矩形波导谐振腔的谐振频率课件

第七章导行电磁波第七章导行电磁波1

上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无限大空间的传播规律。本章：将要讨论电磁波在有界空间传播的问题。

导波系统：将电磁波约束在有界空间内从一处传播到另一处的装置

导行电磁波：被引导的电磁波上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无2

常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线是由两根相互平行的金属导线构成；同轴线是由两根同轴的圆柱导体构成，两导体之间可以填充空气或介质金属波导是由单根空心的金属管构成，截面形状为矩形的称为矩形波导，截面形状为圆形的称为圆波导；带状线是由两块接地板和中间的导体带构成；微带线是由介质基片及其两侧的导体带、接地板构成；介质波导是由单根的介质棒构成。

常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线3

电磁波在不同的导行系统中传播具有不同的特点，分析方法也不相同。本章主要讨论电磁波在矩形波导、圆波导和同轴线中传播的规律以及功率传输、损耗问题。最后还将讨论谐振腔的工作原理和基本参数。电磁波在不同的导行系统中传播具有不同4

带状线双导线矩形波导微带介质波导光纤同轴线圆波导图7-1常用的导波系统带状线双导线矩形波导微带介质波导同轴线圆波导图7-157.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解

一、横向场分量与纵向场分量之间的关系设导波系统的横截面沿Z方向是均匀的，电磁波沿Z方向传播，导行系统内填充的媒质是线性、均匀、各向同性且无耗（），导行系统远离波源，没有外源分布，即,导波系统内的场量随时间作正弦变化,则导波系统内的电磁场可以表示为7.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解一、横向场分6

图7-2任意截面的均匀导波系统

(7-1)(7-2)图7-2任意截面的均匀导波系统(7-1)(7-2)7

式中为传播常数。一般情况下，。下面介绍如何求解和，分别简写为和。在直角坐标中，

由麦克斯韦旋度方程得

（7-3）式中为传播常数。一般情况下，。下面介8

由，得

（7-4）

根据上述方程，可以求得导波系统中横向场分量、、、和纵向场分量、之间的关系，即

(7-5a)

(7-5b)

由，得9

(7-5c)

(7-5d)式中，由式（7-5）可见：如果能够求出导波系统中电磁场的纵向分量，那么导波系统中的其他分量即可由上式得到。电磁场的纵向分量又如何求呢？

已知波动方程

10

在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有关的和与纵坐标有关的两部分，即

代入波动方程得即(7-6)同理可得磁场的类似方程(7-7)因此有（7-8a）（7-8b）在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有11二、电磁波沿均匀导波系统传播的一般解

对于沿方向传播的电磁波(1)如果电磁波在传播方向上没有电场和磁场分量，，，即电磁场完全在横截面内，这种电磁波称为横电磁波，简称TEM波；(2)如果电磁波在传播方向上有电场分量，没有磁场分量，，，即磁场限制在横截面内，这种电磁波称为横磁波，简称TM波；(3)如果电磁波在传播方向上有磁场分量，没有电场分量，，，即电场限制在横截面内，这种电磁波称为横电波，简称TE波。二、电磁波沿均匀导波系统传播的一般解对于12由式(7-5)可见，当，时，、、、存在的条件是

得(7-9)TEM波EHesTE波EHesTM波EHes由式(7-5)可见，当，时，、、13这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TEM波的传播速度为（7-10）当时，（7-6）式变为（7-11）表明:传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TE14已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即（7-12）对于沿Z方向均匀一致的导波系统，，因此（7-13）比较式(7-10)与式(7-12)。可见，TEM波电场所满足的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即15

显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因此他们可以传播TEM波，而由单根导体构成的金属波导中不可能存在静电场，因此金属波导不可能传播TEM波。由式(7-5)可知，对于TM波，根据方程(7-8a)和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TM波的其他横向场分量为

(7-14a)(7-14b)

(7-14c)(7-14d)显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建16对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TE波的其他横向场分量为(7-15a)(7-15b)(7-15c)(7-15d)对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界177.2矩形波导矩形波导的形状如图7-3所示，其宽壁的内尺寸为a，窄壁的内尺寸为b，波导内填充介电常数为、磁导率为的理想介质，波导壁为理想导体。假设电磁波沿Z方向传播。由上节分析知道，金属波导中只能传播TE、TM波，下面分别讨论这两种波在矩形波导中传播特性。7.2矩形波导矩形波导的形状如图7-3所示，18图7-3矩形波导

一、矩形波导中的场量表达式1.TM波对于TM波，。按照上节介绍的纵向场法，先求解电场的纵向分量，然后再根据式(7-5)求出横向分量。由式(7-1)，电场强度的纵向分量可以表示为(7-16)图7-3矩形波导一、矩形波导中的场量表达式19它满足方程(7-6)，即(7-17)采用分离变量法求解上述偏微分方程，令(7-18)代入式（7-17），得(7-19)式中表示对的二阶导数，表示对的二阶导数。上式两边同除以，得

(7-20)式（7-20）左边第一项仅为的函数，第二项仅为它满足方程(7-6)，即20的函数，因此欲使上式对所有的、值均成立，只有每一项分别等于常数。令(7-21)(7-22)这里，、称为分离常数。且(7-23)式（7-21）和式(7-22)为二阶常微分方程，它们的通解分别为(7-24)(7-25)则(7-26)的函数，因此欲使上式对所有的、值均成立，只有每一项21

式中积分常数、、、和分离常数、由矩形波导的边界条件确定。矩形波导的边界条件是理想导体壁的切向电场等于零，即时；时；为了满足时的边界条件，由式（7-26）得欲使上式对于所有的值均成立，要求。那么(7-27)为了满足时的边界条件，由式（7-27）得式中积分常数、、、和分离常数、由矩形波22欲使上式对于所有的值成立，要求或。当时，，这与TM波情况不符，因此，只能取。此时或者写成(7-28)当时，。由式(7-28)得

欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-29)当时，。由式(7-28)得

欲使上式对于所有的值成立，要求或。23欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-30)将式（7-29）和式（7-30）代入式（7-28）得(7-31)将式（7-31）以及代入式（7-5）中，并加上因子（令），求得矩形波导中TM波沿Z方向传播的场量表达式为

(7-32)欲使上式对于所有的值均成立，要求，即24式中(7-33)由式（7-32）可见：

（1）和可以取不同的值，因此，和每取一组值，式（7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。

式中25（2）表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，表示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由的表达式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式是波。（3）波导中的电磁波沿、方向为驻波分布，沿方向为行波分布。（2）表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目262.TE波

对于TE波，。仿照TM波场量表达式的求解步骤，可以推导出矩形波导TE波的场量表达式为

(7-34)2.TE波对于TE波，。仿照TM27

式中，。，但两者不能同时为零，所以矩形波导中最低阶的TE模式是波或波。

28二、矩形波导中的电磁波传播特性由，，得到矩形波导中每个和模式的传播常数为

(7-35)传播常数所对应的频率（波长）称为截止频率（波长），以（）表示，那么

即(7-36)二、矩形波导中的电磁波传播特性由29当工作频率时，即时，为出纯虚数，，电磁波可以在波导中沿方向传播。其中(7-37)当工作频率时，即时，为实数，。此时表示衰减，电磁波不可能在波导中传播。所以电磁波在波导中传播的条件是。由式（7-36）可以求得相应的截止波长，即

(7-38)式中为无限大媒质中的电磁波速度。当工作频率时，即时，为出纯虚数，30电磁波在波导中的相速度为

(7-39)电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，以表示，则

(7-40)式中为电磁波在参数为，的无限大媒质中的波长，也称为工作波长。而波导波长与波导尺寸、工作模式有关。电磁波在波导中的相速度为31

波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波阻抗。由式（7-32）可以求得TM波的波阻抗为

(7-41)式中。同理，由（7-34）可以求得TE波的波阻抗为

(7-42)由式（7-41）和（7-42）可见，当（）时，波阻抗和均为纯虚数，表明横向电场与横向磁场有相位差，因此，沿方向没有能量流动，这就意味着此时电磁波的传播被截止。波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波阻抗32

在矩形波导中下标和（）相同的和模具有相同的截止波长，截止波长相同的模式称为简并模，所以和模简并。三、矩形波导中的主模1.主模与单模传播一般情况下矩形波导中的，所以波的截止频率要比波的截止频率低。具有最低截止频率的模式称为主模，所以波是矩形波导的主模。由前面介绍知道，工作波长小于截止波长的模式都可以在矩形波导中传播。因此，对于给定的工作波长，波导中可以存在多种传播模式。在矩形波导中下标和（）33图7-4为矩形波导中各种模式的截止波长分布图，分为三个区域：I区：工作波长，波导中不能传播任何模式的波，称为截止区；II区：，波导中只能传播波，称为单模工作区；III区：，波导中可以传播多个模式的波，称为多模工作区。TM11TE01TE20TE100a2ac图7-4矩形波导截止波长分布图7-4为矩形波导中各种模式的截止波长分布图，分34大多数情况下，要求矩形波导工作在单模工作区，即要求以波传播。因此，为了保证矩形波导中仅仅传播波，，。给定工作波长，波导宽壁尺寸应满足（7-43）而窄壁尺寸应满足（7-44）工程上常取，。大多数情况下，要求矩形波导工作在单模工作区，即要352.主模的场结构将代入式（7-34），可以得到波的场量表达式为

(7-45)

各分量对应的瞬时表达式为

(7-46)2.主模的场结构将代入式（7-34）36由式（7-46）可见，波只有、、三个场量不等于零，且这三个场量均与无关，即电磁场沿方向没有变化。电场沿方向呈正弦分布，在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处电场为零，在处电场最大值。波的磁场有、两个分量。在方向和方向都呈正弦分布，在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处为零，在处有最大值；在方向和方向都呈余弦分布,在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处有最大值，在处为零，所以磁力线是在平面内的闭和曲线。由式（7-46）可见，波只有、、三个场量不等37

矩形波导中波的电磁场分布如图7-5所示。图7-5波的电磁场分布

38TE10TE11TE21

矩形波导中TE10、TE11、TE21模的场分布图TE10TE11TE21矩形波导中TE10、TE11、TE393.主模的管壁电流

当电磁波在波导中传播时，在波导内壁表面上将产生感应电流，称之为管壁电流。在微波频率下，由于趋肤效应使管壁电流集中在波导内壁很薄的表面上流动，所以这种管壁电流可视为表面电流，其面电流密度由下式的理想导体边界条件确定：(7-47)式中为波导内壁上的单位法向矢量，由波导壁指向波导内，为波导内壁处的磁场。3.主模的管壁电流当电磁波在波导中传播时，在波导40在波导下底面，，则有

(7-48a)在波导上底面，，则有

(7-48b)在波导下底面，，则有41在波导左侧壁，，则有(7-48c)在波导右侧壁，，则有(7-48d)在波导左侧壁，，则有42

根据式(7-48)可以绘出波导的管壁电流分布，如图7-6所示。图7-6模的管壁电流分布根据式(7-48)可以绘出波导的管壁电流43

由图7-6可知:当矩形波导中传播模时，在左右两侧壁内的管壁电流只有方向分量，且大小相等方向相反；在上下两宽壁内的管壁电流由方向分量和方向分量合成。在波导宽壁中央的面电流只有方向分量，如果在波导宽壁中央沿方向开一个纵向窄缝，不会切断高频电流的通路，因此波的电磁能量不会从该纵向窄缝辐射出来，波导内的电磁场分布也不会改变，在微波技术中正是利用这一特点制成驻波测量线的。由图7-6可知:当矩形波导中传播447.5波导中的传输功率与损耗

一、波导中的传输功率

根据波导中的横向电场和横向磁场，可以得到波导中沿纵向传播的电磁波的平均能流密度矢量，再对波导横截面进行积分，即可以得到波导中的传输功率

(7-85)

式中、为波导内的横向电场和横向磁场。当波导中填充理想介质时，波阻抗和为实数，波导内的横向电场与横向磁场相位相同，因此式（7-85）可以写成

7.5波导中的传输功率与损耗一、波导中的传输功率45

(7-86)

式中，、分别为波导内总的横向电场分量和横向磁场分量，代表波阻抗和。对于矩形波导(7-87)对于圆波导(7-88)以矩形波导中的主模波为例，由式（7-45）知，电场只有分量,且可以表示为

46将上式代入式（7-87），并且波阻抗用代替，得(7-89)若波导的击穿电场强度为，则矩形波导中能够传输的最大功率为(7-90)实际中，为了安全起见，一般取传输功率(7-91)将上式代入式（7-87），并且波阻抗用代替，得47

二、波导中的功率损耗

前面的讨论中都是假定波导壁为理想导体，波导中填充的介质为理想介质。然而，实际波导内壁的电导率很大，但并不是无穷大，波导内填充的介质也不是完全理想的，因此电磁波在波导内传播时将伴有能量损耗。由于在一般情况下波导内填充的是空气，填充介质引起的损耗很小，可以忽略不计。二、波导中的功率损耗前面的讨论中都是48要严格计算波导壁引起的损耗非常复杂，通常可近似地认为波导中的实际场强与在理想导体壁下得到的场强相同，但由于波导内壁的电导率为有限值，波导内的场强沿传播方向是以衰减常数按指数规律衰减的，设其衰减常数为，则电场强度的振幅可以表示为(7-92)由于传输功率与场强振幅的平方成正比，因此波导内的传输功率可以表示为(7-93)式中是处的功率。要严格计算波导壁引起的损耗非常复杂，通常可近似地49

式（7-93）对求导，可得波导壁内单位长度的损耗功率，用表示，则(7-94)由此可得衰减常数为(7-95)此式表明:计算衰减常数必须计算单位长度的损耗功率,而要严格计算损耗功率是困难的.可以采用近似如下近似方法计算:即先假定波导壁为理想导体，计算波导内的场量分布，进而得到波导壁表面电流的大小和单位长度的损耗功率，再计算出衰减常数。式（7-93）对求导，可得波导壁内单位长度的损耗功50图7-16和图7-17给出了矩形波导和圆波导的衰减常数与频率间的曲线。由图7-16可见，当矩形波导的尺寸一定时，波的衰减比波的小，并且对于同一模式，愈小，衰减愈大。由图7-17可见，随着频率的升高，圆波导中波的衰减反而是减小的，这一特性使波在远距离传输中具有重要的实用价值。

图7-16矩形波导的衰减

图7-16和图7-17给出了矩形波导和圆波导的衰51

【例】计算波在矩形波导中传播时的衰减常数

【解】当矩形波导中传播时，由式（7-48）知，波导宽壁上的电流具有和分量，而窄壁上的电流只有分量，因此在波导宽壁上单位长度的损耗功率为

波导窄壁上单位长度的损耗功率为【例】计算波在矩形波导中传播时的衰减常数52因此单位长度的总损耗功率为将上式和式（7-89）代入式（7-95），可以求得衰减常数为因此单位长度的总损耗功率为537.6谐振腔众所周知，低频时可以用电感和电容的并联构成LC振荡回路，其谐振频率。由此可见，随着频率的升高，用LC振荡回路将会遇到许多问题：(1)要求LC振荡回路中的电感和电容很小，这给结构加工带来困难；(2)当回路的尺寸与工作波长相近时，回路容易产生电磁辐射，品质因数下降；(3)在微波频率下，LC回路的欧姆损耗和介质损耗都很大，回路的品质因数显著下降。7.6谐振腔众所周知，低频时可以用电感和电容的54

因此，为了克服上述缺点，在微波波段可采用一段纵向两端封闭的传输线或波导(称之为谐振腔)实现高品质因数的微波谐振电路。谐振腔的种类很多，按结构型式可分为传输线型谐振腔和非传输线型谐振腔两类，常用的传输线型谐振腔有矩形波导谐振腔、圆形波导谐振腔等，下面分别介绍这两种谐振腔的场量表达式和主要参量。因此，为了克服上述缺点，在微波波段可采用一段55

空腔谐振器的形成过程

几种常见的微波谐振腔

（a）矩形腔（b）圆柱腔（c）同轴腔谐振腔的主要参量是；谐振波长和品质因素。d

空腔谐振器的形成过程

几种常见的微波谐振腔（a）矩形567.6.1矩形波导谐振腔1、矩形波导谐振腔的场量表达式

矩形波导谐振腔:由一段两端短路的矩形波导构成，如图所示。

矩形波导谐振腔里的场量:可以看作是由矩形波导中相应的入射波和反射波叠加而成。已知矩形波导中模式的纵向场量表达式为bxadzyO

矩形谐振腔7.6.1矩形波导谐振腔1、矩形波导谐振腔的场量表57因此，矩形波导谐振腔中TE模的纵向场可以写成(7-96)将边界条件代入上式得则(7-97)因此，矩形波导谐振腔中TE模的纵向场可以写成58再将边界条件代入上式得(7-98)则(7-99a)将式(7-99a)和代入横向场与纵向场关系式(7-5)，同时将式(7-5)式中的用代替，便可以得到矩形波导谐振腔中TE振荡模式的横向场量表达式

(7-99b)(7-99c)再将边界条件代入上式得59(7-99d)(7-99e)类似地可以推导出矩形波导谐振腔中振荡模式的场量表达式(7-100a)(7-100b)(7-100c)(7-99d)60(7-100d)(7-100e)(7-100f)式中,由式(7-99)和式(7-100)可见：(7-100d)61

(1)矩形波导谐振腔中的场量沿、、方向均为驻波；(2)矩形波导谐振腔中可以存在无穷多个振荡模式，用和表示；(3)下标、、分别表示场量沿、、方向变化的半驻波数；(4)对于TE振荡模式，下标、可以为零，但不能同时为零，不能为零；(5)对于TM振荡模式，下标、不能为零，可以为零。(1)矩形波导谐振腔中的场量沿、、方向均622、矩形波导谐振腔的谐振频率由式(7-98)可以看出，谐振腔中的相位常数为离散值，将其代入

得

又知，那么由上式可以求得谐振频率和谐振波长分别为2、矩形波导谐振腔的谐振频率由式(7-98)63(7-101)(7-102)由此可见:谐振波长与谐振腔的尺寸和工作模式有关，而谐振频率不仅与谐振腔的尺寸、工作模式有关，而且还与谐振腔中填充的媒质参数有关。

64三、矩形波导谐振腔的品质因数

品质因数是谐振腔的另一个重要参数，它表征了谐振腔的频率选择性和能量损耗程度，其定义为(7-103)式中为谐振角频率，为腔中总储能，为腔中的损耗功率。谐振腔的总储能为电场储能与磁场储能之和，可以证明谐振腔内的电场储能等于磁场储能，所以(7-104)式中，为谐振腔的体积。三、矩形波导谐振腔的品质因数品质因数65

能量损耗一般包括导体损耗、介质损耗和辐射损耗。对于闭合的谐振腔，其辐射损耗不存在，假设介质是无耗的，则谐振腔的损耗仅为腔壁的欧姆损耗，即(7-105)式中，S为空腔内表面，为腔壁表面电阻，为腔壁表面电流，为腔壁表面切向磁场。由式(7-104)和式(7-105)得

(7-106)能量损耗一般包括导体损耗、介质损耗和辐射损耗。对66下面以矩形波导谐振腔中的模为例，计算其品质因数。由式(7-99)可以得到矩形波导谐振腔中的模的场量表达式为

代入式（7-104）得下面以矩形波导谐振腔中的模为例，计算其品67

对于和两个腔壁，

损耗功率为

对于和两个腔壁，

损耗功率为对于和两个腔壁，68对于和两个腔壁，

损耗功率为

总的损耗功率为

代入式(7-103)得对于和两个腔壁，69第七章导行电磁波第七章导行电磁波70

上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无限大空间的传播规律。本章：将要讨论电磁波在有界空间传播的问题。

导波系统：将电磁波约束在有界空间内从一处传播到另一处的装置

导行电磁波：被引导的电磁波上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无71

常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线是由两根相互平行的金属导线构成；同轴线是由两根同轴的圆柱导体构成，两导体之间可以填充空气或介质金属波导是由单根空心的金属管构成，截面形状为矩形的称为矩形波导，截面形状为圆形的称为圆波导；带状线是由两块接地板和中间的导体带构成；微带线是由介质基片及其两侧的导体带、接地板构成；介质波导是由单根的介质棒构成。

常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线72

电磁波在不同的导行系统中传播具有不同的特点，分析方法也不相同。本章主要讨论电磁波在矩形波导、圆波导和同轴线中传播的规律以及功率传输、损耗问题。最后还将讨论谐振腔的工作原理和基本参数。电磁波在不同的导行系统中传播具有不同73

带状线双导线矩形波导微带介质波导光纤同轴线圆波导图7-1常用的导波系统带状线双导线矩形波导微带介质波导同轴线圆波导图7-1747.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解

一、横向场分量与纵向场分量之间的关系设导波系统的横截面沿Z方向是均匀的，电磁波沿Z方向传播，导行系统内填充的媒质是线性、均匀、各向同性且无耗（），导行系统远离波源，没有外源分布，即,导波系统内的场量随时间作正弦变化,则导波系统内的电磁场可以表示为7.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解一、横向场分75

图7-2任意截面的均匀导波系统

(7-1)(7-2)图7-2任意截面的均匀导波系统(7-1)(7-2)76

式中为传播常数。一般情况下，。下面介绍如何求解和，分别简写为和。在直角坐标中，

由麦克斯韦旋度方程得

（7-3）式中为传播常数。一般情况下，。下面介77

由，得

（7-4）

根据上述方程，可以求得导波系统中横向场分量、、、和纵向场分量、之间的关系，即

(7-5a)

(7-5b)

由，得78

(7-5c)

(7-5d)式中，由式（7-5）可见：如果能够求出导波系统中电磁场的纵向分量，那么导波系统中的其他分量即可由上式得到。电磁场的纵向分量又如何求呢？

已知波动方程

79

在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有关的和与纵坐标有关的两部分，即

代入波动方程得即(7-6)同理可得磁场的类似方程(7-7)因此有（7-8a）（7-8b）在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有80二、电磁波沿均匀导波系统传播的一般解

对于沿方向传播的电磁波(1)如果电磁波在传播方向上没有电场和磁场分量，，，即电磁场完全在横截面内，这种电磁波称为横电磁波，简称TEM波；(2)如果电磁波在传播方向上有电场分量，没有磁场分量，，，即磁场限制在横截面内，这种电磁波称为横磁波，简称TM波；(3)如果电磁波在传播方向上有磁场分量，没有电场分量，，，即电场限制在横截面内，这种电磁波称为横电波，简称TE波。二、电磁波沿均匀导波系统传播的一般解对于81由式(7-5)可见，当，时，、、、存在的条件是

得(7-9)TEM波EHesTE波EHesTM波EHes由式(7-5)可见，当，时，、、82这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TEM波的传播速度为（7-10）当时，（7-6）式变为（7-11）表明:传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TE83已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即（7-12）对于沿Z方向均匀一致的导波系统，，因此（7-13）比较式(7-10)与式(7-12)。可见，TEM波电场所满足的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即84

显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因此他们可以传播TEM波，而由单根导体构成的金属波导中不可能存在静电场，因此金属波导不可能传播TEM波。由式(7-5)可知，对于TM波，根据方程(7-8a)和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TM波的其他横向场分量为

(7-14a)(7-14b)

(7-14c)(7-14d)显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建85对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界条件，求出后，再考虑到，可得TE波的其他横向场分量为(7-15a)(7-15b)(7-15c)(7-15d)对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界867.2矩形波导矩形波导的形状如图7-3所示，其宽壁的内尺寸为a，窄壁的内尺寸为b，波导内填充介电常数为、磁导率为的理想介质，波导壁为理想导体。假设电磁波沿Z方向传播。由上节分析知道，金属波导中只能传播TE、TM波，下面分别讨论这两种波在矩形波导中传播特性。7.2矩形波导矩形波导的形状如图7-3所示，87图7-3矩形波导

一、矩形波导中的场量表达式1.TM波对于TM波，。按照上节介绍的纵向场法，先求解电场的纵向分量，然后再根据式(7-5)求出横向分量。由式(7-1)，电场强度的纵向分量可以表示为(7-16)图7-3矩形波导一、矩形波导中的场量表达式88它满足方程(7-6)，即(7-17)采用分离变量法求解上述偏微分方程，令(7-18)代入式（7-17），得(7-19)式中表示对的二阶导数，表示对的二阶导数。上式两边同除以，得

(7-20)式（7-20）左边第一项仅为的函数，第二项仅为它满足方程(7-6)，即89的函数，因此欲使上式对所有的、值均成立，只有每一项分别等于常数。令(7-21)(7-22)这里，、称为分离常数。且(7-23)式（7-21）和式(7-22)为二阶常微分方程，它们的通解分别为(7-24)(7-25)则(7-26)的函数，因此欲使上式对所有的、值均成立，只有每一项90

式中积分常数、、、和分离常数、由矩形波导的边界条件确定。矩形波导的边界条件是理想导体壁的切向电场等于零，即时；时；为了满足时的边界条件，由式（7-26）得欲使上式对于所有的值均成立，要求。那么(7-27)为了满足时的边界条件，由式（7-27）得式中积分常数、、、和分离常数、由矩形波91欲使上式对于所有的值成立，要求或。当时，，这与TM波情况不符，因此，只能取。此时或者写成(7-28)当时，。由式(7-28)得

欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-29)当时，。由式(7-28)得

欲使上式对于所有的值成立，要求或。92欲使上式对于所有的值均成立，要求，即(7-30)将式（7-29）和式（7-30）代入式（7-28）得(7-31)将式（7-31）以及代入式（7-5）中，并加上因子（令），求得矩形波导中TM波沿Z方向传播的场量表达式为

(7-32)欲使上式对于所有的值均成立，要求，即93式中(7-33)由式（7-32）可见：

（1）和可以取不同的值，因此，和每取一组值，式（7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。

式中94（2）表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，表示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由的表达式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式是波。（3）波导中的电磁波沿、方向为驻波分布，沿方向为行波分布。（2）表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目952.TE波

对于TE波，。仿照TM波场量表达式的求解步骤，可以推导出矩形波导TE波的场量表达式为

(7-34)2.TE波对于TE波，。仿照TM96

式中，。，但两者不能同时为零，所以矩形波导中最低阶的TE模式是波或波。

97二、矩形波导中的电磁波传播特性由，，得到矩形波导中每个和模式的传播常数为

(7-35)传播常数所对应的频率（波长）称为截止频率（波长），以（）表示，那么

即(7-36)二、矩形波导中的电磁波传播特性由98当工作频率时，即时，为出纯虚数，，电磁波可以在波导中沿方向传播。其中(7-37)当工作频率时，即时，为实数，。此时表示衰减，电磁波不可能在波导中传播。所以电磁波在波导中传播的条件是。由式（7-36）可以求得相应的截止波长，即

(7-38)式中为无限大媒质中的电磁波速度。当工作频率时，即时，为出纯虚数，99电磁波在波导中的相速度为

(7-39)电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，以表示，则

(7-40)式中为电磁波在参数为，的无限大媒质中的波长，也称为工作波长。而波导波长与波导尺寸、工作模式有关。电磁波在波导中的相速度为100

波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波阻抗。由式（7-32）可以求得TM波的波阻抗为

(7-41)式中。同理，由（7-34）可以求得TE波的波阻抗为

(7-42)由式（7-41）和（7-42）可见，当（）时，波阻抗和均为纯虚数，表明横向电场与横向磁场有相位差，因此，沿方向没有能量流动，这就意味着此时电磁波的传播被截止。波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波阻抗101

在矩形波导中下标和（）相同的和模具有相同的截止波长，截止波长相同的模式称为简并模，所以和模简并。三、矩形波导中的主模1.主模与单模传播一般情况下矩形波导中的，所以波的截止频率要比波的截止频率低。具有最低截止频率的模式称为主模，所以波是矩形波导的主模。由前面介绍知道，工作波长小于截止波长的模式都可以在矩形波导中传播。因此，对于给定的工作波长，波导中可以存在多种传播模式。在矩形波导中下标和（）102图7-4为矩形波导中各种模式的截止波长分布图，分为三个区域：I区：工作波长，波导中不能传播任何模式的波，称为截止区；II区：，波导中只能传播波，称为单模工作区；III区：，波导中可以传播多个模式的波，称为多模工作区。TM11TE01TE20TE100a2ac图7-4矩形波导截止波长分布图7-4为矩形波导中各种模式的截止波长分布图，分103大多数情况下，要求矩形波导工作在单模工作区，即要求以波传播。因此，为了保证矩形波导中仅仅传播波，，。给定工作波长，波导宽壁尺寸应满足（7-43）而窄壁尺寸应满足（7-44）工程上常取，。大多数情况下，要求矩形波导工作在单模工作区，即要1042.主模的场结构将代入式（7-34），可以得到波的场量表达式为

(7-45)

各分量对应的瞬时表达式为

(7-46)2.主模的场结构将代入式（7-34）105由式（7-46）可见，波只有、、三个场量不等于零，且这三个场量均与无关，即电磁场沿方向没有变化。电场沿方向呈正弦分布，在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处电场为零，在处电场最大值。波的磁场有、两个分量。在方向和方向都呈正弦分布，在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处为零，在处有最大值；在方向和方向都呈余弦分布,在波导宽壁有半个驻波分布，且在和处有最大值，在处为零，所以磁力线是在平面内的闭和曲线。由式（7-46）可见，波只有、、三个场量不等106

矩形波导中波的电磁场分布如图7-5所示。图7-5波的电磁场分布

107TE10TE11TE21

矩形波导中TE10、TE11、TE21模的场分布图TE10TE11TE21矩形波导中TE10、TE11、TE1083.主模的管壁电流

当电磁波在波导中传播时，在波导内壁表面上将产生感应电流，称之为管壁电流。在微波频率下，由于趋肤效应使管壁电流集中在波导内壁很薄的表面上流动，所以这种管壁电流可视为表面电流，其面电流密度由下式的理想导体边界条件确定：(7-47)式中为波导内壁上的单位法向矢量，由波导壁指向波导内，为波导内壁处的磁场。3.主模的管壁电流当电磁波在波导中传播时，在波导109在波导下底面，，则有

(7-48a)在波导上底面，，则有

(7-48b)在波导下底面，，则有110在波导左侧壁，，则有(7-48c)在波导右侧壁，，则有(7-48d)在波导左侧壁，，则有111

根据式(7-48)可以绘出波导的管壁电流分布，如图7-6所示。图7-6模的管壁电流分布根据式(7-48)可以绘出波导的管壁电流112

由图7-6可知:当矩形波导中传播模时，在左右两侧壁内的管壁电流只有方向分量，且大小相等方向相反；在上下两宽壁内的管壁电流由方向分量和方向分量合成。在波导宽壁中央的面电流只有方向分量，如果在波导宽壁中央沿方向开一个纵向窄缝，不会切断高频电流的通路，因此波的电磁能量不会从该纵向窄缝辐射出来，波导内的电磁场分布也不会改变，在微波技术中正是利用这一特点制成驻波测量线的。由图7-6可知:当矩形波导中传播1137.5波导中的传输功率与损耗

一、波导中的传输功率

根据波导中的横向电场和横向磁场，可以得到波导中沿纵向传播的电磁波的平均能流密度矢量，再对波导横截面进行积分，即可以得到波导中的传输功率

(7-85)

式中、为波导内的横向电场和横向磁场。当波导中填充理想介质时，波阻抗和为实数，波导内的横向电场与横向磁场相位相同，因此式（7-85）可以写成

7.5波导中的传输功率与损耗一、波导中的传输功率114

(7-86)

式中，、分别为波导内总的横向电场分量和横向磁场分量，代表波阻抗和。对于矩形波导(7-87)对于圆波导(7-88)以矩形波导中的主模波为例，由式（7-45）知，电场只有分量,且可以表示为

115将上式代入式（7-87），并且波阻抗用代替，得(7-89)若波导的击穿电场强度为，则矩形波导中能够传输的最大功率为(7-90)实际中，为了安全起见，一般取传输功率(7-91)将上式代入式（7-87），并且波阻抗用代替，得116

二、波导中的功率损耗

前面的讨论中都是假定波导壁为理想导体，波导中填充的介质为理想介质。然而，实际波导内壁的电导率很大，但并不是无穷大，波导内填充的介质也不是完全理想的，因此电磁波在波导内传播时将伴有能量损耗。由于在一般情况下波导内填充的是空气，填充介质引起的损耗很小，可以忽略不计。二、波导中的功率损耗前面的讨论中都是117