2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1。了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念。2.掌握直线与平面垂直的判定定理。3。会用直线与平面垂直的判定定理解决问题．知识点一直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α,b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直,图中直线PA斜足斜线和平面的交点,图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×）2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α。(×）3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列命题中,正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α;③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案④⑤解析当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．反思与感悟(1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．（填序号）考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1）C（2）①③④解析（1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O,OB,OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC。(2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．类型二线面垂直的判定例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC。（1）求证:SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC,BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC。(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由（1）知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.反思与感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．（2)平行转化法（利用推论):①a∥b,a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1）CD⊥AA1;(2）AB1⊥平面CED。考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明（1)由题意知AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1。(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA。因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1,CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED,所以AB1⊥平面CED.类型三直线与平面所成的角例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；（2）求A1B与平面BB1D1D所成的角．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角解（1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°。(2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O,BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2），2).又∵∠A1OB＝90°,∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O，A1B)＝eq\f（1，2）,又∠A1BO∈［0°,90°］,∴∠A1BO＝30°,∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.反思与感悟求直线与平面所成角的步骤：（1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．（2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．跟踪训练3如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角解取AC的中点E，连接BE，DE。由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC。∵AB∩BC＝B,AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC,又∵BE⊂平面ABC,∴CD⊥BE。∵AB＝BC＝2,AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq\r（2）,又AC∩CD＝C，AC,CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD,∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角,又BD＝eq\r(2)BC＝2eq\r（2）,∴sin∠BDE＝eq\f（BE，BD）＝eq\f（\r（2）,2\r（2))＝eq\f（1,2）,∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°。1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(）A．平行 B．垂直C．相交 D．不确定考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案B解析由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB。2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（）A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n,且n⊂βD．m⊥n，且n∥β考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析A中，由α∥β,且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中,m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意,故选B。A．60°B．45°C．30°D．120°考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案A解析∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO,所以cos∠ABO＝eq\f（1，2）,即∠ABO＝60°.故选A。4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案45°5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r（2），E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF。考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2）＝2eq\r(2）＝BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，所以PC⊥平面BEF.1．直线和平面垂直的判定方法:(1)利用线面垂直的定义．（2)利用线面垂直的判定定理．(3）利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α,则b⊥α;②若α∥β,a⊥α,则a⊥β。2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°.(2）线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1）直接法(一作(或找）二证(或说）三计算）．（2)转移法(找过点与面平行的线或面）．（3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1．如图，在正方形ABCD中,E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么,在这个空间图形中必有(）A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确;2．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案D解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（）A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案C解析连接AC。因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC。因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案C解析由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确;因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°,所以D正确．5．下列说法中,正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直;③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析①④不正确，其他三项均正确．6．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(）①BC⊥平面PAB;②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A．0个B．1个C．2个D．3个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB,故①正确；由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②正确;由AD⊥平面PBC，∴③正确．故选D。7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.二、填空题8．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案4解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB。∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD,故共有4个直角三角形．9．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案2解析因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝eq\f(1,2）AB＝eq\f（1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC）＝2.10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1。(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心答案垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥PA,PB⊥PC,PA∩PC＝P，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO。同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．三、解答题12．如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S,SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证:SD⊥平面ABC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，因为D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC。13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.（1)求证：AC⊥B1D；（2)求三棱锥C－BDB1的体积．考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直(1）证明∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面ABCD。∵又AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC。又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD。∵BB1∩BD＝B，BB1,BD⊂平面BB1D,∴AC⊥平面BB1D。∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D。(2)解＝.∵B1B⊥平面ABCD,∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．∵＝eq\f(1,3）S△BDC·BB1＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2）×2×2×2＝eq\f（4，3），∴三棱锥C－BDB1的体积为eq\f(4，3).四、探究与拓展14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为