结构力学-第14章结构动力学课件

第十四章结构动力学§14-1概述§14-2结构振动的自由度§14-3单自由度结构的自由振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-6多自由度结构的自由振动§14-8振型分解法§14-9无限自由度结构的振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-10计算频率的近似法第十四章结构动力学§14-1概述§14-2结构§14-1概述动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。动力荷载的种类(1)周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦(或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为

振动荷载。(2)冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。(3)突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。§14-1概述动力荷载作用下，结构将发生§14-1概述(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。(5)随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。如风的脉动作用、地震等。结构振动的形式(1)自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动过程中不再受外部干扰力作用。(2)强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。§14-1概述(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、§14-2结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。图a所示简支梁跨中固定一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图b所示的计算简图。梁在振动中的自由度=1单自由度结构—具有一个自由度的结构。多自由度结构—自由度大于1的结构。§14-2结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变§14-2结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自由度=1图b所示简支梁上有三个集中质量。自由度=3图c所示刚架有一个集中质点。自由度=2自由度的数目不完全取决于质点的数目§14-2结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自§14-2结构振动的自由度图d所示刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图e。自由度=3图f所示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个mdx的集中质量，是无限自由度结构。自由度的数目与结构是否静定或超静定无关§14-2结构振动的自由度图d所示刚架上图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。§14-2结构振动的自由度图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。实际结构针对具体问题可以进行简化图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考§14-3单自由度结构的自由振动如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。§14-3单自由度结构的自由振动如图所示§14-3单自由度结构的自由振动图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已向下为正。(1)列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。弹簧拉力(恢复力)Fe=－k11y惯性力质点处于动力平衡状态命可得单自由度结构自由振动微分方程则有(a)1、不考虑阻尼时的自由振动§14-3单自由度结构的自由振动图a所示§14-3单自由度结构的自由振动(2)列位移方程。如图c。质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为对单自由度结构有式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为可得与(1)相同的结果振动的初始条件为则有可得(b)§14-3单自由度结构的自由振动(2)列位移方程。如图§14-3单自由度结构的自由振动式中y0—初位移，—初速度。结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；一部分是初速度引起的，为正弦规律。如图a、b。§14-3单自由度结构的自由振动式中y0—初位移，§14-3单自由度结构的自由振动令则有式(b)可写为(c)简谐振动如图ca—为振幅，表示质点的最大位移；—为初相角。—周期—工程频率—角频率或频率§14-3单自由度结构的自由振动令则有式(b)可写为(c§14-3单自由度结构的自由振动可得(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。例14-1当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁的自振周期。§14-3单自由度结构的自由振动可得(d)g—重力加速度§14-3单自由度结构的自由振动解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有代入式(d)可得据此有说明：随着结构刚度的增大，其自振频率也相应地增高。§14-3单自由度结构的自由振动解：由式(d)可知，应先§14-3单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由振动阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向相反。—β称为阻尼系数考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示由动力平衡得即令§14-3单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由§14-3单自由度结构的自由振动线性常系数齐次微分方程则有(f)设其解为代入式(f)得特征方程两个根为讨论(1)

k<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，式(f)的通解为式中—有阻尼自振频率由初始条件可得则有§14-3单自由度结构的自由振动线性常系数齐次微分方程则§14-3单自由度结构的自由振动可写为(g)式中式(g)的位移-时间曲线如图所示。—衰减的正弦曲线k—衰减系数§14-3单自由度结构的自由振动可写为(g)式中式(g)§14-3单自由度结构的自由振动设阻尼比则有一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有等式两边取对数得振幅的对数递减量经过j个周期后，有§14-3单自由度结构的自由振动设阻尼比则有一般建筑结构§14-3单自由度结构的自由振动(2)

k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。(3)

k=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为—非周期函数，不发生振动。此时阻尼比ξ=1，k=m，可得临界阻尼系数故有—阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。§14-3单自由度结构的自由振动(2)k>ω—大阻尼§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动—结构在外来干扰力作用下产生的振动。如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得即或(h)微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解y0，二是与干扰力F(t)相应的特解当干扰力为简谐荷载时：θ为干扰力的频率F为干扰力的最大值§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动方程(h)成为(i)设式(i)的一个特解为代入式(i)解出将y0与特解合并，由初始条件可得(j)§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动方程§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动由式(j)可知，振动由三部分组成：(1)由初始条件决定的自由振动；(2)伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动；(3)按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段—纯强迫振动阶段。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1、不考虑阻尼的纯强迫振动此时ξ=0，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为最大动力位移即振幅为因yst=Fδ11：F作为静力荷载引起的静力位移—位移动力系数，最大动力位移与静力位移之比值。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1、不考§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向；当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。μ随θ/ω而变化，当干扰力频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力系数迅速增大；θ=ω时，理论上μ无穷大，此时内力和位移都将无限大→共振。工程设计中应尽量避免发生共振§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当θ<ω§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、考虑阻尼的纯强迫振动将式(j)的第三项写为振幅相位差振幅A可写为—动力系数§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、考虑§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数μ与θ/ω及ξ的关系如图所示。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1)μ<<ω时，θ/ω很小，μ接近于1。可近似地将Fsinθt作为静力荷载。此时振动很慢，因而FI、FR都很小。无阻尼时，位移与荷载是同步的；有阻尼时，位移与荷载基本上同步。(2)μ>>ω时，μ很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180°。(3)μ→ω时，μ增加很快，μ受阻尼的影响很大。当阻尼较小时，μ值很大，共振现象仍很危险。工程设计中一般常取§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-2如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。解：在G作用下，梁中点的最大静位移为自振频率为干扰力频率为求得动力系数梁中点的最大弯矩梁中点最大挠度§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。F=1作用在点1时使点1产生的位移为δ11，如图b。F=1作用在点2时使点1产生的位移为δ12，如图c。作用在质点m上的惯性力为在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为即§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间Δt≈0内给与振动物体的冲量瞬时冲量作用下的振动问题图a所示荷载大小为F，作用时间为Δt，其冲量I=FΔt，即图中阴影部分的面积。瞬时冲量作用下质点的动量增值为由可得当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若瞬时冲量不是在t=0而是在t=τ时加于质点上，其位移方程为图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F(τ)dτ连续作用的结果，应此有(k)不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有(m)式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为若不考虑阻尼则有(n)§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突加荷载。变化规律如图a所示。设：加载前结构处于静止状态，将

F(τ)=F代入式(k)求得其振动曲线如图b。时最大动位移yd为动力系数为不考虑阻尼§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短期荷载。变化规律如图所示。当t=0时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；当t=t0时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：自由振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。动力系数为与荷载作用时间长短有关当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。动力系数为与荷载作§14-6多自由度结构的自由振动1、振动微分方程的建立刚度法图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。各质点的惯性力为各链杆的反力为§14-6多自由度结构的自由振动1、振动微分方程的建立刚§14-6多自由度结构的自由振动令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。各链杆上所需施加的力为不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。以质点mi为例有kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。可得i质点的动力平衡方程为§14-6多自由度结构的自由振动令各链杆发生与各质点实际§14-6多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得写成矩阵形式为多自由度结构无阻尼自由振动微分方程§14-6多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力§14-6多自由度结构的自由振动简写为式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；

K为刚度矩阵，是对称矩阵；为加速度列向量；Y为位移列向量。柔度法将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。结构上任一质点mi处的位移应为§14-6多自由度结构的自由振动简写为式中：M为质量矩阵§14-6多自由度结构的自由振动δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。由此，可以建立n个位移方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程§14-6多自由度结构的自由振动δii、δij为柔度系数§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为简写为δ为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。可推得柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为简写为δ为2、按柔度法求解§14-6多自由度结构的自由振动设位移方程的特解为代入位移方程可得振幅方程2、按柔度法求解§14-6多自由度结构的自由振动设位移方§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式式中—振幅列向量单位矩阵要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。频率方程§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式式中—振幅列或写为§14-6多自由度结构的自由振动将行列式展开→含的n次代数方程，从而可得到n个自振频率ω1，ω2，…，ωn，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率。将任一ωk代入特解得此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点位移的比值为任何时刻结构的振动都保持同一形状。主振动—多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。主振型—相应的特定振动形式，简称振型。或写为§14-6多自由度结构的自由振动将§14-6多自由度结构的自由振动将ωk代回振幅方程得可写为系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。§14-6多自由度结构的自由振动将ωk代回振幅方程得可写§14-6多自由度结构的自由振动—振型向量设，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：各主振动分量的振幅、初相角由初始条件确定。自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；反映了结构本身固有的动力特性。§14-6多自由度结构的自由振动—振型向量设§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度结构的振幅方程为频率方程为令解得§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度结构的振幅方程§14-6多自由度结构的自由振动可得两个自振频率求第一阵型将ω=ω1代入振幅方程可得求第二阵型将ω=ω2代入振幅方程可得§14-6多自由度结构的自由振动可得两个自振频率求第一阵§14-6多自由度结构的自由振动例14-3试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。解：自由度=2，由图b、c可得求得得到§14-6多自由度结构的自由振动例14-3试求图a所§14-6多自由度结构的自由振动第一阵型第二阵型如图d，振型是正对称的。如图e，振型是反对称的。结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。取一半结构计算。§14-6多自由度结构的自由振动第一阵型第二阵型如图d，§14-6多自由度结构的自由振动例14-4图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是反对称的。可取图b所示一半结构计算。超静定结构§14-6多自由度结构的自由振动例14-4图a所示刚§14-6多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。取静定的基本结构作图，如图c、d。计算得§14-6多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和§14-6多自由度结构的自由振动有可得第一阵型第二阵型反对称振动，质点同向振动反对称振动，质点反向振动§14-6多自由度结构的自由振动有可得第一阵型第二阵型反§14-6多自由度结构的自由振动3、按刚度法求解利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得振幅方程频率方程由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得确定相应的n个主振型§14-6多自由度结构的自由振动3、按刚度法求解利用柔度§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程为展开解得两个主振型为§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。§14-6多自由度结构的自由振动解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度系数如图b、c、d。例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架§14-6多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为质量矩阵为§14-6多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为质量矩阵为§14-6多自由度结构的自由振动有由频率方程得展开解得自振频率§14-6多自由度结构的自由振动有由频率方程得展开解得自§14-6多自由度结构的自由振动确定主振型将ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有设标准化的第一振型为同理可求得§14-6多自由度结构的自由振动确定主振型将ωk=ω1即§14-6多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图a、b、c。§14-6多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图§14-6多自由度结构的自由振动4、主振型的正交性n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：—分别设k=i，k=j，可得两边左乘以两边左乘以则有(1)(2)K、M均为对称矩阵，将式(2)两边转置有(3)§14-6多自由度结构的自由振动4、主振型的正交性n个自§14-6多自由度结构的自由振动将式(1)减去式(3)得当i≠j时，ωi

≠ωj，应有对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。将此关系代入式(1)得对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。§14-6多自由度结构的自由振动将式(1)减去式(3)得§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段的纯强迫振动图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为式中各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移对n个质点有§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动写成矩阵形式式中—荷载幅值引起的静力位移向量纯强迫振动的解答为为质点mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动写成矩阵§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动或写为式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为—惯性力的最大值结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动或写为式§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将振幅方程改写为可写为最大惯性力向量当θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大—共振§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将振幅方§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-6图a为一等截面刚架，已知m1=1kN，

m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m，

EI=5×103kN·m2。试作刚架的最大动力弯矩图。解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。三个自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的竖向位移§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动—m1的最大惯性力—m2沿水平、竖向最大惯性力则有(1)§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动—m1的§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动求系数和自由项，作相应弯矩图如图c~f。由图乘法得§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动求系数和§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动集中质量的数值为振动荷载的频率为代入式(1)得解得由叠加法最大动力弯矩图如图g。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动集中质量§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动图a所示n个自由度的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动力平衡方程为写成矩阵形式若干扰力为同步简谐荷载式中F=(F1

F2…Fn)T，为荷载幅值列向量。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在平稳阶段各质点均按频率θ作同步简谐振动。代入动力平衡方程整理得求得各质点振幅值各质点的惯性力为可得求得惯性力幅值位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在平稳阶§14-8振型分解法多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程藕联各质点的位移向量—几何坐标坐标变换结构标准化的主振型向量表示为设—位移向量按主振型分解展开§14-8振型分解法多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程§14-8振型分解法简写为把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标—正则坐标—主振型矩阵，几何坐标与正则坐标之间的转换矩阵令—第i个主振型的广义质量—广义质量矩阵，对角矩阵§14-8振型分解法简写为把几何坐标Y变换成数目相同的§14-8振型分解法—广义刚度矩阵，对角矩阵主对角线上的任一元素利用振型正交性可得令i=j，可得或与单自由度结构的频率公式相似§14-8振型分解法—广义刚度矩阵，对角矩阵主对角线上§14-8振型分解法设有—广义荷载向量—相应第i个主振型的广义荷载振动方程变换为—解除藕联，各自独立§14-8振型分解法设有—广义荷载向量—相应第i个主振§14-8振型分解法整理得—与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得—n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加§14-8振型分解法整理得—与单自由度结构无阻尼强迫振§14-8振型分解法振型分解法计算步骤(1)求自振频率和振型(2)计算广义质量和广义荷载(3)求解正则坐标的振动微分方程(4)计算几何坐标求出各质点位移→计算其他动力反应。与单自由度问题一样求解。§14-8振型分解法振型分解法计算步骤(1)求自振§14-8振型分解法例14-7图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两结点的位移和梁的弯矩。解：(1)结构的自振频率和振型(图b、c)(2)广义质量§14-8振型分解法例14-7图a所示结构在结点2§14-8振型分解法广义荷载(3)求正则坐标(4)求位移§14-8振型分解法广义荷载(3)求正则坐标(4)§14-8振型分解法两质点位移图形状如图d。§14-8振型分解法两质点位移图形状如图d。§14-8振型分解法(5)求弯矩两质点的惯性力为由图e可求梁的动弯矩，如§14-8振型分解法(5)求弯矩两质点的惯性力为由§14-9无限自由度结构的振动图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数：设：梁的均布自重为q，单位长度的质量m=q/g，

惯性力的集度为取微段隔离体如图b。由材料力学可得§14-9无限自由度结构的振动图a所示§14-9无限自由度结构的振动如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为或微分方程的解有两部分：相应齐次方程的一般解-梁的自由振动特解-梁的强迫振动(1)梁的自由振动微分方程为设位移y为坐标位置函数F(x)和时间函数T(t)之积，即代入微分方程有§14-9无限自由度结构的振动如梁上承受均布简谐荷载p§14-9无限自由度结构的振动上式可写为左边为变量t的函数右边为变量x的函数可设得(1)(2)方程(1)的解为令或频率特征值式(2)可写为§14-9无限自由度结构的振动上式可写为左边为变量t的§14-9无限自由度结构的振动上式通解为位移为振幅曲线为A、B、C、D—待定任意常数引入新的常量代入yx式中有—克雷洛夫函数§14-9无限自由度结构的振动上式通解为位移为振幅曲线§14-9无限自由度结构的振动克雷洛夫函数有如下关系由这些关系可写出梁的挠度yx、角位移、弯矩和剪力的公式(3)§14-9无限自由度结构的振动克雷洛夫函数有如下关系由§14-9无限自由度结构的振动当x=0时，设有可得全解为各特解的线性组合(4)§14-9无限自由度结构的振动当x=0时，设有可得全解§14-9无限自由度结构的振动例14-8试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。解：由梁的边界条件，由式(4)可得—系数行列式为零展开化简为§14-9无限自由度结构的振动例14-8试求图a所§14-9无限自由度结构的振动由双曲函数和三角函数的图形可估计出试算法可求得前四个值为相应的自振频率为可求得由式(4)可得§14-9无限自由度结构的振动由双曲函数和三角函数的图任意常数§14-9无限自由度结构的振动—M0为待定值将k=k1，k2，…分别代入yx可得出第一、第二、…主振型曲线，其形状如图b~e。任意常数§14-9无限自由度结构的振动—M0为待定值§14-9无限自由度结构的振动(2)简谐均布干扰力作用下的振动此时微分方程为设特解为代入上式有令可得方程§14-9无限自由度结构的振动(2)简谐均布干扰力作§14-10计算频率的近似法(1)能量法由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动时，动能T和应变能Vε之和应为常数，即应有即设梁的振动方程为速度为动能为§14-10计算频率的近似法(1)能量法§14-10计算频率的近似法应变能为由Tmax=Vεmax得如结构上还有集中质量mi（i=1，2，…，n），上式为§14-10计算频率的近似法应变能为由Tmax=Vεm§14-10计算频率的近似法计算时，通常采用结构自重作用下的弹性曲线作为y(x)，此时应变能可用外力功来代替，即频率计算公式改写为如求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。§14-10计算频率的近似法计算时，通§14-10计算频率的近似法例14-9试用能量法求图a所示等截面梁的第一自振频率。解：取梁在自重q作用下的挠曲线作为第一振型，如图b，即q=mg，因而代入公式得精确值为§14-10计算频率的近似法例14-9试用能量法求§14-10计算频率的近似法例14-10试能量法求图a所示刚架的最低自振频率。解：将各层重量mig作为水平力加于结构如图b，此时位移作为第一振型。§14-10计算频率的近似法例14-10试能量法求§14-10计算频率的近似法一般说，n层刚架中第i层位移为代入公式得精确值§14-10计算频率的近似法一般说，n层刚架中第i层位§14-10计算频率的近似法(2)集中质量法例14-11试求图a所示具有均布质量m的简支梁的自振频率。解：(1)将梁分为两段，将每段的质量集中于该段的两端，梁化为单自由度结构。精确解(2)如求第一、第二频率，至少把结构化为有两个自由度如图b。精确解§14-10计算频率的近似法(2)集中质量法例14-§14-10计算频率的近似法(3)如求第一、第二、第三频率，至少把结构化为有三个自由度如图c。精确解结论：集中质量法能给出较好的近似结果，在工程上常被采用。§14-10计算频率的近似法(3)如求第一、第二、第(3)用相当梁法计算桁架的最低频率§14-10计算频率的近似法相当梁：一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁。当桁架变形时，任一结点k的竖向位移ΔkP为相当梁同一点k的竖向位移vkP将是其惯性矩I的函数，可写为二者相等即可算出相当梁的惯性矩I。(3)用相当梁法计算桁架的最低频率§14-10计算频§14-10计算频率的近似法简支桁架的自重为q，则在具有相同重量的相当梁重点的竖向位移为令可按简支梁的频率公式求其最低频率将m=q/g和EI代入得§14-10计算频率的近似法简支桁架的§14-10计算频率的近似法如图所示对称桁架，设m=10kg，E=200GPa，在所示质量的重力作用下，结点3的竖向位移可求得代入频率公式可得§14-10计算频率的近似法如图所示对第十四章结构动力学§14-1概述§14-2结构振动的自由度§14-3单自由度结构的自由振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-6多自由度结构的自由振动§14-8振型分解法§14-9无限自由度结构的振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-10计算频率的近似法第十四章结构动力学§14-1概述§14-2结构§14-1概述动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。动力荷载的种类(1)周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦(或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为

振动荷载。(2)冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。(3)突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。§14-1概述动力荷载作用下，结构将发生§14-1概述(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。(5)随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。如风的脉动作用、地震等。结构振动的形式(1)自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动过程中不再受外部干扰力作用。(2)强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。§14-1概述(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、§14-2结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。图a所示简支梁跨中固定一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图b所示的计算简图。梁在振动中的自由度=1单自由度结构—具有一个自由度的结构。多自由度结构—自由度大于1的结构。§14-2结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变§14-2结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自由度=1图b所示简支梁上有三个集中质量。自由度=3图c所示刚架有一个集中质点。自由度=2自由度的数目不完全取决于质点的数目§14-2结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自§14-2结构振动的自由度图d所示刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图e。自由度=3图f所示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个mdx的集中质量，是无限自由度结构。自由度的数目与结构是否静定或超静定无关§14-2结构振动的自由度图d所示刚架上图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。§14-2结构振动的自由度图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。实际结构针对具体问题可以进行简化图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考§14-3单自由度结构的自由振动如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。§14-3单自由度结构的自由振动如图所示§14-3单自由度结构的自由振动图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已向下为正。(1)列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。弹簧拉力(恢复力)Fe=－k11y惯性力质点处于动力平衡状态命可得单自由度结构自由振动微分方程则有(a)1、不考虑阻尼时的自由振动§14-3单自由度结构的自由振动图a所示§14-3单自由度结构的自由振动(2)列位移方程。如图c。质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为对单自由度结构有式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为可得与(1)相同的结果振动的初始条件为则有可得(b)§14-3单自由度结构的自由振动(2)列位移方程。如图§14-3单自由度结构的自由振动式中y0—初位移，—初速度。结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；一部分是初速度引起的，为正弦规律。如图a、b。§14-3单自由度结构的自由振动式中y0—初位移，§14-3单自由度结构的自由振动令则有式(b)可写为(c)简谐振动如图ca—为振幅，表示质点的最大位移；—为初相角。—周期—工程频率—角频率或频率§14-3单自由度结构的自由振动令则有式(b)可写为(c§14-3单自由度结构的自由振动可得(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。例14-1当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁的自振周期。§14-3单自由度结构的自由振动可得(d)g—重力加速度§14-3单自由度结构的自由振动解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有代入式(d)可得据此有说明：随着结构刚度的增大，其自振频率也相应地增高。§14-3单自由度结构的自由振动解：由式(d)可知，应先§14-3单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由振动阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向相反。—β称为阻尼系数考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示由动力平衡得即令§14-3单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由§14-3单自由度结构的自由振动线性常系数齐次微分方程则有(f)设其解为代入式(f)得特征方程两个根为讨论(1)

k<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，式(f)的通解为式中—有阻尼自振频率由初始条件可得则有§14-3单自由度结构的自由振动线性常系数齐次微分方程则§14-3单自由度结构的自由振动可写为(g)式中式(g)的位移-时间曲线如图所示。—衰减的正弦曲线k—衰减系数§14-3单自由度结构的自由振动可写为(g)式中式(g)§14-3单自由度结构的自由振动设阻尼比则有一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有等式两边取对数得振幅的对数递减量经过j个周期后，有§14-3单自由度结构的自由振动设阻尼比则有一般建筑结构§14-3单自由度结构的自由振动(2)

k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。(3)

k=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为—非周期函数，不发生振动。此时阻尼比ξ=1，k=m，可得临界阻尼系数故有—阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。§14-3单自由度结构的自由振动(2)k>ω—大阻尼§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动—结构在外来干扰力作用下产生的振动。如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得即或(h)微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解y0，二是与干扰力F(t)相应的特解当干扰力为简谐荷载时：θ为干扰力的频率F为干扰力的最大值§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动方程(h)成为(i)设式(i)的一个特解为代入式(i)解出将y0与特解合并，由初始条件可得(j)§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动方程§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动由式(j)可知，振动由三部分组成：(1)由初始条件决定的自由振动；(2)伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动；(3)按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段—纯强迫振动阶段。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1、不考虑阻尼的纯强迫振动此时ξ=0，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为最大动力位移即振幅为因yst=Fδ11：F作为静力荷载引起的静力位移—位移动力系数，最大动力位移与静力位移之比值。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1、不考§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向；当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。μ随θ/ω而变化，当干扰力频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力系数迅速增大；θ=ω时，理论上μ无穷大，此时内力和位移都将无限大→共振。工程设计中应尽量避免发生共振§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当θ<ω§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、考虑阻尼的纯强迫振动将式(j)的第三项写为振幅相位差振幅A可写为—动力系数§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、考虑§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数μ与θ/ω及ξ的关系如图所示。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1)μ<<ω时，θ/ω很小，μ接近于1。可近似地将Fsinθt作为静力荷载。此时振动很慢，因而FI、FR都很小。无阻尼时，位移与荷载是同步的；有阻尼时，位移与荷载基本上同步。(2)μ>>ω时，μ很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180°。(3)μ→ω时，μ增加很快，μ受阻尼的影响很大。当阻尼较小时，μ值很大，共振现象仍很危险。工程设计中一般常取§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-2如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。解：在G作用下，梁中点的最大静位移为自振频率为干扰力频率为求得动力系数梁中点的最大弯矩梁中点最大挠度§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。F=1作用在点1时使点1产生的位移为δ11，如图b。F=1作用在点2时使点1产生的位移为δ12，如图c。作用在质点m上的惯性力为在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为即§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间Δt≈0内给与振动物体的冲量瞬时冲量作用下的振动问题图a所示荷载大小为F，作用时间为Δt，其冲量I=FΔt，即图中阴影部分的面积。瞬时冲量作用下质点的动量增值为由可得当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若瞬时冲量不是在t=0而是在t=τ时加于质点上，其位移方程为图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F(τ)dτ连续作用的结果，应此有(k)不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有(m)式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为若不考虑阻尼则有(n)§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突加荷载。变化规律如图a所示。设：加载前结构处于静止状态，将

F(τ)=F代入式(k)求得其振动曲线如图b。时最大动位移yd为动力系数为不考虑阻尼§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短期荷载。变化规律如图所示。当t=0时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；当t=t0时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：自由振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。动力系数为与荷载作用时间长短有关当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。动力系数为与荷载作§14-6多自由度结构的自由振动1、振动微分方程的建立刚度法图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。各质点的惯性力为各链杆的反力为§14-6多自由度结构的自由振动1、振动微分方程的建立刚§14-6多自由度结构的自由振动令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。各链杆上所需施加的力为不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。以质点mi为例有kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。可得i质点的动力平衡方程为§14-6多自由度结构的自由振动令各链杆发生与各质点实际§14-6多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得写成矩阵形式为多自由度结构无阻尼自由振动微分方程§14-6多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力§14-6多自由度结构的自由振动简写为式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；

K为刚度矩阵，是对称矩阵；为加速度列向量；Y为位移列向量。柔度法将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。结构上任一质点mi处的位移应为§14-6多自由度结构的自由振动简写为式中：M为质量矩阵§14-6多自由度结构的自由振动δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。由此，可以建立n个位移方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程§14-6多自由度结构的自由振动δii、δij为柔度系数§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为简写为δ为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。可推得柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为简写为δ为2、按柔度法求解§14-6多自由度结构的自由振动设位移方程的特解为代入位移方程可得振幅方程2、按柔度法求解§14-6多自由度结构的自由振动设位移方§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式式中—振幅列向量单位矩阵要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。频率方程§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式式中—振幅列或写为§14-6多自由度结构的自由振动将行列式展开→含的n次代数方程，从而可得到n个自振频率ω1，ω2，…，ωn，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率。将任一ωk代入特解得此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点位移的比值为任何时刻结构的振动都保持同一形状。主振动—多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。主振型—相应的特定振动形式，简称振型。或写为§14-6多自由度结构的自由振动将§14-6多自由度结构的自由振动将ωk代回振幅方程得可写为系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。§14-6多自由度结构的自由振动将ωk代回振幅方程得可写§14-6多自由度结构的自由振动—振型向量设，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：各主振动分量的振幅、初相角由初始条件确定。自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；反映了结构本身固有的动力特性。§14-6多自由度结构的自由振动—振型向量设§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度结构的振幅方程为频率方程为令解得§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度结构的振幅方程§14-6多自由度结构的自由振动可得两个自振频率求第一阵型将ω=ω1代入振幅方程可得求第二阵型将ω=ω2代入振幅方程可得§14-6多自由度结构的自由振动可得两个自振频率求第一阵§14-6多自由度结构的自由振动例14-3试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。解：自由度=2，由图b、c可得求得得到§14-6多自由度结构的自由振动例14-3试求图a所§14-6多自由度结构的自由振动第一阵型第二阵型如图d，振型是正对称的。如图e，振型是反对称的。结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。取一半结构计算。§14-6多自由度结构的自由振动第一阵型第二阵型如图d，§14-6多自由度结构的自由振动例14-4图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是反对称的。可取图b所示一半结构计算。超静定结构§14-6多自由度结构的自由振动例14-4图a所示刚§14-6多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。取静定的基本结构作图，如图c、d。计算得§14-6多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和§14-6多自由度结构的自由振动有可得第一阵型第二阵型反对称振动，质点同向振动反对称振动，质点反向振动§14-6多自由度结构的自由振动有可得第一阵型第二阵型反§14-6多自由度结构的自由振动3、按刚度法求解利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得振幅方程频率方程由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得确定相应的n个主振型§14-6多自由度结构的自由振动3、按刚度法求解利用柔度§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程为展开解得两个主振型为§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。§14-6多自由度结构的自由振动解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度系数如图b、c、d。例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架§14-6多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为质量矩阵为§14-6多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为质量矩阵为§14-6多自由度结构的自由振动有由频率方程得展开解得自振频率§14-6多自由度结构的自由振动有由频率方程得展开解得自§14-6多自由度结构的自由振动确定主振型将ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有设标准化的第一振型为同理可求得§14-6多自由度结构的自由振动确定主振型将ωk=ω1即§14-6多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图a、b、c。§14-6多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图§14-6多自由度结构的自由振动4、主振型的正交性n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：—分别设k=i，k=j，可得两边左乘以两边左乘以则有(1)(2)K、M均为对称矩阵，将式(2)两边转置有(3)§14-6多自由度结构的自由振动4、主振型的正交性n个自§14-6多自由度结构的自由振动将式(1)减去式(3)得当i≠j时，ωi

≠ωj，应有对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。将此关系代入式(1)得对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。§14-6多自由度结构的自由振动将式(1)减去式(3)得§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段的纯强迫振动图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为式中各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移对n个质点有§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动写成矩阵形式式中—荷载幅值引起的静力位移向量纯强迫振动的解答为为质点mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动写成矩阵§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动或写为式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为—惯性力的最大值结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动或写为式§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将振幅方程改写为可写为最大惯性力向量当θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大—共振§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将振幅方§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-6图a为一等截面刚架，已知m1=1kN，

m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m，

EI=5×103kN·m2。试作刚架的最大动力弯矩图。解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。三个自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的竖向位移§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强