正方形中的垂直线段专习题(教师版)【上体馆中心】

PAGE7（1）如图，在正方形ABCD中，

BE=CF，则线段AE与线段

BF的关系是什么？答：AE=BF,AE⊥BF（2）如图，在正方形ABCD中，

AE⊥BF，则AE=BF吗？答：AE=BF【方法：证明三角形ABE全等与三角形BCF】

探究活动1在正方形ABCD内有一点P，过点P作直线EF⊥GH，

点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，（如图所示）那么EF与GH相等吗

答：相等，即GH=EF，如下图构造全等！当然，若已知GH=EF，则EF⊥GH不一定成立！！举个反例试试！如下：运用1如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，折痕为MN，点N在CD边上，请同学们画出折痕，则折痕MN的长是______；线段CN的长是____.点评：1、如图所示的标图信息，解决本例的关键是作出对称轴，构造互相垂直的结构。2、画出折痕是翻折问题中的重要一步，学生务必强化这方面的画图能力：联結对称点的线段被对称轴垂直且平分。3、运用勾股定理列方程是常用解法，用相似三角形或三角比列比例式求解也是可行方法。运用2如图，将边长为24cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC边上的E点，压平得折痕为FG，若FG的长为25cm，则线段CE的长是_______.探究活动2如图，现有一张边长为4的正方形纸ABCD，点P为正方形AD边上的一个动点，（不与A、D重合），将正方形纸片折叠，使得点B落在P处，点C落在G处，PG交DC边于点H，折痕为EF，连接BP.问：图中始终相等的线段有哪些问：当点P在AD边的中点时，梯形EBCF的面积是多少

注：MC和NF是两种不同的添线方法。点评：本例在梯形面积求解时，借助正方形内垂直结构寻找辅助线的思路，“垂直结构”将是一个很好的线索作用。追问：当点P在AD边上运动时，设AP=x，设梯形EBCF的面积为y，求y与x的函数解析式？

探究活动3如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，EG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于

点G.由几个不同的位置，分别观察BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你的结论。

方法图解建立在垂直结构中的不同辅助线方向：本帖主题，获得正方形内部两条互相垂直的线段感性认识，激发学生思维直奔主题。本帖所提问题，源于教材，利用练习册正方形这一节的一道练习题，作为引例，引出主题：正方形内部两条互相垂直的线段。而正方形内部互相垂直的线段不止引例中的这一种情况，但这是比较简单和运用较为广泛的一种，故以此作为探究的开始，主要基于以下考虑：①由浅入深，保持探究问题研究的连贯性，使学生更能接受问题探究由浅入深的道理。②为探究活动3做好必要的衔接过渡.研究正方形，其实是做一项“承上启下”的工作，“承上”：指的是回归以前，是研究全等三角形、等腰三角形等知识；“启下”：指的是放眼未来，是图形运动、相似三角形、甚至是压轴题的图形背景。探究活动1让学生获得一般性的结论，同时感受证明的迁移，并感受引例与探究活动1在本质上的区别与联系。体会从特殊到一般的研究过程。在探究活动1之后的两道运用，是对结论的直接运用。力图做到以下4点：①能准确找出对称轴，这在中考的填空压轴题以及压轴题中作用重大.②能合理运用探究结论解决问题.③能运用图形运动思想找出运动不变性的几何结构，并会合理构造“直角三角形”，创建勾股定理.④体会例题的层次性：从画图操作直接运用识别图形间接运用观察图形，引出再探究内容.探究活动2实际是练习题，是探究活动1的应用，之所以独立为探究活动2，是因为它的思维量比较大，而且从特殊到一般的探究过程较为独立，能展现探究活动的一般性的研究方法。同时感受模仿学习的重要价值。探究活动3是本帖主题的升华过程，是对探究结论的拓展，同时是各种辅助线方案的综合汇总，合理讨论提升思维顿悟，回归本课主题，从难度和学习质量、思维