人教版九年级数学上册 圆的有关性质 同步练习

24.1圆的有关性质同步练习一、选择题（每小题4分，共40分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=8，OC=3，则EC的长为(

)A.215

B.8

C.210

如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是(

)A.30°

B.70°

C.75°

D.60°如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=110°，则∠BOD的度数为(

)35°

B.70°

C.110°

D.140°如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D=55°，则∠BOC的度数是(

)A.35°

B.55°

C.60°

D.70°如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为(

)

A.84° B.60° C.36° D.24°如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是(

)

A.65° B.60° C.55° D.50°如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(

)

A.12.5寸 B.13寸 C.25寸 D.26寸如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且AC=AF，点E是AG的中点．

下列结论正确的个数是(

)

①AB=CD；②∠C=22.5°；③△BFG是等腰三角形；

④BG=2AEA.1个

B.2个

C.3个

D.4个如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，PB=2，则⊙O直径(

)

10

B.8

C.5

D.3如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10cm，若以点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于(

)

A.5cm B.6cm C.52cm 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=

．

如图，点A，B，C，D在⊙O上，C是BD的中点，若∠ODC=50°，则∠BAC的度数为

°.

如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=

度．

如图，在⊙O中，CD⊥AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=

．

已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上，AB=23.若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为

．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAC=40°，则∠ADC=

°.

三、解答题（每小题8分，共56分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4 m，EM=6 m.求⊙O的半径．

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，AD=DC．

(1)求边CD的长；

(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．

①尺规作图：作△ABE；(保留作图痕迹，不写作法．)

②连接DE，求线段DE的长．

正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．

(1)如图，当0°<α<45°时，

①依题意补全图；

②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：______；

(2)当45°<α<90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；

(3)当0°<α<90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG=AG，连接AC．

(1)求证：AC//DF；

(2)若AB=12，求AC和GD的长．

如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE=BF.连接AC，BD.求证：AC=BD．

如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．

求证：(1)AD=BC；

(2)AE=CE．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点(点C不与A，B重合)，连接CA，CB.∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．

(1)求∠ACD的度数；

(2)探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；

(3)E为⊙O外一点，满足ED=BD，AB=5，AE=3，若点P为AE中点，求PO的长．

参考答案1.D

2.D

3.D

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.A

10.D

11.70°

12.40

13.60

14.4315.15°或30°或105°

16.50

17.解：如图所示，设⊙O的半径为R

m，连接OC，OD．∵点M为CD的中点，CD=4 m，

∴CM=12CD=2m，OM⊥CD.

在Rt△OMC中，OC2=CM2+MO2

18.解：(1)如图，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴AC是直径，∠ADC=90°，

∵AB=6，BC=8，

∴AC=62+82=10，

∵AD=CD，

∴AD=CD=22AC=52；

(2)①如图，△ABE即为所作．

②过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥BA交BA的延长线于点N．

∵AD=CD，

∴∠DBM=∠DBN，

在△DBM和△DBN中，

∠DMB=∠DNB=90°∠DBM=∠DBNDB=DB，

∴△DBM≌△DBN(AAS)，

∴DM=DN，BM=BN，∠BDM=∠BDN，

在Rt△DCM和Rt△DAN中，

DM=DNDC=DA，

∴Rt△DCM≌Rt△DAN(HL)，

∴CM=AN，∠ADN=∠CDM，

∴BM+BN=BC−CM+AB+AN=14，

∴BM=BN=7，

又∵∠ABC=90°，

∴∠ADC=90°=∠ADM+∠CDM=∠ADM+∠ADN=∠NDM，

又∵∠NDM=∠BDM+∠BDN，

∵∠DBM=∠DBN=45°，19.解：(1)①补全的图形，如图所示：

②∠NCE=2∠BAM；

(2)12∠NCE+∠BAM=90°．

理由：如图，连接CM，

由AD=CD，∠ADM=∠CDM，DM=DM，可得△ADM≌△CDM，

∴∠DAM=∠DCM，

∵∠ADQ=∠CEQ=90°，∠AQD=∠CQE，

∴∠DAQ=∠ECQ，

∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ，

∴∠DCM=12∠NCE，

∵∠BAM=∠BCM，∠BCM+∠DCM=90°，

∴12∠NCE+∠BAM=90°；

(3)如图，∵∠CEA=90°，

∴点E在以AC为直径的圆上，O为圆心，

由题可得，OF=12CD=1，OE=OC=12AC=2，

20.(1)证明：∵AG=CG，

∴∠DCA=∠CAF，

∵CF=CF，

∴∠CAF=∠CDF，

∴∠ACD=∠CDF，

∴AC//DF；

(2)解：如图，连接CO，

∵AB⊥CD，

∴AC=AD，CE=DE，

∵∠DCA=∠CAF，

∴AD=CF，

∴AC=AD=CF，

∴∠AOD=∠AOC=∠COF，

∵DF是直径，

∴∠AOD=∠AOC=∠COF=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC=AO=6，∠CAO=60°，

∵CE⊥AO，

∴AE=EO=3，∠ACD=30°，

∴CE=33=DE，

21.证明：连结OC、OD，如图，

∵OA=OB，AE=BF，

∴OE=OF，

∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴∠OEC=∠OFD=90°，

在Rt△OEC和Rt△OFD中，

OE=OFOC=OD，

∴Rt△OEC≌Rt△OFD(HL)，

∴∠COE=∠DOF，

∴AC=BD，

22.证明(1)∵AB=CD，

∴AB=CD，即BC+AC=AD+AC，

∴AD=BC；

(2)∵AD=BC，

∴AD=CB，23.解：(1)∵AB是直径，点C在圆上，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，

∴∠ACD=45°；

(2)BC+AC=2CD，

连接CO并延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F．

∴∠CDG=∠CBG=90°，

∵∠ACB=90°，

∴AC//BG，

∴∠CGB=∠ACG，

∴∠CGB=45°+∠DCG，

∵∠CGF=90°+∠DCG，

∴∠BGF=45°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BG=BF，

∵△ACO≌△BGO(SAS)，

∴AC=BG=BF，

∵△CDF是等腰三角三角形，

∴CF=2CD，

∴BC+AC=2CD；

(3)过点A作AM