江西省吉安吉州区五校联考2022年数学九上期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴是直线x＝1C．抛物线与x轴有两个交点D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣32．若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是()A． B． C． D．3．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（）A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m4．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是()A． B． C． D．5．二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则的图象与x轴的交点的横坐标分别为（）A．1和5 B．﹣3和1 C．﹣3和5 D．3和56．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形7．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A． B．C． D．10．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（）A．和 B．和 C．和 D．和二、填空题(每小题3分,共24分)11．若方程的两根，则的值为__________．12．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．13．在平面直角坐标系中，已知点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A对应点A′的坐标是__________．14．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1=．15．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上一点，菱形OABC的边长为5，且tan∠COA=，若函数的图象经过顶点B，则k的值为________．16．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则的最大值为_______．17．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．18．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.三、解答题(共66分)19．（10分）表是2019年天气预报显示宿迁市连续5天的天气气温情况．利用方差判断这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大．12月17日12月18日12月19日12月20日12月21日最高气温（℃）106789最低气温（℃）10﹣10320．（6分）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．21．（6分）如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积．22．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）画出关于轴对称的；写出顶点的坐标（，），（，）．（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的；写出顶点的坐标（，），（，），（，）．（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P是直线BC下方抛物线上的任意一点。(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式。(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标。24．（8分）如图，已知平行四边形中，，，.平行四边形的顶点在线段上（点在的左边），顶点分别在线段和上.（1）求证：；（2）如图1，将沿直线折叠得到，当恰好经过点时，求证：四边形是菱形；（3）如图2，若四边形是矩形，且，求的长.（结果中的分母可保留根式）25．（10分）已知：AB为⊙O的直径．（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为三角形．26．（10分）已知关于x的一元二次方程．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程两根分别为、，且2、2分别是边长为5的菱形的两条对角线，求m的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∴抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∴对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∴抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.2、A【分析】代入两点的坐标可得，，所以，由抛物线的顶点在第一象限可得且，可得，再根据、，可得S的变化范围．【详解】将点(0，1)代入中可得将点(-1，0)代入中可得∴∵二次函数图象的顶点在第一象限∴对称轴且∴∵，∴∴故答案为：A．【点睛】本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．3、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，∴＝．∴AD＝1．∴AB＝AD+DB＝1+1＝2．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．4、B【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5、A【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．【详解】解：∵二次函数y＝（x+m）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，∴y＝（x+m﹣2）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．6、A【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定及平行四边形的判定定理分别进行判定后即可确定正确的选项．【详解】A.对角线相等的菱形是正方形,原选项错误，符合题意；B.对角线垂直平分的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；C.正方形的对角线平分且相等，正确，不符合题意；D.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；故选A.【点睛】本题考查正方形、矩形、平行四边形、菱形的性质定义，根据其性质对选项进行判断是解题关键.7、D【分析】根据表中的对应值，求出二次函数的表达式即可求解．【详解】解：选取，，三点分别代入得解得：∴二次函数表达式为∵，抛物线开口向下；∴选项A错误；∵函数图象与的正半轴相交；∴选项B错误；当x=－1时，；∴选项C错误；令，得，解得：，∵，方程的负根在0与－1之间；故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．8、D【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；根据抛物线的顶点和最值即可判断③；求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，∵AD＝＝3，BD＝＝，∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.9、D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10、B【解析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．【详解】解：2x2-x=1，

移项得：2x2-x-1=0，

一次项系数是-1，常数项是-1．

故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b分别叫二次项系数，一次项系数．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【详解】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知=-，=的运用．12、（6﹣2）cm．【解析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，则BP=×4=（2

-2）cm．∴AP=4-BP=故答案为：()cm．【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的

．13、（—2，1）或（2，—1）【分析】根据位似图形的性质，只要点A的横、纵坐标分别乘以或﹣即可求出结果．【详解】解：∵点A（－6，3），B（9，0），以原点O为位似中心，相似比为把△ABO缩小，∴点A对应点的坐标为（—2，1）或（2，—1）．故答案为：（—2，1）或（2，—1）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，属于基本题型，注意分类、掌握求解的方法是关键．14、．【分析】根据三角形数得到x1=1，x1=3=1+1，x3=6=1+1+3，x4=10=1+1+3+4，x5=15=1+1+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn=1+1+3+…+n=、xn+1=，然后计算xn+xn+1可得．【详解】∵x1=1，

x1═3=1+1，

x3=6=1+1+3，

x4═10=1+1+3+4，

x5═15=1+1+3+4+5，

…

∴xn=1+1+3+…+n=，xn+1=，

则xn+xn+1=+=（n+1）1，

故答案为：（n+1）1．15、1【分析】作BD⊥x轴于点D，如图，根据菱形的性质和平行线的性质可得∠BAD=∠COA，于是可得，在Rt△ABD中，由AB=5则可根据勾股定理求出BD和AD的长，进而可得点B的坐标，再把点B坐标代入双曲线的解析式即可求出k．【详解】解：作BD⊥x轴于点D，如图，∵菱形OABC的边长为5，∴AB=OA=5，AB∥OC，∴∠BAD=∠COA，∴在Rt△ABD中，设BD=3x，AD=4x，则根据勾股定理得：AB=5x=5，解得：x=1，∴BD=3，AD=4，∴OD=9，∴点B的坐标是（9，3），∵的图象经过顶点B，∴k=3×9=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形、勾股定理和待定系数法求函数的解析式等知识，属于常考题型，熟练应用上述知识、正确求出点B的坐标是解题的关键．16、【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN=PE，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得的最大值．【详解】∵抛物线y=﹣(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，则y=1，∴C(0，1)，∴BC，设直线BC的解析式为y=kx+b．∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣m+1)，∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+1)=﹣m2+1m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴===．∴PN=PE=(-m2+1m)．∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．∵，∴当m时，的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得与m的函数关系式是解题的关键．17、【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴，

∵AE是直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠ADC，

∵∠E=∠C，

∴△ABE∽△ADC，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18、【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=,∴由勾股定理得，DE=，∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=,∴由勾股定理得，CN=,∴sin∠DEC=.故答案为：.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.三、解答题(共66分)19、见解析【分析】根据题意，先算出各组数据的平均数，再利用方差公式计算求出各组数据的方差比较大小即可．【详解】∵高＝（℃），低＝（℃），高＝＝2（℃2）低＝＝1．84（℃2）∴高＞低∴这5天的日最高气温波动大．【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是熟练掌握方差公式：S2＝．20、（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】解：（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，∴，解得OD=1，∴=2，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．21、（1）A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）1【分析】（1）求出两函数解析式组成的方程组的解即可；（2）先求出函数y＝x﹣2与y轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可．【详解】解：（1）解方程组，解得：，，即A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）设函数y＝x﹣2与y轴的交点是C，当x＝0时，y＝﹣2，即OC＝2，∵A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3），∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝＝1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．22、（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）成中心对称，对称中心坐标是【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征找到A,C的对应点，然后顺次连接即可，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可写出的坐标；（2）将绕原点O顺时针旋转90°得到三点的对应点，然后顺次连接即可，再根据直角坐标系即可得到的坐标；（3）利用成中心对称的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称判断即可，然后根据一组对应点相连，其中点就是对称中心即可得出答案．【详解】解：（1）如图，根据关于y轴对称的点的特点可知：；（2）如图，由图可知，；（3）根据中心对称图形的定义可知与成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是.【点睛】本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于y轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键．23、（1）二次函数的解析式为；（2）P（）时，四边形POP′C为菱形.【分析】（1）将点B、C的坐标代入解方程组即可得到函数解析式；（2）根据四边形POP′C为菱形，得到，且与OC互相垂直平分，可知点P的纵坐标为，将点P的纵坐标代入解析式即可得到横坐标，由此得到答案.【详解】（1）将点B(3，0)、C(0，﹣3)的坐标代入y=x2+bx+c，得，∴∴二次函数的解析式为；（2）如图，令中x=0，得y=-3，∴C（0，-3）∵四边形POP′C为菱形，∴，且与OC互相垂直平分，∴点P的纵坐标为，当y=时，，得：，∵点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，∴P（）时，四边形POP′C为菱形.【点睛】此题考查二次函数的待定系数法求解析式、菱形的性质，（