线性代数知识点1至5章课件

把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．１全排列把个不同的元素排成一列，叫做这个元个不同的1逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２逆序数逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为在一个排列2分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．３计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数方法2方法1分3定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一4５n阶行列式的定义５n阶行列式的定义5线性代数知识点1至5章课件6６n阶行列式的性质６n阶行列式的性质7线性代数知识点1至5章课件8１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开9２）关于代数余子式的重要性质２）关于代数余子式的重要性质10８克拉默法则８克拉默法则11克拉默法则的理论价值定理定理克拉默法则的理论价值定理定理12定理定理定理定理13１矩阵的定义１矩阵的定义14线性代数知识点1至5章课件15２方阵列矩阵行矩阵２方阵列矩阵行矩阵16两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称３同型矩阵和相等17４零矩阵单位矩阵４零矩阵单位矩阵18交换律结合律５矩阵相加交换律结合律５矩阵相加19运算规律６数乘矩阵运算规律６数乘矩阵20７矩阵相乘７矩阵相乘21运算规律运算规律22n阶方阵的幂８方阵的运算n阶方阵的幂８方阵的运算23方阵的行列式运算规律方阵的行列式运算规律24转置矩阵９一些特殊的矩阵转置矩阵９一些特殊的矩阵25对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵26正交矩阵对角矩阵对合矩阵正交矩阵对角矩阵对合矩阵27上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三下三角矩28伴随矩阵伴随矩阵29定义１０逆矩阵定义１０逆矩阵30相关定理及性质相关定理及性质31矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．１１分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于分块矩阵的运算32１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换33三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是34反身性传递性对称性２矩阵的等价反身性传递性对称性２矩阵的等价35三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵36（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（１）换法变换：对调两行（列），得初等37（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（38（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另39经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩例如４行阶梯形矩40经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一例如５行最简形矩41对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到例如６矩阵的标准42所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一43定义７矩阵的秩定义定义７矩阵的秩定义44定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理45线性代数知识点1至5章课件46定理定理９线性方程组有解判别定理定理定理９线性方程组有解判别定理47

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形非齐次线性方程48定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论49分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．50线性代数知识点1至5章课件51向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量52向量加法２向量的线性运算向量加法２向量的线性运算53数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运54线性代数知识点1至5章课件55除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：56若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３线性组合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合定义３线性组合57定义４线性表示定义４线性表示58定理定义定理定义59定义５线性相关定理定义５线性相关定理60定理定理61线性代数知识点1至5章课件62定义６向量组的秩定义６向量组的秩63等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的64推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组65７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，66线性代数知识点1至5章课件67定义８子空间定义８子空间68定义９基与维数定义９基与维数69线性代数知识点1至5章课件70向量方程１０齐次线性方程组向量方程１０齐次线性方程组71线性代数知识点1至5章课件72解向量解向量73解向量的性质性质１性质２定义解向量的性质性质１性质２定义74定理定义定理定义75向量方程１１非齐次线性方程组向量方程１１非齐次线性方程组76解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组的解向量．解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组77（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法78第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其79线性代数知识点1至5章课件80第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系第三步：将其余个分量依次组成阶81（２）求非齐次线性方程组的特解（２）求非齐次线性方程组的特解82将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为83即为所求非齐次线性方程组的一个特解．即为所求非齐次线性方程组的一个特解．84定义１向量内积的定义及运算规律定义１向量内积的定义及运算规律85线性代数知识点1至5章课件86定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度87线性代数知识点1至5章课件88定义３向量的夹角定义３向量的夹角89所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４正交向量组的性质所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零定理定义４正交向90施密特正交化方法施密特正交化方法91第一步正交化第一步正交化92第二步单位化第二步单位化93定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件94定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换的特性在于95定义６方阵的特征值和特征向量定义６方阵的特征值和特征向量96线性代数知识点1至5章课件97７有关特征值的一些结论７有关特征值的一些结论98定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性８有关特征99定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；９相100１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多101(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．(4)能对角化的充分必要条件是有个线(5)有个102１１实对称矩阵的相似矩阵１１实对称矩阵的相似矩阵103定义１２二次型定义１２二次型104二次型与它的矩阵是一一对应的．二次型与它的矩阵是一一对应的．105定义１３二次型的标准形定义１３二次型的标准形106１４化二次型为标准形１４化二次型为标准形107线性代数知识点1至5章课件108定义１５正定二次型定义１５正定二次型109１６惯性定理１６惯性定理110注意注意111线性代数知识点1至5章课件112把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．１全排列把个不同的元素排成一列，叫做这个元个不同的113逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２逆序数逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为在一个排列114分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．３计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数方法2方法1分115定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一116５n阶行列式的定义５n阶行列式的定义117线性代数知识点1至5章课件118６n阶行列式的性质６n阶行列式的性质119线性代数知识点1至5章课件120１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开121２）关于代数余子式的重要性质２）关于代数余子式的重要性质122８克拉默法则８克拉默法则123克拉默法则的理论价值定理定理克拉默法则的理论价值定理定理124定理定理定理定理125１矩阵的定义１矩阵的定义126线性代数知识点1至5章课件127２方阵列矩阵行矩阵２方阵列矩阵行矩阵128两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称３同型矩阵和相等129４零矩阵单位矩阵４零矩阵单位矩阵130交换律结合律５矩阵相加交换律结合律５矩阵相加131运算规律６数乘矩阵运算规律６数乘矩阵132７矩阵相乘７矩阵相乘133运算规律运算规律134n阶方阵的幂８方阵的运算n阶方阵的幂８方阵的运算135方阵的行列式运算规律方阵的行列式运算规律136转置矩阵９一些特殊的矩阵转置矩阵９一些特殊的矩阵137对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵138正交矩阵对角矩阵对合矩阵正交矩阵对角矩阵对合矩阵139上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三下三角矩140伴随矩阵伴随矩阵141定义１０逆矩阵定义１０逆矩阵142相关定理及性质相关定理及性质143矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．１１分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于分块矩阵的运算144１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换145三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是146反身性传递性对称性２矩阵的等价反身性传递性对称性２矩阵的等价147三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵148（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（１）换法变换：对调两行（列），得初等149（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（150（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另151经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩例如４行阶梯形矩152经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一例如５行最简形矩153对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到例如６矩阵的标准154所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一155定义７矩阵的秩定义定义７矩阵的秩定义156定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理157线性代数知识点1至5章课件158定理定理９线性方程组有解判别定理定理定理９线性方程组有解判别定理159

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形非齐次线性方程160定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论161分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１向量的定义定义分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．162线性代数知识点1至5章课件163向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量164向量加法２向量的线性运算向量加法２向量的线性运算165数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运166线性代数知识点1至5章课件167除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：168若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３线性组合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合定义３线性组合169定义４线性表示定义４线性表示170定理定义定理定义171定义５线性相关定理定义５线性相关定理172定理定理173线性代数知识点1至5章课件174定义６向量组的秩定义６向量组的秩175等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的176推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组．推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组177７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．７向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，178线性代数知识点1至5章课件179定义８子空间定义８子空间180定义９基与维数定义９基与维数181线性代数知识点1至5章课件182向量方程１０齐次线性方程组向量方程１０齐次线性方程组183线性代数知识点1至5章课件184解向量解向量185解向量的性质性质１性质２定义解向量的性质性质１性质２定义186定理定义定理定义187向量方程１１非齐次线性方程组向量方程１１非齐次线性方程组188解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组的解向量．解向量的性质性质１性质２解向量向量方程的解就是方程组189（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法（１）求齐次线性方程组的基础解系１２线性方程组的解法190第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其191线性代数知识点1至5章课件192第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系第三步：将其余个分量依次组成阶193（２）求非齐次线性方程组的特解（２）求非齐次线性方程组的特解194将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为195即为所求非齐次线性方程组的一个特解．即为所求非齐次线性方程组的一个特解．196定义１向量内积的定义及运算规律定义１向量内积的定义及运算规律197线性代数知识点1至5章课件198定义向量的长度具有下列