扭转与弯曲的几个补充问题

第十二章扭转与弯曲的几个补充问题内容提要1.矩形截面直杆的扭转a.变形特点观测表明，矩形截面杆扭转时，其横截面不再保持为平面而发生翘曲（图12.1）,因此圆周扭转时的平面假设在此不再成立，圆轴扭转时的应力、变形公式也不再适用。（e.）图12.1最大切应力发生于横截面长边的中点处，其值为1图12.2（12.1）最大切应力发生于横截面长边的中点处，其值为1图12.2（12.1）T=VT杆件上相距为/的两截面相对扭转角为max(12.2)b.扭转切应力由切应力互等定理可知，截面周边各点处的切应力一定沿着周边切线方向，而在截面的角点处，切应力为零。横截面上切应力分布如图12.2所示。c.应力和变形的计算TT= maxahb2W=ahb2tW称为矩形截面的扭转截面系数。横截面短边上最大切应力为t(12.3)Tl(12.3)9= G0hb3和矩形截面的长边与1t称为矩形截面的扭转惯性矩。以上各式中的系数a、v、短边的比值h/b有关，其数值已列入教材表12.1中。和矩形截面的长边与.h, 一、、，当h>10时，截面成狭长矩形。这时a=0b1 一.13。如以S狭长矩形的短边长度,则w1,W=—hS2 ,t3I二—hS3

t3(12.4)2.薄壁杆件的自由扭转a.a.开口薄壁杆件的自由扭转由图12.4所示，开口薄壁截面可以看成若干狭长的矩形所组成的组合截面，则截面扭转惯性矩为I=Zi=1ZhI=Zi=1Zh53t ti3iii=1 i=1组合截面的最大切应力将发生在壁最厚的矩形的长边上，其值为T5TmaxmaxIt对于各种型钢，由于圆角及壁厚不均匀的影响，It还要给予修正，其修正公式为I=n1Zh53t3iii=1b.闭合薄壁杆件的自由扭转其横截面上任意一点处切应力的计算公式为T(12.7)由于壁厚b沿中线是变化的，则(12.7)由于壁厚b沿中线是变化的，则2Ab式中A0为薄壁中线所围成的面积，5为该点处的壁厚。最大切应力应发生在壁厚最薄处，即Tmax2A,max闭合薄壁杆件上相距为/的两截面相对扭转角为Tl「Tmax2A,max闭合薄壁杆件上相距为/的两截面相对扭转角为Tl「ds①= j4GA2s50若杆件的壁厚5不变，上式化为TlS

①= 4GA2503.非对称弯曲非对称弯曲主要讨论梁无纵向对称面，或虽然有纵向对称面，但载荷并不在纵向对称面内的情况。如图所示，以梁的轴线为X轴，横截面上通过形心的任意两根相互垂直的轴为y和z轴。设纯弯曲力偶矩在xy平面内，并将其记为M么。对当前讨论的纯弯曲问题，仍采用§3.8中提出的两各假设，即⑴平面假设；⑵纵向纤维间无正应力。从而可推得在孙平面内作用纯弯曲力偶矩M时，横截面上任一点的正应z力为同理可得在xz平面内作用纯弯曲力偶矩M时，横截面上任一点的正应力为y对于一般性问题，即在包含杆件轴线得任意纵向平面内，作用一对纯弯曲力偶M。这时可把作用于杆件两端的弯曲力偶M分解成分别在xy和xz平面内的力偶矩M和My,然后将两者作用的结果叠加，即。二M（1y-…）+M（Izz<y） （12.14）RY另式（12.13）左端为零，不难得到中性轴与y轴的夹角0为tan0=- ”7 （12.15）MI-MI讨论两种特殊情况：⑴若只在盯平面内作用纯弯曲力偶矩M,且xy平面为形心主惯性平面，即y、z轴为截面的形心主惯性轴，则因My=0，1yz=0，公式（12.13）化为。=Mzy （12.16）Iz冗而且，由式（12.15）可得出0=一，故中性轴与z轴重合，弯曲为平面弯曲。2⑵若M^和My同时存在，且它们的作用平面xy和xz皆为形心主惯性平面，即y、z轴为截面的形心主惯性轴，则因1yz=0，公式（12.14）化为MyMz。=z—+——（12.17）1z \MItan0=—-（12.18）MI

4.开口薄壁杆件的弯曲切应力弯曲中心若横向力作用平面不是纵向对称面，即使是形心主惯性平面，如图12.10a所示，杆件除弯曲变形外，还将发生扭转变形。只有当横向力通过截面的某一特定点A时，杆件才只有弯曲变形而无扭转变形（图12.10b）。横截面内这一特定点A被称为弯曲中心或剪切中心，简称为弯心。图12.10当外力通过弯曲中心且平行于截面的形心主惯性轴y时，可得弯曲切应力的计算公式为It为了确定仆的作用线的位置，可选定截面内任意点B作为力矩中心（图12.11b），由合力矩定理可得Fa=）八dA （12.19）SyNA式中a是Fy对B点的力臂；r是微内力TdA对B点的力臂。从上式中解出aj就确定了F”作用线的位置。图12.11

当外力通过弯曲中心且平行于截面的形心主惯性轴Z时，可得弯曲切应力的计算公式为同样可得到确定q的作用线的位置的公式为Fa=）汽dASzyFa=）汽dASzya因为FSy和FSz都通过弯曲中心，两者的交点就是弯曲中心。5.用有限差分法计算弯曲变形有限差分法是一种数值方法，它把求解微分方程的问题转变为求解代数方程组，非常适合利用计算机求解。如图12.12所示，将挠曲线表示为x的连续函数w=f（x）。取横坐标分别(12.20)均为hxijxi,xi+1，xi+2…的诸点，各点间距这些点的纵坐标分别记为wi2，wi1,,wi+2-，则挠曲线的有限差分方程(12.21)式中Mi和EI'分别指梁在x=xi处的弯矩和弯曲刚度。若在挠曲线上选定一系列点，然后对每一点都按公式（12.21）写出一个有限差分方程，这样就得到一组代数方程，其未知量就是所选各点的挠度。解这一组代数方程，即可求出所选各点的挠度。6.组合梁与夹层梁组合梁或夹层梁是指由两种不同材料制成的组合梁。当组合梁的各组成材料之间牢固连接而无相对错动时，可将组合梁看作一个整体梁。设图示组合梁的材料1和材料2的弹性模量分别为々和E2，相应的横截面面积分别为A1和内，若在梁的纵向对称面内作用着一对力偶矩使梁发生纯弯曲。由于平面假设和纵向纤维间无正应力假设仍然成立，则截面1和截面2上的弯曲正应力分别为一叫，…M2y （12.24）EI+EI 2EI+EI22 11 22解此类问题的另一种方法为变换截面法，即将两种材料构成的截面，变换单一材料的等效截面，然后按单一材料梁的方法进行分析。首先，令n=幺，I=I+nI （12.25）E z1 21式中n称为模量比。则截面1和截面2上的弯曲正应力分别为My jyy 门一公o= ，o=n^^~ （12.27）I 2Iz z夹层梁一般由薄面板与厚芯材所组成，它也是组合梁，其计算可按公式（12.25）进行。但对于面板材料强度和弹性模量大大高于芯板的强度和弹性模量时，，工程中常采用如下简化公式进行计算，即假设弯矩完全由面板承受，最大正应力应发生在面板横截面上，计算公式为（12.28）o-Mh0（12.28）max 21在式中Ifz表示面板横截面对z轴的惯性矩。假设剪力完全由芯板承受，并认为弯曲切应力沿芯材截面均匀分布，则得芯材的为弯曲切应力为t-FS （12.29）bh以上简化理论在工程中得到广泛应用。二、基本要求.了解非圆截面杆扭转、非对称弯曲及开口薄壁杆件的弯曲中心概念.掌握矩形截面、薄壁杆件的扭转切应力计算，掌握非对称弯曲正应力计算。.初步掌握用有限差分法求弯曲变形。三、典型例题分析例题12.1（习题12.5）某火箭炮平衡机的扭杆是用六片截面尺寸为75mmx12mm的钢板叠在一起而组成的，受扭部分的长度为l-1084mm。已知材料的许用切应力[o]-900MPa,G-80GPa,扭杆的最大扭转角为60，校核扭杆的强度。题12.5图题12.5图解：扭杆的每一片都可以看作是独立的杆件，其所承受的扭矩为M/6。e由截面尺寸求得:-解：扭杆的每一片都可以看作是独立的杆件，其所承受的扭矩为M/6。e由截面尺寸求得:-=75=6.25b12由表12.1可查得a=0.3,p=0.3，则可得w=abh2=0.3X75X122=3240mm3=3.24x10-6m3tI=Phb3=0.3x75x123=38880mm4=3.888x10-8m4由公式（12.3）T180①二 x GIt 兀二600T为扭杆每片上所承受得扭矩，由上式可得60x。180GI

x-T为扭杆每片上所承受得扭矩，由上式可得60x。180GI

x-tl60x。18080x109x3.888x10-81084x10-3=3004.8”由公式（12.1）可求出扭杆每一片上的最大切应力为T3004.8工— - maxW3.24x10-6

t超过许用切应力3%，工程中仍可使用。例题12.2（习题12.8）图示为矩形和正方形截面薄壁杆，若截面中心线长度、壁厚、杆长、材料以及作用在杆端的扭转力偶均相同，试求两杆切应力之比及单位长度扭转角之比。解：由已知条件，S矩-S方则有6b-4a或———-927.4MPa题12.8图b2

-927.4MPa题12.8图由式（12.7）和式（12.10）可知，矩形截面和方形截面上的切应力之比为TTOC\o"1-5"\h\z2Ab A a2 1 ,3、 9-——方— —-X(—)2——T A 2b2 2 2 82A-5 矩方由式（12.10）可知，矩形截面和方形截面上的单位长度扭转角之比为TS4GA4GA2bTS矩 方一4GA2b方A、2_/“2 _1a_1,3、_81中方〃—方()2X(—)4——X(一)4 中方〃A2 2b2 4b42 64矩例题12.3（习题12.13）图示变截面简支梁在均布载荷的作用下，将梁分成四个相等间隔，用有限差分法求跨度中点的挠度。题12.13题12.13图解：将梁分成四个相等的间隔（图b），由于对称，w1=w3。, … 3 …，一、，、一一 ，、，点1处叱二五ql2，其有限差分方程（12.21）成为132EI因为梁端处「=0，上述方程简化为(a)3ql4(a)512EI, … 1点1处M=1ql2，其有限差分方程（12.21）成为1 8攻-攻-2w+w=116EI)因为w1=w「则方程简化为式(a)和式(b)相加可得例题12.4(习题12.14)ql42w-2式(a)和式(b)相加可得例题12.4(习题12.14)ql42w-2w=256ei5ql4w= 2 512EI(b)图示锥形悬臂梁，截面为矩形，宽度b=常数，高度hA=2勺，弹性模量为E。将梁分成三个相等的间隔，用有限差分法求自由端B的挠度。题12.14图解：将梁分成三个相等的间隔，0点、1点和2点处的弯矩分别为…一 2r 1M=—Fl，M=--Fl，M=--Fl

0 i3 2 3对应梁上0点、1点、2点和3点处横截面的高度为,〜 ，5, ,4, ,,h=2h，h=—h，h=—h，h=h0B1 3B2 3B3B上述各点对应的截面惯性矩为rbh3b(2h)3 277I=-0-= b—=bh30 12 12 3bTbh3I二一1-1 12bh3——B-12125324bh3Bbh3I二——2-2 12bh3(4)3—B1264324bh3BI=丝=—bh33 12 12b现有已知条件仅可列出两个差分方程，但方程中却有三个未知挠度，因此需要补充一个方程。为此从梁的固定端向梁的相反方向延伸一个“虚拟”点-1的挠度。由对称性可知：W]=%。因此，0点、1点和2点处的有限差分方程为-1 现有已知条件仅可列出两个差分方程，但方程中却有三个未知挠度，因此需要补充一个方程。为此从梁的固定端向梁的相反方向延伸一个“虚拟”点-1的挠度。由对称性可知：W]=%。因此，0点、1点和2点处的有限差分方程为-1 0 1- (l丫w1-2w2+w3T3\311Fl36Ebh3B2Fl3241 24Fl3-—— ----TT---3E125bh31 125Ebh3BB(a)(b)1Fl3241 3Fl3- 3E64bh3J16Ebh3BB(c)联立（a）、（b）、©三式，并注意到w0-0，可得1Fl3w 1 12Ebh3B269Fl3w—— ，2 750Ebh31643Fl3w- 3 2000Ebh3BE200E-10-20题12.16图梁自由端B的挠度w即为B1643Fl3w-w B3 20