2）,（x2,p1)，（x2,p2），(x3，p1),(x3，p2），共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1），(p1,x2),（p1，x3),（p2，x1），（p2，x2),（p2，x3），共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：（x1，x2），（x1，x3),（x2，x1)，（x2，x3），(x3,x1），(x3,x2），共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1，p2)，（p2,p1），共2种.因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.（1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为eq\f(6,20）＝eq\f(3，10),“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为eq\f（6，20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3，10)＝eq\f（3，5)。（2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为eq\f（2,20）＝eq\f（1,10），故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f（1,10）＝eq\f（9,10）。反思与感悟在求有关事件的概率时,若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐,而其反面却较容易入手,这时，可以利用对立事件求解。跟踪训练2猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为eq\f(1,2），如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中,则猎人进行第三次射击，但距离已是200米.已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件的概率解三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.设距离为d,命中的概率为P，则有P＝eq\f(k，d2），将d＝100，P＝eq\f(1，2）代入上式,可得k＝5000，所以P＝eq\f(5000，d2)，所以P(B)＝eq\f(5000,1502)＝eq\f(2，9)，P(C）＝eq\f（5000，2002)＝eq\f(1，8)。又已知P（A）＝eq\f(1,2）,所以P（A∪B∪C)＝P（A）＋P（B)＋P（C)＝eq\f（1,2）＋eq\f(2，9）＋eq\f(1，8）＝eq\f（61,72).故三次内击中野兔的概率为eq\f（61，72)。类型三古典概型与几何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z)（1，1,2）（2,1,1）（2,2,2)(1,1，1)（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y,z)（1,2，2)(2，1，1）(2，2,1）(1，1，1)(2，1,2)（1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率。考点古典概型与几何概型题点古典概型解（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7,A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f（6，10）＝0。6，从而可估计该批产品的一等品率为0。6.(2）①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为｛A1,A2},{A1，A4}，｛A1,A5｝，｛A1,A7}，｛A1，A9｝，｛A2，A4｝，{A2，A5},｛A2，A7}，{A2，A9}，｛A4,A5｝，{A4，A7｝，｛A4,A9}，｛A5，A7｝，{A5,A9｝,｛A7,A9｝，共15种。②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2,A5，A7,则事件B发生的所有可能结果为｛A1，A2｝,{A1,A5｝，｛A1，A7｝,{A2,A5}，{A2，A7}，{A5，A7},共6种.所以P(B）＝eq\f(6，15)＝eq\f(2，5）。反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.跟踪训练3节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1，4) B。eq\f(1,2)C。eq\f(3,4) D。eq\f(7，8）考点古典概型与几何概型题点几何概型答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y且x,y相互独立，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，，0≤y≤4,，｜x－y｜≤2，））如图所示.∴两串彩灯第一次闪亮的时间相差不超过2秒的概率为P（｜x－y｜≤2)＝eq\f(S正方形－2S三角形,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f（1,2)×2×2,4×4)＝eq\f（12，16)＝eq\f(3,4）.类型四数形结合思想在求解概率中的应用例4口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球（不放回),试求“第二个人摸到白球”的概率.考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在古典概型中的应用解把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示.从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果为24。第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，则P（A)＝eq\f（12，24)＝eq\f(1,2).反思与感悟数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系.数形结合思想在本章中的应用有:借助树状图列举基本事件，利用Venn图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等。跟踪训练4如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A。1－eq\f(2,π) B。eq\f(1，2）－eq\f（1，π)C.eq\f(2，π） D。eq\f（1，π）考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在几何概型中的应用答案A解析设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D,如图,连接OC，DC。不妨令OA＝OB＝2,则OD＝DA＝DC＝1。在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f（π，4)＋eq\f(1，2)×1×1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4）－\f（1,2）×1×1))＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2。又因为S扇形OAB＝eq\f（1，4)×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝eq\f(S3，S扇形OAB）＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f（2，π）。1。下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a,b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是（）A。①②③ B。①②④C.①③④ D。②③④考点随机事件题点随机事件的判断答案B解析任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件;从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件;若实数a，b都不为0,则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件;由于明年12月28日还未到来,故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温.故④为随机事件。故选B。

2。把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌"与“乙分得红牌”是()A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.不可能事件 D。必然事件考点互斥事件与对立事件题点互斥事件与对立事件的判断答案B解析根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌"不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌"是互斥但不对立事件。3.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1，2,3，4，5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为（）A。eq\f(1，10)B.eq\f（1，5)C。eq\f（2，9)D。eq\f(1，4)考点古典概型与几何概型题点古典概型解析基本事件有（1，2，3)，（1，2,4）,(1，2，5)，（1，3,4），（1，3，5），(1，4,5），(2,3，4）,（2，3,5），（2，4，5)，(3，4,5)，共10种，满足要求的基本事件有（1,4,5），（2，3,5)，共2种,故所求概率为eq\f（1，5）。故选B。4。任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是()A。eq\f（1,225)B。eq\f（3,899）C。eq\f（1，300）D.eq\f(1,450）考点古典概型与几何概型题点古典概型答案C解析三位正整数有100～999，共900个,而满足log2N为正整数的N有27，28，29,共3个，故所求事件的概率为eq\f(3,900)＝eq\f(1，300).5。小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________.考点古典概型与几何概型题点几何概型答案eq\f（1，7)解析连接OA,OB，设OR交BC于M，OP交AB于N。因为△OBM≌△OAN，所以阴影部分的面积等于△OAB的面积,为1.整个图形的面积为8－1＝7.所以小明射中阴影部分的概率是eq\f(1,7）.故答案为eq\f（1，7）。1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立,它们一定互斥。若事件A1，A2,A3,…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An）＝P（A1)＋P(A2)＋…＋P（An）。2。关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题（1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3。几何概型的试验中，事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。求试验为几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解。4.关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量,我们可以从以下两个方面考虑:（1)确定产生随机数组数,如长度型、角度型（一维）一组，面积型（二维)二组.(2）由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围,由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.一、选择题1。从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件:“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的()A。①② B.①③C.②③ D.①②③考点互斥事件与对立事件题点互斥事件与对立事件的判断答案A解析从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为:白白,白红,白黑,红红，红黑,黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生,故①与“两球都为白球”互斥但不对立.②符合，理由同上。③两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球，故不互斥.2。已知5件产品中有2件次品，其余为合格品。现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为()A.0。4 B。0.6C.0.8 D.1考点古典概型与几何概型题点古典概型答案B解析用列举法列出基本事件总数为10。事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P＝eq\f(6，10）＝0.6。3.有四个面积相同的游戏盘,将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是(）考点古典概型与几何概型题点几何概型答案A解析由几何概型的概率公式知,A，B，C，D四个选项中奖的概率依次是eq\f（3，8），eq\f(1，4），eq\f(1，3），eq\f（1，3)，因此要想增加中奖机会，应选择A盘。4。已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0。42，摸出白球的概率是0。28，则摸出黑球的概率是（）A.0.42 B.0.28C。0。3 D。0.7考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率答案C解析因为“摸出黑球"的对立事件是“摸出红球或摸出白球”，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0。28＝0.3。5。集合A＝{1，2,3，4,5｝，B＝｛0,1,2，3,4},点P的坐标为（m，n),m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为（)A.eq\f(8,25) B.eq\f(7，25）C.eq\f（1，5) D.eq\f(6,25)考点古典概型题点古典概型的计算答案D解析基本事件总数为25，点P在直线x＋y＝6上方的个数为6,∴P＝eq\f（6,25）。6.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是eq\f(1,6），记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3",则概率P(A∪B)等于(）A.eq\f（1,2) B.eq\f(1，3)C.eq\f（2,3) D。eq\f(5,6)考点古典概型与几何概型题点古典概型答案C解析事件A∪B为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”，共包含点数为1,2，3,5四种情况,所以P(A∪B)＝eq\f（4，6)＝eq\f(2,3），故选C。7。在区间［0,1］上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.eq\f(1，2） B.eq\f(3,4）C。eq\f（2，3） D.eq\f(1，4）考点古典概型与几何概型题点几何概型答案B解析由Δ＝a2－4b2<0及a,b∈［0，1］，得a<2b,如图，P＝1－eq\f(1，4)＝eq\f（3，4），故选B。8.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2,BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（)A。eq\f(π，2）B.eq\f(π,4）C。eq\f(π，6）D.eq\f(π，8)考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在几何概型中的应用答案B解析由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比,则P＝eq\f（\f（1，2)π·12，2)＝eq\f（π，4)，故选B.9。有一种竞猜游戏，游戏规则为：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸,若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会。某人前两次翻牌均得若干奖金,如果翻过的牌不能再翻,那么此人第三次翻牌获奖的概率是()A.eq\f(1,4) B。eq\f（1，6）C。eq\f（1，5） D。eq\f(3,20）考点古典概型与几何概型题点古典概型答案B解析由题意知，第三次翻牌时，还有18个商标牌，其中有奖的商标牌还有3个，故所求概率P＝eq\f（3,18)＝eq\f(1，6）。10.5件产品中有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则下列事件中概率为eq\f(7,10)的是（）A。恰有1件一等品 B.至少有1件一等品C。至多有1件一等品 D都不是一等品考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率答案C解析将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法:(1，2），(1，3），（1，4）,(1,5)，（2,3)，（2,4),（2,5），(3，4)，（3，5），(4，5).其中恰有1件一等品的取法有（1，4）,（1，5）,（2,4），（2,5），(3，4)，（3,5）,共6种，故恰有1件一等品的概率P1＝eq\f(6,10).恰有2件一等品的取法有(1,2),(1，3），(2，3）,共3种，故恰有2件一等品的概率P2＝eq\f(3,10)，其对立事件是“至多有1件一等品”,所以对立事件的概率P3＝1－P2＝1－eq\f（3,10)＝eq\f(7，10).二、填空题11.从字母a，b，c，d,e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________。考点古典概型与几何概型题点古典概型答案eq\f（2,5）解析基本事件有ab,ac，ad，ae,bc，bd，be，cd，ce，de，共10个。其中有a的事件的个数为4个，故所求概率为P＝eq\f(4，10）＝eq\f（2，5)。12。在区间[－3,2]上随机取一个数x，则事件“1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)x≤4”发生的概率是________。考点古典概型与几何概型题点几何概型答案eq\f（2，5)解析∵1≤eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2))）x≤4，∴－2≤x≤0，∴所求概率P＝eq\f（0－－2,2－－3)＝eq\f(2,5）。三、解答题13.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b,c。（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.考点古典概型与几何概型题点古典概型解（1）由题意，得（a,b,c)所有的可能为（1，1，1），（1，1,2）,（1，1,3），（1，2,1），（1，2,2)，（1，2，3），(1,3,1），(1，3,2），(1,3，3），（2,1，1)，（2，1,2），（2，1,3),(2，2，1),（2，2，2)，(2，2,3），（2,3