2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第三章 直线与方程章末检测试卷（三）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末检测试卷(三）（时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若直线x＝2017的倾斜角为α，则α(）A．等于0° B．等于180°C．等于90° D．不存在考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案C2．点F（eq\r(3m＋3），0)到直线eq\r(3）x－eq\r(3m)y＝0的距离为（）A.eq\r（3） B.eq\r(3）mC．3 D．3m考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案A解析由点到直线的距离公式，得点F（eq\r（3m＋3）,0）到直线eq\r(3)x－eq\r(3m)y＝0的距离为eq\f（\r（3）·\r（3m＋3）,\r（3m＋3))＝eq\r(3).3．设点A(2,－3）,B（－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(）A．k≥eq\f(3，4）或k≤－4 B．－4≤k≤eq\f(3,4)C．－eq\f（3，4）≤k≤4 D．以上都不对考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角和斜率关系的其他应用答案A解析建立如图所示的直角坐标系．由图可得k≥kPB或k≤kPA。∵kPB＝eq\f(3，4），kPA＝－4,∴k≥eq\f(3,4）或k≤－4。4．若光线从点P(－3，3)射到y轴上,经y轴反射后经过点Q(－1,－5），则光线从点P到点Q走过的路程为()A．10 B．5＋eq\r（17)C．4eq\r(5） D．2eq\r(17)考点对称问题的求法题点光路可逆问题答案C解析Q(－1，－5)关于y轴的对称点为Q1(1，－5），易知光线从点P到点Q走过的路程为｜PQ1｜＝eq\r(42＋－82)＝4eq\r（5）.5．若直线l经过点A(1，2)，在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是(）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f（1，4)））B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1，\f（1,2)∪1，＋∞））C．（－∞，－1)∪(4，＋∞)D．（－1，4）考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案D解析直线l的斜率存在，设直线方程为y－2＝k(x－1），令x＝0，可得y＝2－k，∵直线l在y轴上的截距的取值范围是（－2，3）,∴－2<2－k<3,∴－1<k〈4。故选D.6．直线y＝ax＋eq\f(1，a)的图象可能是(）考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案B解析根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的纵截距同正负．7．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1）,B（1,0），C（4，3),则顶点D的坐标为（)A．(3,4) B．(4,3）C．（3，1) D．（3，8)考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形的形状求点的坐标答案A解析设D（m，n）,由题意得AB∥DC，AD∥BC,则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（0－1，1－0）＝\f（3－n，4－m），，\f（n－1，m－0)＝\f(3－0，4－1），）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝3，,n＝4，）)∴点D的坐标为（3，4）．8．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于（)A．－1 B．1C.eq\f(1，2） D．－eq\f（1,2）考点直线的一般式方程与直线的垂直关系题点根据垂直求参数的值答案B解析由两直线垂直，得eq\f(1,2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2，m）)）＝－1，解得m＝1。9．已知直线x－2y＋m＝0（m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行,且两者之间的距离是eq\r（5），则m＋n等于()A．－1B．0C．1D．2考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2。由两条平行直线间的距离公式，得d＝eq\f（｜m＋3|，\r(12＋－22）)＝eq\f（｜m＋3｜,\r（5))＝eq\r（5）,解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.10．点P（－2，－1)到直线l：(1＋3λ）x＋(1＋2λ）y＝2＋5λ的距离为d,则d的取值范围是(）A．0≤d＜eq\r(13） B．d≥0C．d＞eq\r（13） D．d≥eq\r(13）考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案A解析直线l：（1＋3λ)x＋(1＋2λ）y＝2＋5λ可化为(x＋y－2)＋λ（3x＋2y－5）＝0,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，，3x＋2y－5＝0，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝1。））∴直线l恒过定点A（1，1)(不包括直线3x＋2y－5＝0）,∴｜PA｜＝eq\r（－2－12＋－1－12）＝eq\r（13).∵PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，点P（－2，－1）到直线的距离为eq\r（13），∴点P（－2，－1）到直线l：（1＋3λ)x＋(1＋2λ）y＝2＋5λ的距离为0≤d＜eq\r（13），故选A.11．直线l过点A（3，4）且与点B（－3，2)的距离最远，那么直线l的方程为()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案C解析由已知可得，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝eq\f（2－4，－3－3)＝eq\f（1，3），∴kl＝－3,由点斜式得y－4＝－3(x－3），即3x＋y－13＝0。12．已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3)，B(3,3），C(2,0)，若直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分,则a的值是()A.eq\r（3)B．1＋eq\f(\r（2)，2)C．1＋eq\f(\r(3)，3）D。eq\r(2）考点待定系数法的应用题点待定系数法求直线方程答案A解析只有当直线x＝a与线段AC相交时,x＝a才可将△ABC分成面积相等的两部分．S△ABC＝eq\f(1,2）×3×3＝eq\f（9,2），设x＝a与AB，AC分别相交于D，E，则S△ADE＝eq\f（1,2）×a×eq\f（3，2）a＝eq\f（1,2）×eq\f(9，2),解得a＝eq\r（3)(负值舍去）．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．过点(－2,－3)且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为____________．考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案x＋y＋5＝0或3x－2y＝0解析当直线过原点时，所求直线的方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x＋y＋5＝0。14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1),那么直线l的斜率为________．考点中点坐标公式题点求过中点的直线方程答案－eq\f(2，3)解析设P(x,1）,则Q（2－x,－3），将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.∴x＝－2，∴P（－2，1）,∴kl＝－eq\f（2,3）.15．点M到x轴和到点N（－4,2）的距离都等于10，则点M的坐标为______________．考点两点间的距离公式题点已知两点间的距离求参数的值答案（2,10)或（－10,10)解析设M（x，y)，则|y|＝eq\r（x＋42＋y－22)＝10,解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝10))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－10，，y＝10。))16．已知点A（1，－1)，点B（3,5），点P是直线y＝x上的动点，当|PA｜＋|PB｜的值最小时，点P的坐标是________．考点对称问题的求法题点与对称有关的综合问题答案(2，2)解析易知当点P为直线AB与直线y＝x的交点时,|PA|＋｜PB｜的值最小,直线AB的方程为y－5＝eq\f（5－－1，3－1）（x－3）,即3x－y－4＝0。解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－y－4＝0，，y＝x，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2,,y＝2。)）所以当｜PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为（2，2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知点M是直线l:eq\r(3)x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得直线l′的方程．考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解在eq\r（3）x－y＋3＝0中,令y＝0，得x＝－eq\r（3）,即M(－eq\r(3），0)．∵直线l的斜率k＝eq\r（3)，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°,则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°,此时斜率不存在,故其方程为x＝－eq\r(3）.若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝eq\f(\r（3)，3），故其方程为y＝eq\f(\r(3），3）(x＋eq\r（3)）,即x－eq\r(3）y＋eq\r（3）＝0.综上所述，所求直线方程为x＋eq\r（3)＝0或x－eq\r(3）y＋eq\r(3）＝0.18．（12分)已知直线l1:y＝－k(x－a）和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P（－3,3)．如果点Q（2,2)到直线l2的距离为1,求l2的方程．考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解由题意,可设直线l2的方程为y＝k（x－a），即kx－y－ak＝0，∵点Q(2，2)到直线l2的距离为1，∴eq\f（｜2k－2－ak|,\r(k2＋1)）＝1,①又∵直线l1的方程为y＝－k（x－a），且直线l1过点P（－3,3),∴ak＝3－3k。②由①②得eq\f(|5k－5｜，\r（k2＋1）)＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0,解得k＝eq\f(4,3)或k＝eq\f（3,4).∴当k＝eq\f(4，3）时，代入②得a＝－eq\f（3,4)，此时直线l2的方程为4x－3y＋3＝0；当k＝eq\f（3,4）时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0。综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.19．(12分）已知点A(5，1）关于x轴的对称点为B（x1,y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2）．(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；(2）求△ABC的面积．考点中点坐标公式题点与中位线有关的问题解（1）∵点A(5,1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，－1),又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2),∴C（－5,－1），∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，－1)．过（5,0)，（0，－1）的直线方程是eq\f(y－0,－1－0)＝eq\f(x－5,0－5），整理得x－5y－5＝0。（2)易知｜AB|＝｜－1－1｜＝2，|BC|＝｜－5－5｜＝10,AB⊥BC，∴△ABC的面积S＝eq\f（1,2）｜AB|·｜BC|＝eq\f(1，2)×2×10＝10.20．(12分)已知直线l平行于直线x＋y－4＝0，且实数x，y满足直线l的方程，又知(x－1）2＋(y－1)2的最小值为2，求直线l的方程．考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解依题意，设l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－4），因为x，y满足该方程，所以y＝－x－m.则(x－1)2＋(y－1）2＝(x－1)2＋（－x－m－1）2＝2x2＋2mx＋2m＋2＋m2＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（m，2）)）2＋eq\f(1，2）m2＋2m＋2，所以当x＝－eq\f（m，2）时，上式取得最小值eq\f(1,2)m2＋2m＋2，由题意知,eq\f(1,2）m2＋2m＋2＝2，解得m＝0或m＝－4（舍)，所以直线l的方程为x＋y＝0。21．（12分)已知直线l：y＝4x和点P（6,4）,点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，(1）当OP⊥AB时,求AB所在直线的方程；（2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解（1）∵点P（6,4），∴kOP＝eq\f（2,3）.又∵OP⊥AB，∴kAB＝－eq\f（3，2)。∵AB过点P(6，4）,∴直线AB的方程为y－4＝－eq\f（3，2)(x－6),化为一般式可得3x＋2y－26＝0。(2）设点A(a，4a)，a〉0，点B的坐标为(b，0），b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6,此时△OAB的面积S＝eq\f(1，2)×6×24＝72。当直线AB的斜率存在时,有eq\f（4a－4,a－6)＝eq\f（0－4，b－6），解得b＝eq\f（5a，a－1），故点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5a，a－1)，0)），故△OAB的面积S＝eq\f（1,2)·eq\f（5a，a－1）·4a＝eq\f(10a2,a－1），即10a2－Sa＋S＝0.①由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0,解得a＝2.综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为（10,0）．22．(12分)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a>0），直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是eq\f（7\r（5）,10）。（1)求a的值；（2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的eq\f（1,2);③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq\r(2）∶eq\r(5）。若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．考点分类讨论思想的应用题点分类讨论思想的应用解（1)l2可化为2x－y－eq\f（1,2）＝0,∴l1与l2的距离为d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（a－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）)))）,\r（22＋12)）＝eq\f(7\r(5），10）.又∵a>0,∴a＝3。（2）设点P（x0，y0）满足②，则P点在与l1，