2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第四章 圆与方程4.2.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§4。2直线、圆的位置关系4。2。1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f（｜Aa＋Bb＋C|，\r（A2＋B2)）d〈rd＝rd〉r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Ax＋By＋C＝0,,x－a2＋y－b2＝r2，））消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ〉0Δ＝0Δ〈01．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．（×)2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．（√)类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足:①相交;②相切；③相离．考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围解圆的方程化为标准形式为（x－3)2＋y2＝4，故圆心（3，0）到直线x－my＋3＝0的距离为d＝eq\f(6，\r（m2＋1）)，圆的半径为r＝2.①若相交,则d＜r，即eq\f（6，\r（m2＋1））＜2，所以m＜－2eq\r（2)或m＞2eq\r（2)；②若相切，则d＝r，即eq\f（6,\r(m2＋1））＝2，所以m＝±2eq\r(2）；③若相离，则d＞r，即eq\f(6，\r(m2＋1))＞2，所以－2eq\r（2）＜m＜2eq\r（2）。反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．（3)直线系法:若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1对任意的实数k,直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(）A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案C解析直线y＝kx＋1恒过定点(0,1），由定点(0，1）在圆x2＋y2＝2内,则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0），则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.类型二切线问题eq\x（命题角度1求切线方程)例2过点A（4,－3)作圆(x－3)2＋(y－1）2＝1的切线,求此切线方程．考点圆的切线问题题点求圆的切线方程解因为(4－3）2＋(－3－1）2＝17〉1,所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4）,即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3，1）到切线的距离等于半径1，所以eq\f(|3k－1－3－4k｜,\r（k2＋1))＝1，即｜k＋4|＝eq\r(k2＋1），所以k2＋8k＋16＝k2＋1,解得k＝－eq\f（15，8）。所以切线方程为－eq\f（15，8）x－y＋eq\f（15,2）－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1）到直线x＝4的距离为1,这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4。综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.引申探究若例2的条件不变，求其切线长．解因为圆心C的坐标为（3，1），设切点为B，则△ABC为直角三角形，｜AC｜＝eq\r（3－42＋1＋32)＝eq\r(17),又｜BC｜＝r＝1，则｜AB｜＝eq\r（|AC|2－｜BC|2）＝eq\r(\r（17）2－12）＝4，所以切线长为4。反思与感悟求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－eq\f（1,k），由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0。（2)求圆外一点P(x0，y0）的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0），即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径,可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意,若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出．跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________．考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案x＋2y－5＝0解析点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0。eq\x(命题角度2已知直线与圆相切，求圆的方程)例3过点A（4,1）的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为____________．考点圆的切线问题题点由相切求圆的方程答案(x－3）2＋y2＝2解析由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3。①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2),即x＋y－3＝0，②联立①②,解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，，y＝0，））所以圆心坐标为(3,0),半径r＝eq\r（4－32＋1－02)＝eq\r（2）,所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2。反思与感悟圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.跟踪训练3已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（)A．（x＋1)2＋（y－1）2＝2B．(x－1）2＋（y＋1）2＝2C．(x－1)2＋（y－1)2＝2D．(x＋1）2＋（y＋1)2＝2考点圆的切线问题题点由相切求圆的方程答案B解析设圆心为C（a，－a），则eq\f(｜a＋a｜,\r（2））＝eq\f(｜a＋a－4|，\r(2)),解得a＝1,所以r＝eq\f（|1＋1|，\r（2））＝eq\r(2），圆C的方程为(x－1)2＋（y＋1)2＝2。故选B。类型三弦长问题例4(1）过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2）作直线l交圆于A,B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．考点圆的弦长问题题点求圆的弦长答案eq\r（30)解析由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O（0，0）到直线l的距离为d＝eq\f（|－1｜,\r(2）)＝eq\f(\r（2),2），则有|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－\f(1,2））＝eq\r（30）.(2）圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2eq\r（2)的圆的方程为________________________．考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求圆的方程答案（x－2）2＋(y＋1）2＝4解析设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝eq\f（｜2＋1－1｜，\r（2））＝eq\r(2）。又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2eq\r（2)，即半弦长为eq\r(2），∴r2＝2＋2＝4,得r＝2，∴所求圆的方程为（x－2)2＋（y＋1）2＝4。（3）如果一条直线经过点Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8,求这条直线的方程．考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程解圆x2＋y2＝25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝eq\r（r2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（l,2）））2)＝eq\r(52－42）＝3.因为圆心O（0,0）到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋eq\f（3，2）＝k(x＋3)也符合题意,即圆心到直线kx－y＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(3k－\f（3，2）)）＝0的距离等于3，于是eq\f(\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)）),\r(k2＋1）)＝3，解得k＝－eq\f(3，4)。故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知,满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0。

反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式｜AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)求解．（2)弦长公式：如图所示,将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1），B(x2,y2)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r(1＋\f(1,k2))｜y1－y2｜（直线l的斜率k存在）．（3）几何法:如图，直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（｜AB｜,2)）)2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2eq\r（r2－d2).通常采用几何法较为简便．跟踪训练4已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C:x2＋y2＝8.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程，并求出弦长．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题（1)证明∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k（x＋1)，∴直线l经过定点(－1，2),∵（－1)2＋22<8，∴（－1，2）在圆C内,∴直线l与圆相交．（2)解由（1)知,直线l过定点P(－1,2），又圆C:x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短．∵kOP＝－2，∴kl＝eq\f(1,2），∴直线l:y－2＝eq\f（1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0。圆心到直线l的距离d＝eq\f（｜5｜，\r（12＋22)）＝eq\r（5)，设直线l与圆交于A，B两点，｜AB｜＝2eq\r(r2－d2）＝2eq\r(8－5)＝2eq\r（3).∴直线l的方程为x－2y＋5＝0,弦长为2eq\r（3）。1．若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(）A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案D解析圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0,可化为(x－1)2＋(y－1）2＝1，由圆心(1，1）到直线3x＋4y－b＝0的距离为eq\f（｜7－b｜,5)＝1，得b＝2或12，故选D.2．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程答案2x－y＝0解析设所求直线方程为y＝kx,即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于eq\r(12－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,2）)）2）＝0，即圆心(1，2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0,即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.3．过点（3，1)作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________．考点圆的弦长问题题点求圆的弦长答案2eq\r（2)解析设点A(3，1)，易知圆心C（2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1）且与CA垂直时为最短弦，｜CA｜＝eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2）。∴半弦长＝eq\r（r2－｜CA|2）＝eq\r(4－2)＝eq\r(2）。∴最短弦的长为2eq\r(2).4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点,且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．考点圆的切线问题题点由相切求圆的方程答案（x＋1）2＋y2＝2解析令y＝0，得x＝－1,所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为（－1，0),即为圆心．因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝eq\f（|－1＋0＋3｜，\r（2)）＝eq\r(2)，所以圆C的方程为（x＋1)2＋y2＝2。5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M,N两点，且｜MN｜≥2eq\r（3),则k的取值范围是________．考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系求参数的值或范围答案(－∞,0]解析因为｜MN|≥2eq\r（3)，所以圆心（1，2)到直线y＝kx＋3的距离不大于eq\r（22－\r(3）2）＝1,即eq\f（｜k＋1｜,\r(k2＋1））≤1，解得k≤0.1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较;二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较,前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形,避免漏解．一、选择题1．若点M（x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是（)A．相切 B．相交C．相离 D．不确定考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案B解析因为点M（x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外,所以xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al（2,0）＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为eq\f（|R2｜，\r（x\o\al（2,0）＋y\o\al(2,0）)）＜eq\f(R2，R）＝R，所以直线与圆相交,故选B.2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(）A．[－3，－1］B．［－1，3］C．[－3,1]D．（－∞，－3]∪[1，＋∞)考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系求参数的值或范围答案C解析圆（x－a）2＋y2＝2的圆心C（a，0）到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝eq\r（2)⇔eq\f（｜a＋1｜，\r（2)）≤eq\r（2)⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1。3．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则(）A．E≠0，D＝F＝0B．D≠0，E≠0，F＝0C．D≠0,E＝F＝0D．F≠0,D＝E＝0考点圆的切线问题题点由相切求圆的方程答案A解析由题意得，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（D，2)，－\f（E,2)）)，在y轴上，F＝0,且半径为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（－\f（E,2）)）＝eq\f（1，2）eq\r(D2＋E2－4F），化简可得E≠0，D＝F＝0.4．若直线x－y＝2被圆(x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r（2)，则实数a的值为()A．0或4 B．0或3C．－2或6 D．－1或eq\r（3)考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求圆的方程答案A解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq\r(2），所以圆心到直线的距离d＝eq\r(22－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2\r（2）,2）））2)＝eq\r（2）。又d＝eq\f（｜a－2|,\r（2)）,所以|a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0。故选A.5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3)，则直线l的方程为(）A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程答案A解析由圆的一般方程，可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2）与C（－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0。6．与圆C:x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x,y轴上的截距相等的直线共有（)A．1条 B．2条C．3条 D．4条考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案C解析圆C的方程可化为(x－2）2＋y2＝2。可分两种情况讨论：（1）直线在x，y轴上的截距均为0,易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq\f（｜2k｜，\r（1＋k2））＝eq\r(2)，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq\f（x，a）＋eq\f（y,a）＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0），则eq\f（｜2－a|，\r(2））＝eq\r(2），解得a＝4（a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2）的点有（)A．1个B．2个C．3个D．4个考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程答案C解析圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋（y＋2)2＝8。圆心坐标为（－1，－2)，圆的半径为2eq\r(2），圆心到直线l的距离为eq\f(|－1－2＋1｜,\r(12＋12))＝eq\f（2,\r（2）)＝eq\r(2)。因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为eq\r（2）.二、填空题8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋（y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________。考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求直线方程答案4±eq\r(15)解析圆心C(1，a）到直线ax＋y－2＝0的距离为eq\f（｜a＋a－2|,\r（a2＋1))。因为△ABC为等边三角形，所以|AB｜＝|BC|＝2，所以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(｜a＋a－2｜，\r（a2＋1）)）)2＋12＝22,解得a＝4±eq\r(15）.9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案10eq\r(2）解析圆的方程化为标准形式为（x－1）2＋（y－3)2＝10,由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2eq\r（10），最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直,设点F为其圆心,坐标为（1，3)．故｜EF|＝eq\r（5），∴|BD|＝2eq\r(10－\r(5)2)＝2eq\r（5)，∴S四边形ABCD＝eq\f（1,2）|AC|·|BD｜＝10eq\r(2).10．一条光线从点（－2,－3)射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案－eq\f(4，3)或－eq\f(3,4)解析由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定过点（2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切,则有d＝eq\f（|－3k－2－2k－3|，\r（k2＋1））＝1，解得k＝－eq\f（