11级数复习课课件

第十一章无穷级数复习与习题第十一章无穷级数复习与习题1第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质1.常数项级数的定义：为(常数项)（无穷）级数.一般项◆级数的（前n项）部分和数列：◆级数的（前n项）部分和：一、常数项级数的概念第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质1.常数项级22.常数项级数的收敛与发散的定义:2.常数项级数的收敛与发散的定义:3推论二、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变.性质1级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质2即收敛级数可以逐项相加和逐项相减.推论二、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变.性质1级数的每一4性质3在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变.性质4推论1如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散.推论2如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同,则原级数发散.四、级数收敛的必要条件定理性质3在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变51.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:◆基本定理第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:63.比较审敛法3.比较审敛法7证明例证明例84.比较审敛法的极限形式(比较极限法）:解故原级数发散.例故原级数收敛.4.比较审敛法的极限形式(比较极限法）:解故原级数发散.例故95.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：

解例5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：解例106.根值审敛法(柯西判别法)：

解例6.根值审敛法(柯西判别法)：解例11三、交错级数及其审敛法:◆定义:称正负相间或负正相间的级数为交错级数.◆莱布尼茨定理三、交错级数及其审敛法:◆定义:称正负相间或负正相间的级12解由莱布尼茨定理知,例原级数收敛.解由莱布尼茨定理知,例原级数收敛.13◆对于一般的级数四、绝对收敛与条件收敛定理例解◆对于一般的级数四、绝对收敛与条件收敛定理例解14◆定义:例解故原级数收敛,且为条件收敛.◆定义:例解故原级数收敛,且为条件收敛.15练习题练习题16第三节幂级数一、函数项级数的概念1.定义:2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:第三节幂级数一、函数项级数的概念1.定义:2.收敛点、发散172.收敛点、发散点，收敛域、发散域:2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:18余项(对于收敛域上的任何x)注意函数项级数在某点x处的收敛问题,实质上就是常数项级数的收敛问题.3.和函数:余项(对于收敛域上的任何x)注意函数项级数在某点x处的收敛19解例解例201.定义:2.收敛域:二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛域:二、幂级数及其收敛性21定理1[阿贝尔(Abel)定理]◆几何说明:收敛发散发散定理1[阿贝尔(Abel)定理]◆几何说明:收敛发散发散22◆收敛半径的定义:则称R为幂级数的收敛半径.称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间.◆规定◆收敛半径的定义:则称R为幂级数的收敛半径.称开区间(-R,23定理2定理224例求下列幂级数的收敛域:解发散，收敛，故收敛域为：例求下列幂级数的收敛域:解发散，收敛，故收敛域为：25故收敛域为：故收敛域为：故收敛域为：故收敛域为：26发散,收敛,所以所求收敛域为(0,1].发散,收敛,所以所求收敛域为(0,1].27三、幂级数的运算◆和函数的分析运算性质:性质1性质2三、幂级数的运算◆和函数的分析运算性质:性质1性质228性质3性质329习题习题30四、求幂级数的收敛域.五、四、求幂级数31习题求解提示提示:提示:提示:习题求解提示提示:提示:提示:32提示:提示:提示:提示:提示:提示:33提示:提示:34提示:提示:35四、求幂级数的收敛域.五、解:四、求幂级数36第十一章无穷级数复习与习题第十一章无穷级数复习与习题37第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质1.常数项级数的定义：为(常数项)（无穷）级数.一般项◆级数的（前n项）部分和数列：◆级数的（前n项）部分和：一、常数项级数的概念第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质1.常数项级382.常数项级数的收敛与发散的定义:2.常数项级数的收敛与发散的定义:39推论二、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变.性质1级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质2即收敛级数可以逐项相加和逐项相减.推论二、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变.性质1级数的每一40性质3在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变.性质4推论1如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散.推论2如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同,则原级数发散.四、级数收敛的必要条件定理性质3在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变411.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:◆基本定理第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:423.比较审敛法3.比较审敛法43证明例证明例444.比较审敛法的极限形式(比较极限法）:解故原级数发散.例故原级数收敛.4.比较审敛法的极限形式(比较极限法）:解故原级数发散.例故455.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：

解例5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：解例466.根值审敛法(柯西判别法)：

解例6.根值审敛法(柯西判别法)：解例47三、交错级数及其审敛法:◆定义:称正负相间或负正相间的级数为交错级数.◆莱布尼茨定理三、交错级数及其审敛法:◆定义:称正负相间或负正相间的级48解由莱布尼茨定理知,例原级数收敛.解由莱布尼茨定理知,例原级数收敛.49◆对于一般的级数四、绝对收敛与条件收敛定理例解◆对于一般的级数四、绝对收敛与条件收敛定理例解50◆定义:例解故原级数收敛,且为条件收敛.◆定义:例解故原级数收敛,且为条件收敛.51练习题练习题52第三节幂级数一、函数项级数的概念1.定义:2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:第三节幂级数一、函数项级数的概念1.定义:2.收敛点、发散532.收敛点、发散点，收敛域、发散域:2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:54余项(对于收敛域上的任何x)注意函数项级数在某点x处的收敛问题,实质上就是常数项级数的收敛问题.3.和函数:余项(对于收敛域上的任何x)注意函数项级数在某点x处的收敛55解例解例561.定义:2.收敛域:二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛域:二、幂级数及其收敛性57定理1[阿贝尔(Abel)定理]◆几何说明:收敛发散发散定理1[阿贝尔(Abel)定理]◆几何说明:收敛发散发散58◆收敛半径的定义:则称R为幂级数的收敛半径.称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间.◆规定◆收敛半径的定义:则称R为幂级数的收敛半径.称开区间(-R,59定理2定理260例求下列幂级数的收敛域:解发散，收敛，故收敛域为：例求下列幂级数的收敛域:解发散，收敛，故收敛域为：61故收敛域为：故收敛域为：故收敛域为：故收敛域为：62发散,收敛,所以所求收敛域为(0,1].发散,收敛,所以所求收敛域为(0,1].63三、幂级数的运算◆和函数的分析运算性质:性质1性质2三、幂级数的运算◆和函数的分析运算性质:性质1性质264性质3性质365习题习题66四、求幂级数的收敛域.五、四、求幂