任意角说课稿教案

任意角和弧度制•三维目标.知识与技能1）理解任意角（正角、负角、零角）的概念、象限角与区间角的概念.2）掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角..过程与方法借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念， 引导学生用数形结合的思想方法来认识问题..情感、态度与价值观（1）通过对角的概念的探究提高学生的推理能力. （2）通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值.・重点、难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写.难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.・教学建议首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等 ）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，然后用具体例子，将初中学过的角和概念推广到任意角， 在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在自己已有经验 （生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.「1.了解任意角的概念.课标解读2.理解终边相同角的含义及其表示. （重点）知识1任意角【问题导思】将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？【提示】 有顺时针和逆时针两种旋转方向..定义角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形..分类正角、负角与零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按邂！肘针方向旋转形成的角；零角：一条射线没有作任何旋转形成的角.知识2象限角【问题导思】把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与 x轴的非负半轴重合，旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置？【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内.在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角;轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识3终边相同的角【问题导思】30°,390°,750°,…，30°+k360°(kCZ)的角的终边有什么关系?【提示】相同.所有与角“终边相同的角，连同角 a在内，可构成一个集合S={曰3=a+k360°,k€Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角 a与整数个周角的和.荏序互动探究 M 唐好色1角的基本概念例1下列命题①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的序号为.【思路探究】 解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断.【自主解答】 ①一330。角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确.②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°,所以②不正确.③480。角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确.④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.【答案】 ①②③④I规律方法I.解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,严格辨析它们之间的联系与区别..判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可.卜奕宜训练下列说法正确的是( )A.锐角是第一象限角B.钝角比第三象限角小C.三角形的内角必为第一、二象限角D.小于90°的角都是锐角【解析】 一1000是第三象限角，但一100°<90°,故B错；90°角是直角三角形的内角,但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；—30。小于90。，不是锐角，故D错.【答案】A类型2 终边相同的角例2已知角“=2010°⑴把“改写成k360°+@kCZ,0y3<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求仇使。与a终边相同，且一360v族720：【思路探究】 先求出3,判断角”所在的象限，用终边相同的角表示 。满足的不等关系，求出k和0.【自主解答】 (1)由20100除以3600,得商为5,余数为210°..・.取k=5,3=210°,a=5X360+210°.又3=210°是第三象限角，・•.a为第三象限角.(2)与2010终边相同的角：k360+2010(kCZ).令—360yk360°+2010<720°(kCZ),解得—6：72<k<—3：72(keZ).所以k=-6,—5,—4.将k的值代入k360°+2010°中，得角。的值为—150°,210°,570°.II规律方法I.把任意角化为 k360°(kCZ且0°wa<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(a的绝对值较小)也可用除法..要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出 k的值.>巨司）指科若将例题中“角片2010。”，改为““=—315。”，其他条件不变，结果如何？【解】 ⑴用一3150除以3600商为一1,余数为45°,.•.k=-1,3=45°,因此“=-360+45°,・♦・”是第一象限角.（2）与一315°终边相同的角:k360-315°（k€Z）,令—360°<k360o-315<720o（kCZ）,解得—.k<.（kCZ）,所以k=0,1,2.将k值代入k360°—315°中，得所求角为一315°,45°和405°.类型3 象限角与区域角的表示例3如图1—1—1,终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（ ）图1—1—1{小360°+30°<a<k360°+45°,kCZ}{处180+150<«<k180+225°,kCZ}{dk360+150<«<k360+225°,kCZ}{a|k360°+30<a<k180+45°,kCZ}【思路探究】 找出0。〜360。内阴+k360°影部分的角的集合 ——>适合题意的角的集合kCZ【自主解答】 在0。〜360。内落在阴影部分角的范围为大于 150。而小于225。，所以在终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{水360°+150°<a<k360°+225°,kCZ}.【答案】 CII规律方法I.先在—360°〜360°范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上 360°的整数倍即得..区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360。区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合.注意结果尽量表示为一个连续区间.>变五jllLffi写出下图1—1—2中阴影部分（不含边界）表示的角的集合.** z45©r /图1—1—2【解】在—180。〜180。内落在阴影部分角集合为大于— 45。小于45。，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角集合为｛”|—450+k-3600<a<45°+k-360°,kCZ｝.易钳易误评析贸咯阱择疑辩溪脏”肖济”告普印忽视象限角范围致误b典例若a是第二象限角，试确定2a、料第几象限角.【错解】 由题意得90°<“<180°,所以有180°<2o<360°,45<2<90°.故有2a为第三象限角、第四象限角或终边在 y轴非正半轴上角，2为第一象限角.【错因分析】 致错原因是把a是第二象限角范围误认为是大于 90。而小于180。，而应是｛o|90°+k360°<a<180°+k360°,kCZ｝才完整.【防范措施】 正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键.【正解】 （1）由题意得90+k360<a<180°+k360（k€Z）, ①•.180°+2k360°<2a<360°+2k360°（k£Z）.故2”是第三或第四象限角或终边落在 y轴非正半轴上的角.(2)由①得45+k180<2<90+k180(kCZ),当k为偶数时，令k=2n(nCZ),得a45+n360<2<90+n360(nCZ),故％第一象限角.2当k为奇数时，令k=2n+1(nCZ)得a45+180°+n360°<2<90°+180°+n360(n€Z),即225°+n360°<2<270°+n360(n€Z),故为第三象限角.综上可知2为第一或第三象限角.课堂小结.理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向..象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的 k进行分类讨论，以确定角的终生|TOC\o"1-5"\h\z.熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据 .与专双基达标 独杂蝶生生王都达“荔桥”言普?.将射线OM绕端点。按逆时针方向旋转120。所得的角为( )A.120° B,-120°.60° D.240°【解析】 由于射线OM绕O逆时针旋转，故所得角为正角 120°.【答案】A.(2013开封高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A.510° B.150°C.-150° D.-390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S={曰片330°+k360°,kCZ},当k=—2时，3=330°—720°=—390°,故选D.【答案】D.将—885°化为a+k360(0°<a<360°,kCZ)的形式是.【解析】 —885°=—1080°+195°=(-3)X360°+195°.【答案】 195+(-3)X360°.如果。为小于360°的正角，。的4倍角的终边与。的终边重合，求。的值.【解】依题意40=k360°+0,且0<0<360°,0=k120°.取卜=1或卜=2,•••取120°或0=240°.一、选择题.已知A=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C关系是（ ）A.B=AAC B.BUC=CC.ACD.A=B=C【解析】 锐角大于0°小于90°,故CB,选项B正确.【答案】B2.把—1485转化为叶k360（0°<“V360°,kCZ）的形式是（ ）A,45-4X360°B,-45-4X360°C.—45—5X360°D.315-5X360°【解析】 B、C选项中“不在0°〜360°范围内，A选项的结果不是—14850,只有D正确.【答案】D.若a是第二象限角，则180°-“是（ ）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】 可借助于取特殊值法，取a=120°,则180°—120°=60°.【答案】A.若a与3的终边互为反向延长线，则有（ ）a=3+180°a=3-180°a=一3a=时（2k+1）180°,kCZ【解析】 a与3的终边互为反向延长线，则两角的终边相差 180。的奇数倍，可得a=计（2k+1）180°,kCZ.【答案】D.以下命题正确的是（ ）A.第二象限角比第一象限角大B.A=｛a|a=k180°,kCZ｝,B=｛冈3=k90°,k€Z｝,则ABC.若k360<0<k360°+180°(k€Z),则“为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为k360°(k€Z)【解析】A不正确，如—210°<30°.在B中，当k=2n,kCZ时，3=n180°,nCZ.••・AB,B正确.又C中，a为第一或第二象限角， 或在y轴的非负半轴上，C不正确，显然D不正确.【答案】B二、填空题.(2013哈尔滨高一检测)与一2002终边相同的最小正角是.【解析】 与—2002°终边相同的角的集合为{冈3=-2002°+k360°,k€Z}，与—2002终边相同的最小正角是当 k=6时，3=-2002+6X360°=158°.【答案】 158°.若将时钟拨慢5分钟，则分针转了度，时针转了度.【解析】 拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为 噜=6°,5分钟转60, 30° 过30°,时针每分钟转过的度数为 30=0.5°,5分钟转过2.5:【答案】 302.5.(2013哈尔滨高一检测)在四个角一20°,—400°,-2000°,600°中，第四象限的角的个数是.【解析】一20。是第四象限的角；一400。=—360。―40。，也是第四象限的角；一2000。=(-6)X360+160°