振动力学全套课件

振动力学教学内容2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’2教学内容• 绪 论• 单自由度系统自由振动• 单自由度系统受迫振动• 多自由度系统的振动• 振动问题的近似解法• 连续体系统的振动绪论•

绪论•

基本概念与学习目的•

振动问题的提法•

力学模型•

振动及系统分类2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’3定义从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动振动是自然界最普遍的现象之一各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动（1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（2）桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动，（3）飞机和轮船航行中的振动，2（006年4）5月4机日

床和刀具在加工时的振动中国力学学会学术大会‘2005’4• 基本概念与学习目的绪论各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’5力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题振动力学借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，位合理解决各种振动问题提供理论依据绪论•

学习目的许多情况下，振动是有害的它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’6例如：1940年美国的Tacoma

Narrows吊桥1972年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组美国第一颗人造卫星“探险者I号”，“国际通讯卫星V号”振动会影响精密仪器的功能，降低加工精度，加剧构件疲劳和磨损桥梁因振动而倒塌，飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故强烈的振动噪声而形成严重公害绪论学习振动力学的目的之一：2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’7掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响绪论振动也有它积极的一方面，是可以利用的例如：振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送以及地震仪等学习振动力学的目的之二：运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’8•

学习目的绪论绪论•

绪论•

基本概念与学习目的•

振动问题的提法•

力学模型•

振动及系统分类2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’9• 振动问题的提法系统（输入）激励（输出）响应通常的研究对象被称作系统它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等外部激振力等因素称为激励（输入）

系统发生的振动称为响应（输出）2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’10绪论振动问题按这三个环节可分为三类问题第一类：已知激励和系统，求响应第二类：已知激励和响应，求系统第三类：已知系统和响应，求激励系统（输入）激励（输出）响应绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’11第一类：已知激励和系统，求响应动力响应分析主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的振动设计正问题系统（输入）激励（输出）响应√2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’12√

√?绪论第二类：已知激励和响应，求系统系统识别，系统辨识求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振型等）的认识以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动第一个逆问题系统（输入）激励（输出）响应√ √固有特性为任务的叫做模态参数辨识或试验模态分析2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’13√√?绪论第三类：已知系统和响应，求激励环境预测例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装第二个逆问题系统（输入）激励（输出）响应√

√2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’14√??绪论绪论•

绪论•

基本概念与学习目的•

振动问题的提法•

力学模型•

振动及系统分类2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’15•

力学模型2006年5月4日数学工具：常微分方程16中国力学学会学术大会‘2005’振动系统三要素：质量，刚度，阻尼质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件，阻尼是耗能元件描述振动系统的两类力学模型：（1）连续系统模型（无限多自由度系统，分布参数系统）

结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布数学工具：偏微分方程（多自由度系统

，单自由度系统）（2）离散系统模型结构参数为集中参量绪论绪论•

绪论•

基本概念与学习目的•

振动问题的提法•

力学模型•

振动及系统分类2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’17•

振动及系统分类按运动微分方程的形式可分为：描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的非线性振动

需要称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理不成立线性振动绪论2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’18•

振动及系统分类按激励的有无和性质，振动可以分为：固有振动自由振动强迫振动

系统在外部激励作用下所做的振动2006年5月4日秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式19中国力学学会学出术现大，会‘2而00摆5’长的变化由人体的下蹲及站立造成随机振动

系统在非确定性的随机激励下所作的振动。例如行驶在公路自激振动

系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动。例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等参数振动

激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。例如无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性）激励消失后系统所作的振动（现实的振动）上的汽车的振动绪论主要参考文献2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’20Thomson,

W.

T.

,

Theory

of

Vibration

with

Applications,

Prentice

-

Hall,1972Merovitch,L.,ElementsofVibrationAnalysis,McGraw

-Hill,1975Timoshenko,

S.,

Vibration

Problems

in

Engineering,

4ed,

John

Wiley

&Sons,1974Tse,FrancisS.,MechanicalVibrationTheoryandApplications,1978• 倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，1994• 方同，薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社，1998• 季文美，机械振动学，科学出版社，

1985主要参考文献要求:预习：每次上课前进行预习作业：认真和独立完成作业实验：认真完成实验报告2006年5月4日中国力学学会学术大会‘2005’21要求单自由度系统自由振动教学内容2006年5月4日《振动力学》2单自由度系统自由振动• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼•

无阻尼自由振动令

x

为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：m&x&

mg

k

(

x)mg

k在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程

：m&x&

kx

0单自由度系统自由振动

0 mx静平衡位置

弹簧原长位置k

0 静平衡位置弹簧原长位置mk

2006年5月4日《振动力学》3x固有振动或自由振动微分方程

：m&x&

kx

0令

：

km

0单位：弧度/秒（rad/s）&x&

0

x

02则有

：通解

：

x(t)

c1

cos(0t)

c2

sin(0t)

Asin(0t

)c1

,

c2：

任意常数，由初始条件决定2c1

c22振幅

：

A

2006年5月4日《振动力学》42

tg

1

c1c初相位

：固有频率单自由度系统自由振动5m&x&

kx

0

km

0&x&

0

x

022A

c1

c222

tg

1

c1cx(t)

c1

cos(0t)

c2

sin(0t)

Asin(0t

)单自由度系统自由振动xt0A

0T

2

/

02006年5月4日《振动力学》m&x&

kx

0

km

0&x&

0

x

022A

c1

c2222006年5月4日《振动力学》6

tg

1

c1c0：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系A,：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关x(t)

c1

cos(0t)

c2

sin(0t)

Asin(0t

)单自由度系统自由振动x&(

)

x&c1

b1

cos(0

)

b2

sin(0

)c2

b1

sin(0

)

b2

cos(0

)x(t)

b1

cos0

(t

)

b2

sin

0

(t

)令

：b1

x有

：单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动x(t)

c1

cos(0t)

c2

sin(0t)

Asin(0t

)02006年5月4日《振动力学》7设

t

的初始位移和初始速度为：x(

)

x2b

x&

时刻以后的自由振动解为：xt

x

cos0

t

sin

t

x00&⎝

0

⎠0x&零时刻的初始条件：x(0)

x0零初始条件下的自由振动：x&02006年5月4日《振动力学》8x&(0)

x02⎛

x&0

⎞2A

x0

⎜⎜

⎟⎟

tg

1

x00sin(0t)

Asin(0t

)x(t)

x0

cos(0t)

0单自由度系统自由振动x(t)

x0

cos(0t)

sin(0t)

Asin(0t

)0零初始条件下的自由振动：x&0无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以

0为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能单自由度系统自由振动xt0A

0T

2

/

0x

02006年5月4日《振动力学》9x(t)

x0

cos(0t)

sin(0t)

Asin(0t

)0零初始条件下的自由振动：x&0无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以

0为振动频率的简谐振动，并且永无休止单自由度系统自由振动初始条件：x0

2, x&0

0固有频率从左到右：0

, 20

, 30时间位置2006年5月4日《振动力学》10单自由度系统自由振动固有频率计算的另一种方式：m&x&

kx

0km0

mg

k在静平衡位置：

k

g

m0则有：对于不易得到

m

和

k的系统，若能测出静变形

，则用该式计算是较为方便的

0 mx静平衡位置

弹簧原长位置k2006年5月4日《振动力学》11例：

提升机系统重物重

量W

1.47

105

N钢丝绳的弹簧刚度k

5.78

104

N/

cm重物以

v

15m

/

min 的速度均匀下降W求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。单自由度系统自由振动v2006年5月4日《振动力学》12解：振动频率

gk

19.6rad

/

s0则

t=0

时，有：

x0振动解：

0重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置

vx&0(cm)x(t)

sin(

t)

1.28sin(19.6t)

00vx&0单自由度系统自由振动W静平衡位置kxWvx(t)

x0

cos(ω0t)

ωsin(ω0t)2006年5月4日《振动力学》130(cm)x(t)

sin(

t)

1.28sin(19.6t)

00振动解：v

2.21105

(N

)

Ts

kA

W

kA

1.47

105

0.74

105Tmax由于0为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度v绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和

：动张力几乎是静张力的一半kA

k

v

v

km单自由度系统自由振动W2006年5月4日《振动力学》14例：

重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长

L，抗弯刚度

EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动mh02006年5月4日《振动力学》15l/2l/2解：取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系由材料力学

：自由振动频率为

：

mgl

48EJ3g

0单自由度系统自由振动静变形48EJml3mh0l/2l/2x静平衡位置2006年5月4日《振动力学》16撞击时刻为零时刻，则

t=0

时，有：x0

则自由振动振幅为

：2⎝

0

⎠⎛

x&0

⎞2A

x0

⎜⎜

⎟⎟梁的最大扰度：

A

maxx(t)

x0

cos(0t)

sin(0t)x&0单自由度系统自由振动

2h2

2ghx&0mh0l/2l/2x静平衡位置2006年5月4日《振动力学》017单自由度系统自由振动例：圆盘转动圆盘转动惯量

Ik在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置I&

k

020

k

/

I扭振固有频率

00&k

为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩

(N

m

/

rad

)I2006年5月4日《振动力学》18由牛顿第二定律：单自由度系统自由振动由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将

m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的m&x&

kx

00

k

/

mI&

k

0

k /

IkI

0 mx静平衡位置

弹簧原长位置kθ02006年5月4日《振动力学》19单自由度系统自由振动从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。m&x&

kx

00

k

/

mI&

k

0

k /

IkI

0 mx静平衡位置

弹簧原长位置k2006年5月4日《振动力学》θ020例：复摆刚体质量

m对悬点的转动惯量 I0重心

Cmg求：复摆在平衡位置附近作微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动I0a2006年5月4日《振动力学》210C解：由牛顿定律

：I0&

mga

sin

0因为微振动：sin

I0&

mga

0则有

：

mga

/

I0固有频率

：

0若已测出物体的固有频率

0

，则可求出

I0，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：2Ic

I

0

ma单自由度系统自由振动mgI0a2006年实5月验4日确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法《振动力学》220C单自由度系统自由振动例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角

300质量

m=1kg弹簧刚度

k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零重力角速度取

9.8求：

系统的运动方程2006年5月4日《振动力学》23m300k2006年5月4日《振动力学》x(t)

x0

cos(0t)

sin(0t2)4单自由度系统自由振动解：x0以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：

70 (rad

/

s)0

k

/

m

49

102

/1振动初始条件：kx

mg

sin

3000x

0.1

(cm)0初始速度：

x&0

0考虑方向0x&0x(t)

0.1cos(70t)

(cm)运动方程：m300k教学内容2006年5月4日《振动力学》25• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动• 能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能

T

和势能V之和保持不变

，即：T

V

const或：

d

T

V

0dt2006年5月4日《振动力学》26弹簧质量系统动能： T

1

mx&

22势能：mgx（重力势能）（弹性势能）

k

(

x)dxx0

mgx

kx

1

kx22m&x&

kx

0

d

T

V

0(m&x&

kx)x&

0x&

不可能恒为

0k

xdxV

mgx

x0单自由度系统自由振动mg

k212kx

0mx静平衡位置

弹簧原长位置kdt2006年5月4日《振动力学》27单自由度系统自由振动如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：T

1

mx&

22势能： V

mgx

0

kxdxx

mgx

1

kx22m&x&x&

mgx&

kxx&

0m&x&

kx

mgm&y&

ky

0

d

T

V

0设新坐标y

x

mgk

x

0mx静平衡位置k2006年5月4日《振动力学》dt28如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位

置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中

就不会出现重力项2006年5月4日《振动力学》29单自由度系统自由振动T

V

constTmax

Vmax2006年5月4日x(t)

Asin(

t

3)0单自由度系统自由振动考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大

012Vmax2maxmaxT mx&最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大V

1

kx2maxmaxTmax2

00

k

/

m

0

xmaxx&max

0max对于转动：

&maxx

是广义的

0 mx静平衡位置k静平衡位置

最大位移位置x0 maxmxk0《振动力学》例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量m刚杆质量忽略每个弹簧的刚度k2求:(1)

倒摆作微幅振动时的固有频率(2)

摆球

m

0.9kg

时，测得频率

f

为

1.5HZ，

m

1.8kg时，测得频率为

0.75HZ

，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？单自由度系统自由振动lmak/2k/22006年5月4日《振动力学》31解法1：广义坐标动能T

1

I&2

1

ml

2&221

12势能

U

maxTmax&max

0maxka mglml

22

0

平衡位置1k a

mgl1

cos

2

⎝

2V

2

2⎜

⎟⎠⎛

⎞零平衡位置1单自由度系统自由振动

1

(ka2

2

mgl

2

)

1

(ka2

mgl)

22 222

2 22

⎠⎠

ka

mgl⎜1

1

2

sin2 21

1⎟⎟

⎞⎞⎜⎝⎛⎟⎜⎝⎛lmak/2k/22006年5月4日《振动力学》32解法2：平衡位置2动能T

1

I&2

1

ml

2&22 2势能k a

mgl

cos2

⎝

21

1V

2

2⎟⎠⎛

⎞⎜2ml

2&&

2

(ka2

mgl)&

02ml

2&

2(ka2

mgl)

0ml

2ka2

mgl0

零平衡位置2单自由度系统自由振动⎟2

⎠⎞⎜⎝ka

mgl⎛1

2

sin12121222 2ka2

2

mgl

mgl

22(ka2

mgl)

2

mgl1lmak/2k/2

d

T

U

02006年5月4日《振动力学》33dt教学内容2006年5月4日《振动力学》34• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼单自由度系统自由振动• 瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动kmx02006年5月4日《振动力学》35设弹簧的动能:221T

m

xt t&系统最大动能：2t max2maxTmax

1212m

xmx&&系统最大势能：V

1

kx2maxmax2x&max

0

xmax单自由度系统自由振动例如：弹簧质量系统

k

m

mt

0若忽略

m

，则

增大t02max(m

m

)x12t&mt弹簧等效质量k mtmx02006年5月4日《振动力学》36教学内容2006年5月4日《振动力学》37• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼单自由度系统自由振动• 等效质量和等效刚度方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：212M xT

e&V

1

K

x

22e当

x&

、

x分别取最大值时：则可得出：T

TmaxV

Vmax0

Ke

/

Me2006年能5月分4日别相等《振动力学》38Ke：简化系统的等效刚度

Me：简化系统的等效质量这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势单自由度系统自由振动动能 T

1

I&2

1

ml

2&22 2势能ml

2ka2

mgl0

V

1

(ka2

mgl)

22M

ml

2eKe

ka

mgl2单自由度系统自由振动零平衡位置1mlak/2k/22006年5月4日《振动力学》39方法2：定义法等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量2006年5月4日《振动力学》40单自由度系统自由振动例：串联系统11k

P弹簧1变形：

22k

P弹簧2变形：

总变形：

1

2

(

1

1

)Pk1

k2k1k2

k1

k2K

P

e

1

1

1Ke

k1

k2在质量块上施加力

P根据定义：或Pmk1k2单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫2做006系年5统月在4日这个坐标上的等效刚度《振动力学》41例：并联系统在质量块上施加力

P两弹簧变形量相等：受力不等：P1

k1

P2

k2

由力平衡：

P

P1

P2

(k1

k2

)根据定义：

Ke

k

k

1 2P并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和Pmk1k2单自由度系统自由振动mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫2做006系年5统月在4日这个坐标上的等效刚度《振动力学》42例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体求：系统对于坐标

x

的等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x2006年5月4日《振动力学》43解法1：能量法动能： T

m

x

m

(x&)2l12222121

l21&势能：V

1

k

x2

1

k

(l3

x)22 2 l11 22221l

21ml

m

1l等效质量：M

e232l

21k

k

等效刚度：Ke0

Ke

/

Me单自由度系统自由振动222211m

)x

(m

21

ll&2232121k

)x(k 12ll 固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x2006年5月4日《振动力学》44解法2：定义法设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力PPl1

(m1

1)l1

(m2

l

)l21则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：l22

2

21l

21mlMe

P

m

设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：l3Pl1

(k1

1)l1

(k2

l

)l312

3

2l

2Ke

P

k1

kP单自由度系统自由振动2l12l m

x&

1m1

1k

111k

l32lPx

1k1k2m1m2l1l2l3xl2006年5月4日《振动力学》145教学内容2006年5月4日《振动力学》46• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼单自由度系统自由振动• 阻尼自由振动2006年5月4日《振动力学》47前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动粘性阻尼力与相对速度称正比，即：Pd

cvc：为粘性阻尼系数，或阻尼系数单位：

N

s

/

m建立平衡位置，并受力分析m&x&

cx&

kx

0&x&

2

x&

2

x

00 0动力学方程：或写为：

km

0

c

2 km固有频率相对阻尼系数mkcmkx cx&m&x&x02006年5月4日《振动力学》48动力学方程：&x&

2

x&

2

x

00 0令： x

et

km

0

c

2 km特征方程：2

2

2

00 0特征根：1,2

0

0

12006年5月4日《振动力学》492三种情况：

1

1临界阻尼

1欠阻尼过阻尼单自由度系统自由振动第一种情况：欠阻尼

1动力学方程：&x&

2

x&

2

x

00 02

2

2

00 01,2

0

0

1特征方程：特征根：2

0

id1,2特征根：22006年5月4日《振动力学》50d

0

1

阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率t

c sin

t)cosx(t)

e (c210tdd振动解：c1、c2：初始条件决定单自由度系统自由振动两个复数根

1x(t)

e欠阻尼(c1

cosd

t

c2

sin

d

t)0t振动解：设初始条件：0x(0)

x0x&(0)

x&则： x(t)

e0t

(x

cos

t

x&0

0

x0

sin

t)0 dddx(t)

e0t

Asin(

t

)d或：2x&0

0

x02A

x0

()wd0 02006年5月4日《振动力学》5100 d1

xx&x

tg单自由度系统自由振动

1欠阻尼dT0：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期20

1

21

振动解：

x(t)

e0t

(x cos

t

x&0

0

x0

sin

t)

e0t

Asin(

t

)2006年5月4日《振动力学》522d

0

1

阻尼固有频率阻尼自由振动周期：Td

2单自由度系统自由振动

2

T00 dd ddAe0t

Ae0tTdtx(t)AA0

1欠阻尼响应图形振动解：

x(t)

e0t

(x cos

t

x&0

0

x0

sin

t)

e0t

Asin(

t

)单自由度系统自由振动0 dd ddξ=0

ξ<1时间位置欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动2006年5月4日《振动力学》53

1欠阻尼响应图形振动解：

x(t)

e0t

(x cos

t

x&0

0

x0

sin

t)

e0t

Asin(

t

)单自由度系统自由振动0 dd ddξ<1

ξ=0Ae0t

Ae0t欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动2006年5月4日《振动力学》54Tdtx(t)AA0不同阻尼大小下的振动衰减情况不同阻尼，振动衰减的快慢不同阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢2006年5月4日《振动力学》55单自由度系统自由振动：阻尼小：阻尼大评价阻尼对振幅衰减快慢的影响Δi1Δi

e0Td

与

t

无关，任意两个相邻振幅之比均为

衰减振动的频率为

d，振幅衰减的快慢取决于0

，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部

0

id1,2减幅系数

单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅的比值：0

(ti

Td

)0tiAe

Ae x(t)

e0t

(x cos

t

x&0

0

x0

sin

t)

e0t

Asin(

t

)0 d d dAe0tωd2006年5月4日《振动力学》56

Ae0tdTtx(t)AA0

e0TdAe0

(ti

Td

)Ae0tii1

i

ΔΔA含有指数项，不便于工程应用2006年5月4日《振动力学》57单自由度系统自由振动x(t)减幅系数：实际中常采用对数衰减率

：0 di1

ln

Δi

ln

TΔAe0t

Ae0tTdtA020Δ06年5月4日实验求解

利用相隔

j

个周期的两个峰值

进行求解Δi

jΔiΔi

j

1

ln

Δij得：0

1

20

2

0 d

ln

Δi

ln

TΔ2

2

2

dT当

较小时（

0.2

）

2

2单自由度系统自由振动

(

Δi

)(

Δi1

)L(

Δi

j

1

)

jΔi

1

Δi2

Δi

j

e0TdΔi

2

1

2Ae0tω01−

ζd58i1《振动力学》i1

Ae0tTdtx(t)AA02006年5月4日第二种情况：过阻尼

1动力学方程：&x&

2

x&

2

x

00 02

2

2

00 01,2

0

0

1特征方程：特征根：2*

0

1,2特征根：*

2

10两个不等的负实根振动解：x(t)

e0t

(c

ch*t

c

sh*t)1 2c1、c2：初始条件决定单自由度系统自由振动2ex

e

xex

e

xshxchx

592《振动力学》

1过阻尼振动解：设初始条件：0x(0)

x0x&(0)

x&则：x(t)

e0t

(c

ch*t

c

sh*t)1 2sh*t)x(t)

e0t

(x

ch*t

x&0

0

x0*0x(t)一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生单自由度系统自由振动x0响应图形2006年5月4日《振动力学》60t0第三种情况：临界阻尼

1动力学方程：&x&

2

x&

2

x

00 02

2

2

00 01,2

0

0

12006年5月4日《振动力学》61特征方程：特征根：21,2

0特征根：二重根振动解：c1、c2：初始条件决定(c1

c2t)x(t)

e0t单自由度系统自由振动临界阻尼振动解：(c1

c2t)

1x(t)

e0tx(0)

x0x&(0)

x&0则：仍然是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些[x0

(x&0

0

x0

)t]x(t)

e0t

c

2 km临界阻尼系数crc

2

kmccr单自由度系统自由振动设初始条件：响应图形x(t)2006年5月4日《振动力学》62x0t0t2006年5月4日《振动力学》63x(t)

0.2

1.4

1欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些三种阻尼情况比较：

1过阻尼

1临界阻尼

1欠阻尼小结：m&x&

cx&

kx

0动力学方程

1

欠阻尼

1

过阻尼

1

临界阻尼x(t)

e0t

(x

cos

t

x&0

0

x0

sin

t)

0 ddd2d

0

1

x(t)

e0t

(x

ch*t

x&0

0

x0

sh*t)*按指数规律衰减的非周期蠕动 0*

2

10[x

(x&

x

)t]x(t)ccr2006年5月4日《振动力学》640 0 0 0

e0t

2

km按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快振幅衰减振动例：阻尼缓冲器静载荷

P

去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的

10％求：缓冲器的相对阻尼系数

单自由度系统自由振动kcx0x0Pm平衡位置2006年5月4日《振动力学》65解：由题知 x&(0)

0设

x(0)

x0x(t)

e0t

(x

cos

t

x&0

0

x0

sin

t)0 ddd

x求导

：

x&(t)

0 0

e0t

sin

tdd2设在时刻t1

质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：e sin

d

t1

0x&(t)

0

x020t1ddt1

即经过半个周期后出现第一个振幅

x1

2单自由度系统自由振动kcx0x0P

m平衡位置e−ζω0t11−ζx

x(t

)

−x

−x

e2006年5月4日《振动力学》110066由题知

10%

1

2 1

x0

ex解得：

0.5922006年5月4日《振动力学》670t11

x0

ex1

x(t1

)

x0e单自由度系统自由振动

单自由度系统自由振动例：小球质量

m刚杆质量不计bl求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率akcm2006年5月4日《振动力学》68解：广义坐标

力矩平衡：单自由度系统自由振动阻尼固有频率：无阻尼固有频率：0

mm&l

l

c&a

a

kb

b

0ml

2&

ca2&

kb2

0kb2

b kml

2

l m0ml

2

2ml

2ca2

ca2

2

0ca2

m2mlb k2d

0 1

k

b4kmb2l

2

c2a4

1

2ml

2受力分析c&

am&llakcmb

2bla2m&x&

cx&

kx

0ξ

1cmk2006年5月4日《振动力学》cr269&x&

2ζω

x&

ω

x

000教学内容2006年5月4日《振动力学》70• 无阻尼自由振动• 能量法• 瑞利法• 等效质量和等效刚度• 阻尼自由振动• 等效粘性阻尼单自由度系统自由振动• 等效粘性阻尼2006年5月4日《振动力学》71•阻尼在所有振动系统中是客观存在的•大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同•非粘性阻尼的数学描述比较复杂处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼原则：等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻

尼在同一周期内消耗的能量单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的粘性阻尼在一个周期内消耗的能量ΔE

可近似地利用无阻尼振动规律计算出：ΔE

cx&dx

0x(t)

Asin(ω

t

θ

)2006年5月4日《振动力学》720T Tcxdt

c

A&

t

)dt0022 20cos (2 20

c

A目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数讨论以下几种非粘性阻尼情况：干摩擦阻尼 平方阻尼结构阻尼单自由度系统自由振动（1）干摩擦阻尼2 20ΔE

c

A库仑阻尼Fd

FN

sgn

x&摩擦力：

：摩擦系数FN：正压力sgn

x&

：符号函数⎪

1,⎩sgn

x&

⎪0,⎨⎧1,x&

0x&

0x&

0摩擦力一个周期内所消耗地能量：ΔE

4FN

A等效粘性阻尼系数：

A2006年5月4日《振动力学》73

4FNce074单自由度系统自由振动（2）平方阻尼工程背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反2 20ΔE

c

AFd

c

x

sgn

xd& &2cd

：阻力系数等效粘性阻尼系数：摩擦力：在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：ΔE

cx sgn

xdxd& &2T

/

4

2T

/

43dc x

dt&

8

c

2

A2d 03ce

3

cd

0

Ax(t)

Asin(0t

)2006年5月4日《振动力学》8单自由度系统自由振动等效粘性阻尼系数：

ec（3）结构阻尼由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼应力πω02006年5月4日《振动力学》752 20ΔE

c

A特征：应力－应变曲线存在滞回曲线加载和卸载沿不同曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：ΔE

A2

：比例系数应变加载卸载0单自由度系统自由振动2006年5月4日《振动力学》76单自由度系统自由振动2006年5月4日《振动力学》77单自由度系统受迫振动教学内容2006年5月4日<<振动力学>>2单自由度系统受迫振动•

线性系统的受迫振动•

工程中的受迫振动问题•

任意周期激励的响应•

非周期激励的响应•

线性系统的受迫振动2006年5月4日<<振动力学>>3•

简谐力激励的强迫振动•

稳态响应的特性•

受迫振动的过渡阶段•

简谐惯性力激励的受迫振动•

机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2x00为6年5复月4数日

变量，分别与

F0

cost

和

F0

sin

t

相对应•

线性系统的受迫振动•简谐力激励的强迫振动F

(t)

F

eit0外力幅值外力的激励频率F0弹簧－质量系统设itmx

cx

kx

F

e0&&

&振动微分方程：实部和虚部分别与

F0

cost

和受力分析F0

sin

t

相对应mkx cx&m&x&F

(t)单自由度系统受迫振动

/简谐力激励的强迫振动kcx0mF

(t)4<<振动力学>>itkx

F

emx

cx0&&

&振动微分方程：显含时间

t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应

本节内容单自由度系统受迫振动

/简谐力激励的强迫振动2006年5月4日<<振动力学>>5itkx

F

em&x&

cx&0振动微分方程：设：

x

xeitx

H

()F0代入，有：H

(

)

1

k

m

2

ic复频响应函数2 itx

2

x

x

B

e01

1

s2

2si200&振动微分方程：

&&

km

0

c2 kmk静变形

B

F0相位差振幅放大因子2006年5月4日6<<振动力学>>引入：0s

] k (1

s2

)2

(2s)2则：

H

()

[

(s)

1

(1

s

2

)2

(2s)21

s2

(s)

tg

1

2s

ie1kx

：稳