2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page2424页，共=sectionpages2424页2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cA.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内2.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.x−1x=0 B.3x3.一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是(

)A.3π B.6π C.12π4.用配方法解方程x2−8xA.(x−8)2=21 B.5.如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为CD中点．若CD=2，A.4

B.3

C.135

D.6.以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是(

)A.8，8，8

B.4，10，10

C.4，8，10

D.6，8，10

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.方程x2=9的根是______

8.关于x的一元二次方程(x−2)2=a

9.已知一扇形的半径为2cm，其弧长为3πcm，则该扇形的面积是

10.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上.若∠ABD=55°，则∠

11.已知m是方程x2−x−1=0

12.如图，在△ABC中，AB=2，AC=2，以A为圆心，113.某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程______．14.已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．15.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2.若

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=23.⊙C的半径长为1，P是△AB三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

解方程x2−218.(本小题6.0分)

解方程(x+219.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k−2=20.(本小题8.0分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA//CD．

(121.(本小题7.0分)

如图，等腰△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C且与AB、A22.(本小题7.0分)

如图所示，面积为4500m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10m23.(本小题8.0分)

已知α、β是关于x的一元二次方程(x−m)(x−n)−2(x−m)=0的两个实数根．

(24.(本小题8.0分)

如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC=PA．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若25.(本小题8.0分)

商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？26.(本小题11.0分)

【习题再现】

(教材P74第10题)如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交△(1)完成原习题；

【逆向思考】

(2)如图②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.若DB=DI=D27.(本小题11.0分)

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上的动点，AC=6，BC=8，经过C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．

(1)若点D运动到AB的中点．

①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；

②如图答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，

∴点P到圆心的距离小于圆的半径，

∴点P在⊙O内．

故选：C．

根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P2.【答案】B

【解析】解：A.该方程是分式方程，故本选项不合题意；

B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；

D.该方程是二元二次方程，故本选项不合题意．

故选：B．

一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．

本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．3.【答案】C

【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π．

故选：C．4.【答案】D

【解析】解：x2−8x+5=0，

x2−8x=−5，

x2−8x5.【答案】C

【解析】解：如图，连接OC，设OC=OE=OF=r．

∵EF⊥CD，EF是直径，

∴CM=MD=1，

在R6.【答案】A

【解析】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，

∴BF=CF=4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，

∴∠OBF=12∠ABC=30°，

∴OB=BFcos30∘=432=833，

∴△ABC的外接圆的半径为833；

B、∵△ABC是等腰三角形，

过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，

∵AB=AC=10，

∴AB=AC，BD=CD=12BC=2，

∴AE是⊙O的直径，AD=AB2−BD2=102−22=46，

∴∠ABE=∠ADB7.【答案】x1=3【解析】解：x2=9，

x=±3，

所以x1=3，x2=−3．

故答案为：x18.【答案】a≥【解析】解：∵关于x的一元二次方程(x−2)2=a−1有实数根，

∴a−1≥0，

解得a9.【答案】3π【解析】解：利用扇形面积公式可知该扇形的面积是12×3π×2=3πc10.【答案】35°【解析】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵∠ABD=55°，

∴11.【答案】−2021【解析】解：∵m是方程x2−x−1=0的一个根，

∴m2−m−1=0，

∴m12.【答案】1+【解析】解：如图，设线段BC与⊙O相切于点D，连接AD．

∵BC是⊙O的切线，D是切点，

∴AD⊥BC，AD=1．

∴在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，∠ADB=90°，BD=AB2−A13.【答案】2000(【解析】解：设年平均增长率为x，

根据题意：2000(1+x)2=2420，

故答案为：2000(1+x)2=2420．

设年平均增长率为x14.【答案】3

【解析】解：如图，连接OA、OB，OG；

∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∴O15.【答案】3−【解析】解：在AB、CD上分别截取BE=CF=BC=2，连接CE、BF，两线交于点O，连接EF，则四边形BCFE为正方形，作四边形BCFE的外接圆⊙O，

∴∠BOC=90°，

当点P在EF上时，∠BPC=45°，

∵P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，

∴所有符合条件的点P形成的区域为边AD、AE、DF、EF围成的封闭图形，

∴所有符合条件的点16.【答案】2<【解析】解：作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，则CF=1，

∵∠ACB=90°，BC=2，AC=23，

∴AB=BC2+AC2=22+(23)2=4，

∴12×4CE=12×2×23=S△ABC，

∴CE=3，

∵EF⊥OF，

∴∠CFE=90°，

∴EF17.【答案】解：x2−2x−1=0，

移项，得x2−2x=1，

配方，得【解析】先把常数项−1移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．18.【答案】解：(x+2)2=3(x+2)，

移项，得(x+2)2−3【解析】提公因式法因式分解解方程即可．

本题考查一元二次方程−因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．

19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2k)2−4(k2+k−2)>0，

解得k<2，

所以k的取值范围为k<2；

【解析】(1)根据根的判别式的意义得到Δ=(2k)2−4(k2+k−2)>0，然后解不等式即可；

(2)20.【答案】(1)解：∵OA=OB，∠ABC=70°，

∴∠ABO=∠BAO=70°，

∴∠BOA=40°，

∵OA//CD，

∴∠C=∠【解析】(1)根据OA=OB，∠ABC=70°可得∠ABO=∠BAO=21.【答案】证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴D【解析】利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，从而可得DC=22.【答案】解：设小正方形的边长为x m，则大正方形的边长为(x+10)m，绿化区的面积为10xm2，

依题意得：(x+10+x)(x+10)【解析】设小正方形的边长为x m，则大正方形的边长为(x+10)m，绿化区的面积为10xm2，根据矩形广场的面积为450023.【答案】m=【解析】解：(1)∵(x−m)(x−n)−2(x−m)=0，

∴(x−m)(x−n−2)=0，

∴方程的两根分别为m，n+2．

∵α、β是关于x的一元二次方程(x−m)(x−n)−2(x−m)=0的两个实数根，且α=β，

24.【答案】(1)证明：连接OC、OP，如图1所示：

∵点C在⊙O上，

∴OC为半径．

∵PA与⊙O相切于点A，

∴OA⊥PA．

∴∠PAO=90°．

在△PCO和△PAO中，OC=OAOP=OPPC=PA

∴△PCO≌△PAO(SSS)，

∴∠PCO=∠PAO=90°，

∴PC⊥OC．

∴PC是⊙O的切线．

(2)解：①作【解析】(1)连接OC、OP，由切线的性质得出∠PAO=90°，证明△PCO≌△PAO得出∠PCO=∠PAO=90°，得出PC⊥OC.即可得出结论；

(2)①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；证出四边形CMAE是矩形．得出AM=3证出△PCA是等边三角形．由三角函数求出OC=2.由直角三角形的性质得出25.【答案】解：设销售单价应为x元，

根据题意得，(x−30)[600−50.5(x−50)【解析】设销售单价应为x元，根据按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，列方程即可得到结论．

本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售数量=总利润列出关于x的一元二次方程是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：如图①，连接BI，

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC．

∵∠DBC，∠DAC是DC所对的圆周角，

∴∠DBC=∠DAC，

∴∠DBC=∠BAD．

根据角之间的关系可知∠IBD=∠DBC+∠IBC．

又∵∠BID是△ABI【解析】(1)连接BI，根据I是△ABC的内心可得出∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，再由圆周角定理可知∠DBC=∠DAC，BID是△ABI的一个外角可知∠BID=∠BAD+∠ABI，故可得出∠IB27.【答案】2.4≤【解析】解：(1)①如图①所示：连接AN，DN，

∵∠C=90°，

∴AN是⊙O的直径，

∴∠NDA=90°，

∴ND⊥AB，

∵D是AB的中点，

∴MN=NB，

设MN=NA=x，则CN=BC−NB=8−x，

在