二次函数的图象与性质课件

二次函数的图象与性质本节内容1.2二次函数的图象与性质本节内容1.2我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，探究探究列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取

0和一些互为相反数的数，并且算出相应

的函数值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取x…-3-2-1描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，

相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如

下图所示.AA′B′B描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，AA′B′BAA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和点B′，…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y=x2的图象关于y轴对称吗？观察左图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？AA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和

可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.AA′B′B可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点

和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，

画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点

用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了

的图象.如上图所示.连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点

观察下图，函数

的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？观察观察下图，函数的图象除了上面已经

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”；当x=0时，函数值最小，最小值为0.从下图中可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取当x=0时，

一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.x0123…00.524.5…例1举例

画二次函数的图象.因为二次函数

的图象关于y轴对称，

因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1举画二次函数描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●

利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了的图象.如下图所示：●●●●●●●利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，●●●●●●1.

二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是，对称轴与图象的交点是；（2）图象的开口向

；（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

.上增大减小y轴

（0，0）1.二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2

及的图象，并比较它们有什么共同点和不同点？y=3x2答：∙∙∙∙∙∙∙∙2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2y=3x2答：通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）；图象均是“左降”“右升”；当x=0时，函数值最小，为0.y=3x2∙∙∙∙∙∙∙∙通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴探究

我们已经画出了

的图象，能不能从它得出二次函数

的图象呢？探究我们已经画出了的图象，能不能从它

在

的图象上任取一点

，它关于

x轴的对称点Q的坐标是

，如下图所示：

从点Q的坐标看出，点Q在

的图象上.Q在的图象上任取一点，它关

由此可知，

的图象与

的图象关于x轴对称，因此只要把

的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到

的图象.

如下图中的绿色曲线：Q由此可知，的图象与的图象关对称轴是

，对称轴与图象的交点是

；图象的开口向

，y轴O(0，0)下

观察下图，函数

的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数

的图象是一条曲线，观察对称轴是，对称轴与图象的交点是

图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；当x=

时，函数值最

，减小右降增大左升0大0最值为．大图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.举例解

列表：例2

画二次函数

的图象.

x012340-1-4举解列表：例2画二次函数的图象.描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.

描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了

的图象.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了的说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a＜0)的图象相像吗？说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿

以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a＜0)的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2.以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角

一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.

抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大

而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值

的增大而

.1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：（1）抛物线的对称轴是

，顶点是

；

（2）抛物线的开口向

；y轴原点O(0，0)下减小增大练习

（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大1.2.在同一直角坐标系中，分别画出函数

y=-0.3x2与y=-8x2的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.解：共同点：均开口向下；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点是(0，0)；图象均是“左升”“右降”；当x=0时，函数值最大，为0；不同点：y=-8x2的图象开口比y=-0.3x2的图象开口小.2.在同一直角坐标系中，分别画出函数y=-0.3x2与y探究

把二次函数的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示：探究把二次函数的图象E向右平移1个单位

由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在向右平移1个单位后：原像像抛物线E：图象F也是抛物线E的顶点O(0，0)点O′(1，0)是F的顶点E有对称轴l(与y轴重合)直线l′(过点O′与y轴平行)是F的对称轴E开口向上F也开口向上由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在

抛物线F是哪个函数的图象呢？

在抛物线

上任取一点

，它在向右平移1个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？

把点P的横坐标a加上1，纵坐标不变，就得到像点Q的坐标为抛物线F是哪个函数的图象呢？在抛物线

记b=a+1，则a=b-1.

从而点Q的坐标为

，这表明：点Q在函数

的图象上.由此得出，抛物线F是函数

的图象.记b=a+1，则a=b-1.从而点Q的坐

从上面的过程可以说明：函数

的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是

，它的对称轴是过点

且平行于y轴的直线l′.直线l′是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l′记做直线x=1.从上面的过程可以说明：函数结论

二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是(h，0).当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，开口向下.类似地，我们可以证明下述结论：结论二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，类似地

由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的图象的性质，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分.

在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤就可以了.由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的举例解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3画函数y=(x-2)2的图象.

列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.

举解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，x234描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在这样我们得到了函数y=(x-2)2的图象.如下图所示：y=(x-2)2这样我们得到了函数y=(x-2)2的图象.如下图所示：y=1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.（1）

练习答：对称轴是直线x=5，顶点是(5，0)，开口向上.（2）y=-3(x+2)2答：对称轴是直线x=-2，顶点是(-2，0)，开口向下.1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.（12.分别画出二次函数

y=-(x-1)2，

的图象.解2.分别画出二次函数y=-(x-1)2，探究

如何画二次函数

的图象？

我们来探究二次函数

与

之间的关系.二次函数图象上的点横坐标x纵坐标yaa探究如何画二次函数

从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数

的值大3，由此可见函数的图象可由二次函数

的图象向上平移3个单位而得到（如下图）.从上表看出：对于每一个给定的x值，函数

因此，二次函数

的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1(与抛物线

的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物线

的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)，它的开口向上.因此，二次函数的图象也是抛结论

一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它具有下述性质：抛物线y=a(x-h)2+k对称轴顶点坐标开口方向图象上的点在对称轴的左边在对称轴的右边a＞0x=h(h，k)向上y

随x的增大而减小y

随x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

随x

的增大而增大y

随x的增大而减小结论一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的

由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：第一步

写出对称轴和顶点坐标，并且在平

面直角坐标系内画出对称轴，描出

顶点；由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的第二步

列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，

描点和连线，画出图象在对称轴右边的部

分；第三步

利用对称性，画出图象在对称轴左边的部

分(这只要先把对称轴左边的对应点描出

来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和

顶点).第二步列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，第三步举例解对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.例4画二次函数

的图象.举解对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).x-1描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样我们得到了函数

的图象.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象举例例5已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

举例5已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴已知某由函数图象过点（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函数的表达式为解得解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个因此，所求的二1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.练习1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答2.画二次函数

的图象.

●●●解：2.画二次函数的图象.●●●3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.由函数图象过点(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于点(-3，2)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函数的表达式为3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过解:由于点如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？动脑筋我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？动脑筋配方：对称轴是直线，顶点坐标是

.配方：对称轴是直线，顶点坐标是.x233-1列表：自变量x从顶点的横坐标

开始取值.x233-1列表：自变量x从顶点的横坐标开始取值.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象.

描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象观察下图，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？说一说

当x等于顶点的横坐标时，函数值最大；这个最大值等于顶点的纵坐标.观察下图，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1一般地，有下述结论：

二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a＜0)或最小值

(当a＞0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标.一般地，有下述结论：二次函数y=ax2+bx+c，当举例解配方：例6求二次函数

的最大值.

顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1.举解配方：例6求二次函数一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方，顶点坐标是

因此，当

时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)：一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方，顶点坐标是练习1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和

开口方向，并画出它们的图象.（1）y=3x2-6x+1；答：对称轴为直线x=1，顶点(1，-2)，开口方向向上.原函数可化为y=3(x-1)2-2.练习1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和（1）y=答：原函数可化为对称轴为直线x=2，顶点(2，0)，开口方向向下.（2）答：原函数可化为对称轴为直线x=2，顶点(2，0)，开口2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：（1）y=x2-3x+2；答：的图象顶点为.（2）答：(-3，4).的图象顶点为2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：（1）y=x2-3x3.用配方法求第2题中各个二次函数的最大值或最小值.（1）y=x2-3x+2；答：原函数配方得当时，y最小=（2）答：原函数配方得当x=-3时，y最大=4.3.用配方法求第2题中各个二次函数的最大值或最小值.（1）中考试题例1

把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3D解析

抛物线y=-x2的顶点(0，0)先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到(-1，3)，该点为所求抛物线的顶点，故选D.中考试题例1把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然中考试题例2

抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（）

A.(0，2)B.(1，0)C.(0，-3)D.(0，0)A解析

当x=0时，y=2，所以抛物线与y轴的交点坐标是(0，2)，故选A.中考试题例2抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐中考试题例3

把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）

A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2(x+5)2

D.y=2(x-5)2A解析

y=2x2向上平移5个单位后解析式为y=2x2+5，故选A.中考试题例3把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所结束结束二次函数的图象与性质本节内容1.2二次函数的图象与性质本节内容1.2我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，探究探究列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取

0和一些互为相反数的数，并且算出相应

的函数值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取x…-3-2-1描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，

相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如

下图所示.AA′B′B描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，AA′B′BAA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和点B′，…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y=x2的图象关于y轴对称吗？观察左图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？AA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和

可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.AA′B′B可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点

和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，

画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点

用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了

的图象.如上图所示.连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点

观察下图，函数

的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？观察观察下图，函数的图象除了上面已经

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”；当x=0时，函数值最小，最小值为0.从下图中可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取当x=0时，

一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.x0123…00.524.5…例1举例

画二次函数的图象.因为二次函数

的图象关于y轴对称，

因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1举画二次函数描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●

利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了的图象.如下图所示：●●●●●●●利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，●●●●●●1.

二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是，对称轴与图象的交点是；（2）图象的开口向

；（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

.上增大减小y轴

（0，0）1.二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2

及的图象，并比较它们有什么共同点和不同点？y=3x2答：∙∙∙∙∙∙∙∙2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2y=3x2答：通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）；图象均是“左降”“右升”；当x=0时，函数值最小，为0.y=3x2∙∙∙∙∙∙∙∙通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴探究

我们已经画出了

的图象，能不能从它得出二次函数

的图象呢？探究我们已经画出了的图象，能不能从它

在

的图象上任取一点

，它关于

x轴的对称点Q的坐标是

，如下图所示：

从点Q的坐标看出，点Q在

的图象上.Q在的图象上任取一点，它关

由此可知，

的图象与

的图象关于x轴对称，因此只要把

的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到

的图象.

如下图中的绿色曲线：Q由此可知，的图象与的图象关对称轴是

，对称轴与图象的交点是

；图象的开口向

，y轴O(0，0)下

观察下图，函数

的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数

的图象是一条曲线，观察对称轴是，对称轴与图象的交点是

图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

，简称为

；当x=

时，函数值最

，减小右降增大左升0大0最值为．大图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而

当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.

于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.

在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.举例解

列表：例2

画二次函数

的图象.

x012340-1-4举解列表：例2画二次函数的图象.描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.

描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了

的图象.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了的说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a＜0)的图象相像吗？说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿

以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a＜0)的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2.以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角

一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.

抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大

而

；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值

的增大而

.1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：（1）抛物线的对称轴是

，顶点是

；

（2）抛物线的开口向

；y轴原点O(0，0)下减小增大练习

（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大1.2.在同一直角坐标系中，分别画出函数

y=-0.3x2与y=-8x2的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.解：共同点：均开口向下；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点是(0，0)；图象均是“左升”“右降”；当x=0时，函数值最大，为0；不同点：y=-8x2的图象开口比y=-0.3x2的图象开口小.2.在同一直角坐标系中，分别画出函数y=-0.3x2与y探究

把二次函数的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示：探究把二次函数的图象E向右平移1个单位

由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在向右平移1个单位后：原像像抛物线E：图象F也是抛物线E的顶点O(0，0)点O′(1，0)是F的顶点E有对称轴l(与y轴重合)直线l′(过点O′与y轴平行)是F的对称轴E开口向上F也开口向上由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在

抛物线F是哪个函数的图象呢？

在抛物线

上任取一点

，它在向右平移1个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？

把点P的横坐标a加上1，纵坐标不变，就得到像点Q的坐标为抛物线F是哪个函数的图象呢？在抛物线

记b=a+1，则a=b-1.

从而点Q的坐标为

，这表明：点Q在函数

的图象上.由此得出，抛物线F是函数

的图象.记b=a+1，则a=b-1.从而点Q的坐

从上面的过程可以说明：函数

的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是

，它的对称轴是过点

且平行于y轴的直线l′.直线l′是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l′记做直线x=1.从上面的过程可以说明：函数结论

二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是(h，0).当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，开口向下.类似地，我们可以证明下述结论：结论二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，类似地

由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的图象的性质，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分.

在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤就可以了.由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的举例解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3画函数y=(x-2)2的图象.

列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.

举解抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，x234描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在这样我们得到了函数y=(x-2)2的图象.如下图所示：y=(x-2)2这样我们得到了函数y=(x-2)2的图象.如下图所示：y=1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.（1）

练习答：对称轴是直线x=5，顶点是(5，0)，开口向上.（2）y=-3(x+2)2答：对称轴是直线x=-2，顶点是(-2，0)，开口向下.1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.（12.分别画出二次函数

y=-(x-1)2，

的图象.解2.分别画出二次函数y=-(x-1)2，探究

如何画二次函数

的图象？

我们来探究二次函数

与

之间的关系.二次函数图象上的点横坐标x纵坐标yaa探究如何画二次函数

从上表看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比函数

的值大3，由此可见函数的图象可由二次函数

的图象向上平移3个单位而得到（如下图）.从上表看出：对于每一个给定的x值，函数

因此，二次函数

的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1(与抛物线

的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物线

的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)，它的开口向上.因此，二次函数的图象也是抛结论

一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它具有下述性质：抛物线y=a(x-h)2+k对称轴顶点坐标开口方向图象上的点在对称轴的左边在对称轴的右边a＞0x=h(h，k)向上y

随x的增大而减小y

随x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

随x

的增大而增大y

随x的增大而减小结论一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的

由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：第一步

写出对称轴和顶点坐标，并且在平

面直角坐标系内画出对称轴，描出

顶点；由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的第二步

列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，

描点和连线，画出图象在对称轴右边的部

分；第三步

利用对称性，画出图象在对称轴左边的部

分(这只要先把对称轴左边的对应点描出

来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和

顶点).第二步列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，第三步举例解对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.例4画二次函数

的图象.举解对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).x-1描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样我们得到了函数

的图象.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象举例例5已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.

举例5已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴已知某由函数图象过点（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函数的表达式为解得解由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个因此，所求的二1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.练习1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答2.画二次函数

的图象.

●●●解：2.画二次函数的图象.●●●3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.由函数图象过点(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于点(-3，2)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函数的表达式为3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过解:由于点如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？动脑筋我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？动脑筋配方：对称轴是直线，顶点坐标是

.配方：对称轴是直线