2018-2019数学新学案同步必修二人教B版（鲁京辽）讲义：第一章 立体几何初步1.1.7

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标1。理解祖暅原理的内容。2。了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3。掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识点一祖暅原理思考取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示），并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？答案体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．梳理祖暅原理的含义及应用（1)内容：幂势既同,则积不容异．（2）含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．(3）应用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二柱、锥、台、球的体积公式名称体积（V）柱体棱柱V＝Sh圆柱V＝πr2h锥体棱锥V＝eq\f（1,3)Sh圆锥V＝eq\f（1，3）πr2h台体棱台V＝eq\f(1，3）h(S＋eq\r(SS′\o(\s\up7（）,\s\do5（)）)＋S′)圆台V＝eq\f(1,3）πh(r2＋rr′＋r′2)球V＝eq\f（4,3）πR3其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径,R表示球的半径．1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×）2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)3．两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.（×）类型一柱体、锥体、台体的体积例1（1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．答案eq\f（\r（3)，12)解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积,三棱锥A－B1BC1的高为eq\f（\r(3），2)，底面积为eq\f（1,2）,故其体积为eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×eq\f(\r（3)，2）＝eq\f（\r(3），12)。(2）如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝eq\f(1，3）CD·S△A′D′D＝eq\f（1，3)a·eq\f(1，2）bc＝eq\f(1，6)abc,∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－eq\f(1,6）abc＝eq\f(5，6）abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.反思与感悟（1）常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图,在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O,BC,B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3×eq\f(1,2）×（20＋30）×DD′＝75DD′。又因为A′B′＝20cm,AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f（\r(3),4）×（202＋302)＝325eq\r（3)（cm2）．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r（3)，所以DD′＝eq\f(13\r（3)，3）（cm），O′D′＝eq\f（\r(3)，6）×20＝eq\f(10\r（3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3）,6）×30＝5eq\r（3)（cm)，所以棱台的高h＝O′O＝eq\r（D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(13\r(3),3））)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r（3)－\f（10\r（3）,3)））2）＝4eq\r(3)（cm)．由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V＝eq\f(h,3)（S上＋S下＋eq\r(S上·S下））＝eq\f(4\r(3）,3)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),4)×202＋\f（\r(3)，4)×302＋\f（\r(3)，4)×20×30))＝1900（cm3）．类型二球的体积例2（1）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f（500π,3)cm3 B。eq\f（866π，3）cm3C。eq\f（1372π,3)cm3 D。eq\f(2048π,3)cm3答案A解析作出该球轴的截面如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3,故该球的半径AD＝5，所以V＝eq\f(4，3)πR3＝eq\f（500π，3）(cm3)．(2）设长方体的长、宽、高分别为2a，a,a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．答案eq\r(6)a3解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为eq\r（2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6）a，得球的半径为eq\f(\r(6），2)a，V＝eq\f（4，3）πeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(6),2)a））3＝eq\r(6）a3。反思与感悟（1）求球的体积，关键是求球的半径R。（2）球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2（1)一平面截一球得到直径为2eq\r（5）cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（）A．12πcm3 B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3 D．108πcm3答案B解析设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r（5)cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝eq\r(22＋\r（5)2)＝3（cm)，∴球的体积V＝eq\f（4,3)×π×33＝36π(cm3)．(2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.eq\f（7,3）πa2C.eq\f(11,3）πa2 D．5πa2答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心,易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f（\r（3),2)a＝eq\f（\r（3)，3）a，OP＝eq\f（1,2）a，所以球的半径R满足R2＝OA2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(3）,3)a）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)a))2＝eq\f(7，12)a2,故S球＝4πR2＝eq\f(7，3）πa2.类型三几何体体积的求法命题角度1等体积法例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．答案eq\f（1，6)解析＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f（1，6)。反思与感悟(1）利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积．（2）利用等体积法可求点到平面的距离．跟踪训练3解在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD,AB＝AD＝AA1＝a,A1B＝BD＝A1D＝eq\r（2)a，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2）a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×eq\r（2)a×eq\f(\r(3），2)·eq\r(2）a·d，∴d＝eq\f（\r(3）,3）a.命题角度2割补法例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积．解如图，连接EB，EC。四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f（1，2）V三棱锥C－ABE＝eq\f(1，2）V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2）×eq\f（1，2)V四棱锥E－ABCD＝4。∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.反思与感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解,这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体积．跟踪训练4如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积．解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5＝20π,故所求几何体的体积为10π。1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1—ABC的体积为()A。eq\f(1，4)B。eq\f（1,2)C。eq\f（\r(3），6)D。eq\f(\r（3),4）答案D解析V＝eq\f(1，3）Sh＝eq\f（1，3）×eq\f（\r（3）,4）×3＝eq\f(\r（3)，4）.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(）A．1B．2C．3D．4考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案A解析设两球的半径分别为R，r(R＞r)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(4,3)πR3＋\f（4,3）πr3＝12π，，2πR＋2πr＝6π,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(R＝2，,r＝1，))∴R－r＝1.3．现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降（)A．0。6cmB．0.15cmC．1.2cmD．0.3cm答案A解析设杯里的水下降hcm，由题意知πeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(20,2）））2h＝eq\f(1,3）×20×π×32，解得h＝0.6cm。4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16eq\r（2)π，则圆锥的体积是(）A.eq\f（64π，3）B.eq\f（128π，3）C．64πD．128eq\r（2）π答案A解析设圆锥的母线为l，底面半径为r.由题意知,l＝eq\r(2）r，①S侧＝πrl＝16eq\r（2)π，②由①②可得r＝4,l＝4eq\r（2），V圆锥＝eq\f（1,3)πr2h＝eq\f（π,3)r2eq\r(l2－r2)＝eq\f（64，3)π。5．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5）,那么它的体积为________．答案eq\r(3）解析依题意得正六棱锥的高为eq\r（5－12)＝2，所以V＝eq\f（1，3)Sh＝eq\f（1，3)×6×eq\f（\r（3),4)×2＝eq\r（3）.1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题．一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π答案B解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（l＝2r，,2πrl＝4π，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝1，，l＝2.）)∴V圆柱＝πr2l＝2π.2。如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的()A。eq\f(1，2) B。eq\f（1,3)C.eq\f(1,4) D．不确定答案B解析由于四棱锥S－ABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的eq\f（1,3)，故选B.3。圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球,如图所示．则球的半径是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm答案C解析设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×eq\f（4，3）πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3。4.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子（中间连通)．若其表面积为(448＋32eq\r(3))cm2，则其体积为（）A．512＋128eq\r（3）cm3B．216＋128eq\r(3）cm3C．512＋64eq\r（3）cm3D．216＋64eq\r(3）cm3答案A解析设正方体的棱长为acm，则5a2＋2a2＋eq\f（\r（3）,4)a2×2＝448＋32eq\r（3)，解得a＝8（cm)．∴该几何体的体积为a3＋eq\f（\r（3)，4）a2·a＝512＋128eq\r（3)（cm3）．5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A。eq\f(4π,3)B。eq\f（\r（2)π，3)C。eq\f(\r（3)π,2)D。eq\f（π，6)答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，半径为1，其体积是eq\f(4，3)×π×13＝eq\f（4π,3)。6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为()A．(2＋4eq\r(2））cm2 B．(4＋8eq\r（2））cm2C．(8＋16eq\r（2))cm2 D．(16＋32eq\r（2)）cm2答案C解析∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,正四棱柱的底面边长为2cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4,正四棱柱的底面对角线长为2eq\r（2），∴正四棱柱的高为eq\r（16－8)＝2eq\r(2），∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2eq\r(2)＝8＋16eq\r(2），故选C。7.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f（π，2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（)A。eq\f(2，3)πB.eq\f（4,3）πC。eq\f（5，3）πD．2π答案C解析由题意，知旋转而成的几何体是圆柱,挖去一个圆锥(如图），该几何体的体积为π×12×2－eq\f（1,3)×π×12×1＝eq\f(5，3)π.8．长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3),eq\r（5）,eq\r（15),则它的外接球表面积为(）A．9πB．8πC．4πD．5π答案A解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ab＝\r(3），，bc＝\r（5)，,ac＝\r（15),))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，，b＝1，，c＝\r（5），））∴外接球半径为eq\f（\r（a2＋b2＋c2），2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,2)）)2＝9π.二、填空题9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点若干个几何体的体积、表面积关系答案3∶1∶2解析设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3,V锥＝eq\f（1，3)πR2·2R＝eq\f（2，3）πR3，V球＝eq\f（4，3）πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶eq\f（2，3）πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为eq\r（2）cm，则该圆锥的体积为________cm3.答案eq\f(π,3)解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2πcm，半径为eq\r(2)cm，故圆锥的底面周长为2πcm,母线长为eq\r(2)cm，则圆锥的底面半径为1,高为1，则圆锥的体积V＝eq\f（1,3)·π·12·1＝eq\f（π，3)。11．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D,E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1,三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2,则V1∶V2的值为________．答案eq\f（1，24)解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为eq\f(h，2)，∵D，E分别是AB,AC的中点，∴S△ADE＝eq\f(1，4）S△ABC，∵V1＝eq\f（1,3)S△ADE·eq\f(h，2），V2＝S△ABC·h，∴eq\f（V1，V2）＝eq\f（\f（1，6）S△ADE·h，S△ABC·h）＝eq\f（1,24)。三、解答题12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水,使水面与球正好相切，然后将球取出,求这时容器中水的深度．解由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知,当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为eq\r（3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f（1，3）π·（eq\r(3）r）2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f（5,3）πr3，而将球取出后,设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r（3)，3）h，从而容器内水的体积是V′＝eq\f(1，3）π·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3)h))2·h＝eq\f（1，9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r（3,15)r.即