第7章平稳过程的谱分析课件

第7章平稳过程的谱分析第7章平稳过程的谱分析1内容提要平稳过程的谱密度谱密度的性质窄带过程和白噪声过程联合平稳过程的互谱密度平稳过程通过线性系统的分析内容提要平稳过程的谱密度27.1平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(t)的谱分析能谱密度功率密度截尾函数：平均功率7.1平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(3平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密度平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密4功率谱密度[定义]设

{X(t),<t<

}是均方连续的随机过程，称

为X(t)的平均功率。称

为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。当X(t)是均方连续的平稳过程时，功率谱密度[定义]设{X(t),<t<5[解][例1](例7.1)设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；

(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平稳过程[解][例1](例7.1)设有随机过程X(t)=a6对平稳随机序列，均值为0，如果当在上取值时，若绝对一致收敛，则是上的连续函数，称为平稳序列的谱密度。这时目录对平稳随机序列，77.2功率谱密度的性质设

{X(t),<t<

}是均方连续平稳过程，RX

()为它的相关函数，其功率谱密度sX

()具有如下性质：(1)（维纳-辛钦定理）若，则sX

()是RX

()的傅里叶变换；当X(t)为实平稳过程时，7.2功率谱密度的性质设{X(t),<t8谱密度的性质sX

()是的实值非负函数；实平稳过程的谱密度是偶函数；(4)当sX

()是的有理函数时，其形式必为其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)为常数，且a2n>0,m>n，分母无实根。谱密度的性质sX()是的实值非负函数；(4)9sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度

sX

()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。GX()sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度sX10例2(例7.2)[解]已知平稳过程的相关函数为，其中a>0,0

为常数，求谱密度sX().例2(例7.2)[解]已知平稳过程的相关函数为11例3(例7.3)已知平稳过程的谱密度为，求相关函数RX()及平均功率2.例3(例7.3)已知平稳过程的谱密度为12例4(例7.5)设平稳随机序列的谱密度为求相关函数RX(n).目录例4(例7.5)设平稳随机序列的谱密度为13常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P120）常见的平稳过程的147.3窄带过程及白噪声过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度：sX()s012-2-10RX()07.3窄带过程及白噪声过程相关函数：窄带随机过程——谱密度15函数具有下列性质的函数称为函数：[注]

1与()是一对傅式变换。函数有一个重要的运算性质，即对任何连续函数f(x):或因此函数具有下列性质的函数称为函数：[注]1与()16白噪声过程[定义]设

{X(t),<t<

}为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即sX

()=N0(<<)

，则称X(t)为白噪声过程。相关函数：[定义′]

称均值为零、相关函数RX

()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。目录白噪声过程[定义]设{X(t),<t<177.4联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数RXY()满足，则称

是X(t)和Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。7.4联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和18互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，则(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函数，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函数；互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和Y19联合平稳过程的谱密度若

X(t)和Y(t)相互正交，则设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则联合平稳过程的谱密度若X(t)和Y(t)相互正交，20[例3]

如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)的平稳性，并求Y(t)的谱密度。[解]Y(t)是平稳过程。X(t)Y(t)延迟T目录[例3]如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)21

线性时不变系统系统：线性系统：时不变系统：7.5平稳过程通过线性系统的分析线性时不变系统系统：线性系统：时不变系统：7.5平稳过程22

下列微分算子和积分算子是线性时不变的（1）（2）下列微分算子和积分算子是线性时不变的（1）（2）23频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，输出

y(t)等于输入

x(t)与单位脉冲响应

h(t)的卷积，傅式变换——输出频谱Y

()与输入频谱

X()的关系：频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，输出y(t)等于24定理1设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号x(t)=eit时，则输出为其中定理1设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号x(t)=e25随机过程通过线性系统的输出设线性系统的单位脉冲响应为h(t)，当输入一个随机过程X(t)时，其输出随机过程Y(t)为傅式变换：随机过程通过线性系统的输出设线性系统的单位脉冲响应为h(26线性系统输出的均值设线性系统的输入随机过程X(t)的均值为mX(t)，则其输出过程Y(t)的均值为当输入过程X(t)为均值平稳时，线性系统输出的均值设线性系统的输入随机过程X(t)的均27线性系统输出的相关函数设线性系统的输入随机过程X(t)的相关函数为RX(t1,t2)，则其输出过程Y(t)的相关函数为当输入过程X(t)为自相关平稳时，线性系统输出的相关函数设线性系统的输入随机过程X(t)28输出与输入的互相关函数同理，当输入过程X(t)为自相关平稳时，输出与输入的互相关函数同理，当输入过程X(t)为自相关29输出相关函数输出相关函数30输出过程的平稳特性当线性系统输入一平稳过程X(t)时，其输出过程Y(t)的均值mY(t)为常数，相关函数RY(t1,t2)=RY()只与时间差有关，故输出过程Y(t)也是平稳的。由于互相关函数RYX()和RXY()也都只与时间差有关，故输出过程Y(t)与输入过程X(t)之间还是联合平稳的。输出过程的平稳特性当线性系统输入一平稳过程X(t)时，31例4

(例7.14)（h(t)的估计）设线性系统输入一个白噪声过程

X(t)，其相关函数为RX()=N0

()，则假定过程X

(t)和Y

(t)是各态历经的，例4(例7.14)（h(t)的估计）设线性系统输入一个白32线性系统的谱密度设线性系统的频率响应函数为H()，当输入平稳过程X(t)具有谱密度sX()时，则输出平稳过程Y(t)的谱密度为线性系统的谱密度设线性系统的频率响应函数为H()，当输入平33[例5](例7.15)如图RC电路，若输入白噪声电压X(t)，其相关函数为RX()=N0

()，求输出电压Y(t)的相关函数和平均功率。[解]X(t)Y(t)RC[例5](例7.15)如图RC电路，若输入白噪声电压X34[例6](例7.17)如图有两个LTI系统H1()和H2()，若输入同一个均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2(t)。如何设计H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相关？[解]X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相关协方差为零当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时，则它们的输出Y1(t)和Y2(t)互不相关。目录[例6](例7.17)如图有两个LTI系统H1()和H235第7章平稳过程的谱分析第7章平稳过程的谱分析36内容提要平稳过程的谱密度谱密度的性质窄带过程和白噪声过程联合平稳过程的互谱密度平稳过程通过线性系统的分析内容提要平稳过程的谱密度377.1平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(t)的谱分析能谱密度功率密度截尾函数：平均功率7.1平稳过程的功率谱密度帕塞伐公式：普通时间函数x(38平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密度平稳过程的谱分析设X(t)是均方连续的随机过程，功率谱密39功率谱密度[定义]设

{X(t),<t<

}是均方连续的随机过程，称

为X(t)的平均功率。称

为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。当X(t)是均方连续的平稳过程时，功率谱密度[定义]设{X(t),<t<40[解][例1](例7.1)设有随机过程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；

(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。(1)随机过程X(t)是平稳过程，相关函数：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平稳过程[解][例1](例7.1)设有随机过程X(t)=a41对平稳随机序列，均值为0，如果当在上取值时，若绝对一致收敛，则是上的连续函数，称为平稳序列的谱密度。这时目录对平稳随机序列，427.2功率谱密度的性质设

{X(t),<t<

}是均方连续平稳过程，RX

()为它的相关函数，其功率谱密度sX

()具有如下性质：(1)（维纳-辛钦定理）若，则sX

()是RX

()的傅里叶变换；当X(t)为实平稳过程时，7.2功率谱密度的性质设{X(t),<t43谱密度的性质sX

()是的实值非负函数；实平稳过程的谱密度是偶函数；(4)当sX

()是的有理函数时，其形式必为其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)为常数，且a2n>0,m>n，分母无实根。谱密度的性质sX()是的实值非负函数；(4)44sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度

sX

()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。GX()sX()单边功率谱单边功率谱——实平稳过程的谱密度sX45例2(例7.2)[解]已知平稳过程的相关函数为，其中a>0,0

为常数，求谱密度sX().例2(例7.2)[解]已知平稳过程的相关函数为46例3(例7.3)已知平稳过程的谱密度为，求相关函数RX()及平均功率2.例3(例7.3)已知平稳过程的谱密度为47例4(例7.5)设平稳随机序列的谱密度为求相关函数RX(n).目录例4(例7.5)设平稳随机序列的谱密度为48常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P120）常见的平稳过程的497.3窄带过程及白噪声过程相关函数：窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度：sX()s012-2-10RX()07.3窄带过程及白噪声过程相关函数：窄带随机过程——谱密度50函数具有下列性质的函数称为函数：[注]

1与()是一对傅式变换。函数有一个重要的运算性质，即对任何连续函数f(x):或因此函数具有下列性质的函数称为函数：[注]1与()51白噪声过程[定义]设

{X(t),<t<

}为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即sX

()=N0(<<)

，则称X(t)为白噪声过程。相关函数：[定义′]

称均值为零、相关函数RX

()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。目录白噪声过程[定义]设{X(t),<t<527.4联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数RXY()满足，则称

是X(t)和Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。7.4联合平稳过程的互谱密度[定义]设X(t)和53互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，则(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函数，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函数；互谱密度的性质(1)(3)(4)若X(t)和Y54联合平稳过程的谱密度若

X(t)和Y(t)相互正交，则设X(t)和Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则联合平稳过程的谱密度若X(t)和Y(t)相互正交，55[例3]

如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)的平稳性，并求Y(t)的谱密度。[解]Y(t)是平稳过程。X(t)Y(t)延迟T目录[例3]如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)56

线性时不变系统系统：线性系统：时不变系统：7.5平稳过程通过线性系统的分析线性时不变系统系统：线性系统：时不变系统：7.5平稳过程57

下列微分算子和积分算子是线性时不变的（1）（2）下列微分算子和积分算子是线性时不变的（1）（2）58频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，输出

y(t)等于输入

x(t)与单位脉冲响应

h(t)的卷积，傅式变换——输出频谱Y

()与输入频谱

X()的关系：频率响应与脉冲响应对于线性时不变系统，输出y(t)等于59定理1设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号x(t)=eit时，则输出为其中定理1设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号x(t)=e60随机过程通过线性系统的输出设线性系统的单位脉冲响应为h(t)，当输入一个随机过程X(t)时，其输出随机过程Y(t)为傅式变换：随机过程通过线性系统的输出设线性系统的单位脉冲响应为h(61线性系统输出的均值设线性系统的输入随机过程X(t)的均值为mX(t)，则其输出过程Y(t)的均值为当输入过程X(t)为均值平稳时，线性系统输出的均值设线性系统的输入随机过程X(t)的均62线性系统输出的相关函数设线性系统的输入随机过程X(t)的相关函数为RX(t1,t2)，则其输出过程Y(t)的相关函数为当输入过程X(t)为自相关平稳时，线性系统输出的相关函数设线性系统的输入随机过程X(t)63输出与输入的互相关函数同理，当输入过程X(t)为自相关平稳时，输出与输入的互相关函数同理，当输入过程X(t)为自相关64输出相关函数输出相关函数65输出过程的平稳特性当线性系统输入一平稳过程X(t)时，其输出过程Y