函数单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数高二数学选修1-1

第三章导数及其应用（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/

0,(c为常数)；

（2）.幂函数：(xn)/

nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间观察:

下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;

如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果恒有，则是常数。动态演示单调性导数的正负函数及图象xyoxyo切线斜率的正负xyo函数单调性与导数的关系？k>0k>0k<0k<0++--递增递减函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。如果恒有，则是常数。例1已知导函数的下列信息:当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:

当1<x<4时,可知在此区间内单调递增;

当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;

当x=4,或x=1时,

综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象ABxyo23已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象解：的大致形状如右图：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考试尝设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状Oabcxy例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.题型：求函数的单调性、单调区间例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以

当,即时,函数单调递增;

当,即时,函数单调递减.总结:

当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳①求定义域②求③令④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归注：单调区间不以“并集”出现。

3。证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论总结：求函数的单调区间。例1变1：求函数的单调区间。理解训练：解：的单调递增区间为单调递减区间为解：的单调递增区间为单调递减区间为变3：求函数的单调区间。变2：求函数的单调区间。巩固提高：解:解:练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);

反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。练习3.讨论二次函数的单调区间.解:

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是练习4.求证:函数在内是减函数.解:

由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)>0(f’(x)<0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。题型：根据函数的单调性求参数的取值范围∵函数在（0，1]上单调递增注：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数