33二阶系统的时间响应汇总课件

3.3二阶系统的瞬态响应令：式中——阻尼系数，——无阻尼振荡角频率。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。开环:闭环:3.3.1二阶系统数学模型及其标准形式3.3二阶系统的瞬态响应令：式中——阻尼系数，RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，可得

3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布33二阶系统的时间响应汇总课件

(1).

欠阻尼

是一对共轭复数根。

(2).临界阻尼

是两个相同的负实根。

(3).过阻尼

是两个不同的负实根。

(4).无阻尼

是一对共轭纯虚数根。(1).欠阻尼3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为下面按阻尼比分别讨论。3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应1.当时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率共扼复根:令:1.当时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率共扼复根:令:33二阶系统的时间响应汇总课件即：—有阻尼振荡角频率；——滞后角度。—衰减指数；式中:即：—有阻尼振荡角频率；——滞后角度。—衰减指数；式中:s1s2βs1s2β讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ξωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd，

(2)振荡周期为

(3)ξ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。讨论:2.临界阻尼(ξ＝1)

此时，系统具有二重负实极点，则2.临界阻尼(ξ＝1)单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位特点：单调上升，无振荡、无超调；

xo()=1，无稳态误差。特点：单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无3.过阻尼(ξ>1)

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则3.过阻尼(ξ>1)拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1瞬态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长

xo()=1，无稳态误差特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo()=4.零阻尼情况（）这是一条平均值为1的余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。

4.零阻尼情况（）这是一条平均值为1的余弦形5.负阻尼情况（）

分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指数项变为正指数，故随着时间时，其输出，即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。0t

xo(t)-1<<0t

0xo(t)<-1特点：单调发散特点：振荡发散5.负阻尼情况（）分析方法0123456789101112nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0不同ξ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112ntc(t)0.20.4几点结论：二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快;

=0时，出现等幅振荡。几点结论：二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：<0工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。几点结论：工程中除了一些不允许产生振荡的应用，一定时，n越大

系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率域里提出，时域内的比较直观。瞬态响应性能指标包括：（1）上升时间（RiseTime）：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所需的时间。（3）最大超调量（MaximumOvershoot）：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示。（2）峰值时间（PeakTime）：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的时间。3.3.4时域分析性能指标系统性能指标可以在时间域里提（6）振荡次数：在调整时间响应曲线振荡的次数。

上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统的快速性，而最大超调量、振荡次数反映系统的相对稳定性。（4）调整时间（SettlingTime）：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。（5）延迟时间（DelayTime）：响应曲线从零上升稳态值50％所需的时间。常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振荡次数。3.3.4时域分析性能指标（6）振荡次数：在调整时间响应曲线振荡的次数。33二阶系统的时间响应汇总课件欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:1上升时间当时，由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:1上升时间当时结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr

越长；当阻尼比一定时，n越大，则tr越短。结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当阻当时，2峰值时间当时，2峰值时间3最大超调量00.10.20.30.40.50.60.7110072.952.737.225.416.39.44.30不同阻尼比的最大超调量3最大超调量00.10.20.30.40.50.60.71结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比值有密切的关系

阻尼比越小，超调量越大。结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比值有密切阻（4）调整时间包络线函数为：以进入5％误差范围为例：（4）调整时间包络线函数为：以进入5％误差范围为例：当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入5％的误差范围。同理可证，欠阻尼的二阶系统进入2％的误差范围，则有：结论：调节时间ts近似与成反比关系。

当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入5％的误差范围。同（5）延迟时间

令在较大的值范围内，近似有

时，亦可用（5）延迟时间令在较大的值范围内，近似有时，亦可用二阶系统的动态性能由n和决定。结论

通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、

tp、ts越小。增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；二阶系统的动态性能由n和决定。结论通常根据允许的例题1

图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数D的值。m

f(t)KDxo(t)a)00.030.00292t/s

13xo(t)/mtpb)例题1图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：由图b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此又由图b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根据解得M=77.3Kg，D=181.8Nm/s

又由图b)知：解得：=0.6又由：代入，可得n=1例题2

已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。例题2已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时解：系统闭环传递函数为：1）K=200时n=31.6rad/s，=0.545解：系统闭环传递函数为：1）K=200时n=31.2）K=1500时n=86.2rad/s，=0.2，同样可计算得：tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%，ts=0.174s可见，增大K，减小，n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化2）K=1500时n=86.2rad/s，=0.23）K=13.5时n=8.22rad/s，=2.1，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中：

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时n=8.22rad/s，=2.1对于过阻尼系统，tp，Mp已无意义，而调整时间ts可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。对于过阻尼系统，tp，Mp已无意义，而调整时间ts可以通过其3.3二阶系统的瞬态响应令：式中——阻尼系数，——无阻尼振荡角频率。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。开环:闭环:3.3.1二阶系统数学模型及其标准形式3.3二阶系统的瞬态响应令：式中——阻尼系数，RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，可得

3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布33二阶系统的时间响应汇总课件

(1).

欠阻尼

是一对共轭复数根。

(2).临界阻尼

是两个相同的负实根。

(3).过阻尼

是两个不同的负实根。

(4).无阻尼

是一对共轭纯虚数根。(1).欠阻尼3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为下面按阻尼比分别讨论。3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应1.当时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率共扼复根:令:1.当时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率共扼复根:令:33二阶系统的时间响应汇总课件即：—有阻尼振荡角频率；——滞后角度。—衰减指数；式中:即：—有阻尼振荡角频率；——滞后角度。—衰减指数；式中:s1s2βs1s2β讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ξωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd，

(2)振荡周期为

(3)ξ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。讨论:2.临界阻尼(ξ＝1)

此时，系统具有二重负实极点，则2.临界阻尼(ξ＝1)单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位特点：单调上升，无振荡、无超调；

xo()=1，无稳态误差。特点：单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无3.过阻尼(ξ>1)

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则3.过阻尼(ξ>1)拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1瞬态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长

xo()=1，无稳态误差特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo()=4.零阻尼情况（）这是一条平均值为1的余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。

4.零阻尼情况（）这是一条平均值为1的余弦形5.负阻尼情况（）

分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指数项变为正指数，故随着时间时，其输出，即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。0t

xo(t)-1<<0t

0xo(t)<-1特点：单调发散特点：振荡发散5.负阻尼情况（）分析方法0123456789101112nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0不同ξ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112ntc(t)0.20.4几点结论：二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快;

=0时，出现等幅振荡。几点结论：二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：<0工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。几点结论：工程中除了一些不允许产生振荡的应用，一定时，n越大

系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率域里提出，时域内的比较直观。瞬态响应性能指标包括：（1）上升时间（RiseTime）：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所需的时间。（3）最大超调量（MaximumOvershoot）：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示。（2）峰值时间（PeakTime）：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的时间。3.3.4时域分析性能指标系统性能指标可以在时间域里提（6）振荡次数：在调整时间响应曲线振荡的次数。

上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统的快速性，而最大超调量、振荡次数反映系统的相对稳定性。（4）调整时间（SettlingTime）：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。（5）延迟时间（DelayTime）：响应曲线从零上升稳态值50％所需的时间。常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振荡次数。3.3.4时域分析性能指标（6）振荡次数：在调整时间响应曲线振荡的次数。33二阶系统的时间响应汇总课件欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:1上升时间当时，由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:1上升时间当时结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr

越长；当阻尼比一定时，n越大，则tr越短。结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当阻当时，2峰值时间当时，2峰值时间3最大超调量00.10.20.30.40.50.60.7110072.952.737.225.416.39.44.30不同阻尼比的最大超调量3最大超调量00.10.20.30.40.50.60.71结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比值有密切的关系

阻尼比越小，超调量越大。结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比值有密切阻（4）调整时间包络线函数为：以进入5％误差范围为例：（4）调整时间包络线函数为：以进入5％误差范围为例：当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入5％的误差范围。同理可证，欠阻尼的二阶系统进入2％的误差范围，则有：结论：调节时间ts近似与成反比关系。

当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入5％的误差范围。同（5）延迟时间

令在较大的值范围内，近似有

时，亦可用（5）延迟时间令在较大的值范围内，近似有时，亦可用二阶系统的动态性能由n和决定。结论

通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、

tp、ts越小。增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；二阶系统的动态性能由n和决定。结论通常根据允许的例题1

图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数D的值。m

f(t)KDxo(t)a)00.030.00292t/s

13xo(t)/mtpb)例题1图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：解：根据牛顿第二定律：其