2021-2022学年甘肃省白银市靖远县高二年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年甘肃省白银市靖远县第二中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．在中，已知，，，则此三角形（

）A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定【答案】A【分析】根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为，即可判断解的情况.【详解】，，又，∴，故此三角形无解．故选:A.2．在△中，，，则△外接圆的半径等于（

）A．1 B．2 C．4 D．无法确定【答案】A【分析】由正弦定理，可得，求解即可得出答案.【详解】在△中，由正弦定理，，，，解得，故选：.3．在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则A． B．或 C．或 D．【答案】C【详解】∵∴根据正弦定理，即∵∴∴或故选C4．在中，，，分别是的对边，，，，则等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理列出关系式，将，，的值代入计算即可求出的值.【详解】在中，，，，由余弦定理得：，即，化简得解得：，或（舍去）故选：D5．在三角形中，，则的大小为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：，选A【解析】余弦定理6．△ABC中，，则△ABC一定是A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】根据正弦定理得即因为即，所以是等腰三角形故选A7．为钝角三角形，，，，为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得，得到，求得，再由三角形的性质，得到，即可求解．【详解】由题意，在中，，，，由角为钝角，由余弦定理可得，即，解得，又由三角形的性质，可得，所以的取值范围是．故选B．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及三角形的性质的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，合理应用三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，是方程的两个实根，那么△ABC是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．以上均有可能【答案】A【分析】由韦达定理求得和，再由两角和的正切公式求得，然后由诱导公式得后可判断C角的范围．得三角形形状．【详解】解：由题得tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，∴tan(A＋B)＝＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－，因为,∴C为钝角，所以三角形为钝角三角形．故选：A．9．在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意以及余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求解.【详解】解：，即，由余弦定理得：，解得：，则的面积为：.故选：C.10．已知的三内角，，所对的边分别是，，，满足下列条件的有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断．【详解】A是已知两边及夹角，只有一解，B是已知两边及一边的对角，由正弦定理得，由于，因此，可能为锐角也可能为钝角，所以或，两解．C中已知两边及一边的对角，同理由正弦定理得，无解．D已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解．故选：B．11．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达B处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意作图可得，，设，在，中求出，，在中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：平面，，，，设，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，即，解得：，所以山的高，故选：A.12．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据锐角三角形以及可得，可得，根据正弦定理得，进一步可得b的取值范围.【详解】在锐角三角形中，，即，且，则，即，综上，则，因为，，所以由正弦定理得，得，因为，所以，所以，所以b的取值范围为.故选：C.【点睛】本题了锐角三角形的概念，考查了正弦定理，考查了余弦函数的单调性，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.二、填空题13．在中，，，，则的面积为__.【答案】【分析】由余弦定理算出，再利用同角三角函数的关系得到，最后根据面积公式即可算出的面积.【详解】中，，，，由余弦定理，得，为三角形的内角，可得，的面积为故答案为：14．在中，角所对应的边分别为．已知，则______．【答案】【分析】先利用正弦定理可得到，再利用两角之和的正弦公式可得到，从而可得到的值.【详解】解：将，利用正弦定理可得：，即，∵，∴，利用正弦定理可得：，则．

故答案为．【点睛】利用正弦定理可以将边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系，从而很好的解决问题.15．一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是___________海里.【答案】.【分析】在中，依题意得，，，进而由正弦定理可得结果.【详解】依题意可知，在中，，，，所以.由正弦定理得，即，解得（海里）.故答案为：.三、解答题16．在中，内角所对的边分别为，，，且，则__；若，则的最大值为__.【答案】

##0.5

【分析】利用正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，可得，结合范围，可求的值，进而可求的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求解的最大值.【详解】解：因为，所以，可得，又，所以，即，因为，所以，因为，所以，；若，则由，可得，，则（其中，为锐角），当且仅当时，此时，，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：①；②.17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．【详解】解：（1）因为，，.由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．18．在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】(1)；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值．【详解】(1),由正弦定理得，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，所以.（2）由余弦定理得，，所以所以.19．已知在中，角对应的边分别为，．（1）求角；（2）若，的面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简即得B的大小；（2）先根据的面积为求出a=1,即得C.【详解】（1）由及正弦定理可得

由余弦定理可得

又因为，所以.

（2）因为,

所以.

又因为，所以是等边三角形，所以【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．如图，在中，是上的点，，，，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，利用余弦定理即可求解.（2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）在中，又，所以.（2）由（1）知，，所以，又，所以，，由，知，所以21．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2c－b＝2acosB，a＝．（1）若c＝，求的面积；（2）若为锐角三角形，求b－c的取值范围．【答案】（1）；（2）(，)．【分析】（1）由正弦定理对2c－b＝2acosB统一成角后化简可求出角A的值，再利用余弦定理求出b，从而可求出的面积；（2）由正弦定理可得，从而有b－c＝2[sinB－sin(－B)]=2sin(B－)，再由三角形为锐角三角形可得＜B－＜，从而可求出b－c的取值范围【详解】（1）∵2c－b＝2acosB，由正弦定理得2sinC－sinB＝2sinAcosB，∴2sin(A＋B)－sinB＝2sinAcosB，∴2cosAsinB＝sinB．∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosA＝．又∵A∈(0，π)，∴A＝．由余弦定理得7＝b2＋3－2××b，即b2－3b－4＝0，(b－4)(b＋1)＝0，∴b＝4或b＝－1(舍去)，∴＝bcsinA＝×4××＝．（2）由（1）知A＝．由正弦定理得，＝＝＝＝2，∴b－c＝2[sinB－sin(－B)]＝2(sinB－cosB)＝2sin(B－)．∵是锐角三角形，∴＜B＜，＜B－＜，＜sin(B－)＜，∴b－c∈(，)．【点睛】此题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.22．在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中，且与点相距海里的位置.(1)求该船的行驶速度（单位：海里小时）；(2)若该船不改变航行方向，当它行驶到的正南方向时，求该船与观测站的距离；不改变航向继续航行，判断它是否会进入警戒水域，说明理由.【答案】(1)海里小时(2)当它行驶到的正南方向时，求该船与观测站的距离为40海里；船会进入警戒水域，理由见解析【分析】（1）求得的值，进而令余弦定理求得，除以时间即可求得速度.（2）建立坐标系，设，根据三角函