第一章线性空间与线性变换课件

第一章线性空间与线性变换第一章本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。

几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所§1、线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。§1、线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中一、线性空间(LinearSpace)的概念存在零向量，使得定义1

如果非空集合对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合为数域上的线性空间或向量空间：存在负向量，使得一、线性空间(LinearSpace)的概念存在零向量注意：这里我们不再关心元素的特定属性，也不关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。注意：这里我们不再关心元素的特定属性，也不关心这些线性运算（例1次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间例2闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间例3所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。例4所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间。例1次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加例5齐次线性方程组的所有解的集合构成数域上的线性空间，称为的解空间，或矩阵的核空间或零空间，即例5齐次线性方程组的所有解例6所有矩阵向量积的集合构成数域上的线性空间，称为矩阵的列空间或值域，也称为矩阵的像，即例6所有矩阵向量积的集合构成数域例7集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。例8线性非齐次方程组的解集不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。例7集合二、线性空间的基本性质定理1如果是数域上的线性空间，则线性空间中的零向量是唯一的。线性空间中的每个向量的负向量是唯一的。当时，有或当时，有二、线性空间的基本性质定理1如果是数域上的线性三、线性子空间(Subspace)例9集合是一个向量空间。它是在平面上的投影子空间。例10中过原点的直线是的一个子空间。定义2

设是线性空间的非空子集。如果在中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称是的（线性）子空间。三、线性子空间(Subspace)例9集合定理2（子空间判别法）数域上的线性空间的非空子集是的子空间的充要条件是对中的两种运算封闭，即(i)对任意的，有(ii)对任意的，有定理2（子空间判别法）数域上的线性空间的例11已知是数域上的线性空间，，则集合是的一个子空间。称为由向量所生成的子空间，记为或一般地，由线性空间中的向量组所生成的线性空间记作或例11已知是数域上的线性空间，例12对任意，是的子空间；是的子空间。例12对任意§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间，因此相应的许多结论在一般的线性空间中也是成立的。尤其是坐标，将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension)定义1

给定线性空间，如果存在中的一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任意向量都能由线性表示。即存在数，使则向量组就称为的一个基，系数就称为向量在此基下的坐标，基中的向量个数称为线性空间的维数，记为一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)说明:

（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.

（2）若向量组是线性空间的一个基，则可表示为

（3）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.

（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.说明:（1）若把线性空间看作无穷个向量组

（5）的0维子空间是，1维子空间是经过原点的任意直线，2维子空间是经过原点的任意平面，3维子空间是它自身。

（6）中，不经过原点的任意直线的集合显然可看成某个经过原点的直线集合（显然是1维子空间）适当平移而来，即存在和，使称为中的一个线性流形（linearManifold）

（7）研究维向量空间，通过它的基及向量的坐标表示，就转化为研究向量空间。（5）的0维子空间是定理1

数域上的线性空间中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。定理2（基的扩张定理）数域上的维线性空间中的任意一个线性无关向量组

都可以扩充成的一组基。定理1数域上的线性空间中的任意向量在给定例1在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是证明也是的基,并求及在此基下的坐标。例1在线性空间中，显然证明分析：容易验证线性无关，因此也是的基。由泰勒公式，可知所以所求坐标分别为和分析：容易验证线性无二、基变换(changeofbasis)和坐标变换定义2

设和是维线性空间的两个基，且存在可逆矩阵，使得则称上式为基变换公式，矩阵为基到基的过渡矩阵(transitionmatrix)，且由例1可知，同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的，因此要寻找向量在不同基下的坐标之间的关系。二、基变换(changeofbasis)和坐标变换定义2

那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？由基的定义，在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．定理3

设维线性空间中向量在基与基下的坐标分别为，，则成立坐标变换公式：或这里为基到基的过渡矩阵。那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？由基的定证明：而所以由于由于可逆，所以也有证明：而所以由于由于可逆，所以也有例1（续）由题，在基下的坐标为而且，基到基的过渡矩阵为所以例1（续）由题，在基例2已知矩阵空间的两组基：求基(I)到基(II)的过渡矩阵。例2已知矩阵空间的两组基：解：引入的标准基：则基(III)到基(I)的过渡矩阵为解：引入的而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以从而所以基(I)到基(II)的过渡矩阵为从而所以基(I)到基(II)的过渡矩阵为§3、子空间的交与和整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通过部分来获知整体”，从而达到“解剖麻雀”的效果。对线性空间的研究亦是如此。我们希望通过线性子空间的研究，能够更加深刻地揭示整个线性空间的结构。§3、子空间的交与和整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通一、子空间的交(intersection)与和(sum)定理1

设是数域上线性空间的两个子空间，则它们的交也是的子空间。定理2

设是数域上线性空间的两个子空间，则集合（称为与的和）也是的子空间。一、子空间的交(intersection)与和(sum)定理（i)交换律可以验证，子空间的交与和有下列运算律：（ii)结合律根据归纳法可知，和都是的子空间。（i)交换律可以验证，子空间的交与和有下列运算律：例1设是线性空间的子空间，且则例1设是线性空间例2设求的基与维数。例2设求所以设，则解得因此所以的基为，维数为解：所以设由例1知由前得即然而线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故由例1知由前得即然而定理3

（维数公式）设是数域上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且注意到例2中这并不是偶然的。子空间之和的维数不大于它们维数的和。何时等于？定理3（维数公式）设是数二、子空间的直和(directsum)定义1

设是数域上的线性空间的两个子空间，如果则称为与的直和，记作显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。二、子空间的直和(directsum)定义1设定理4

设是数域上的线性空间的两个子空间，则下列命题是等价的：（1）是直和；（2）；（3）和中零向量的表示法唯一，即若则（4）和中每个向量的表示法是唯一的。定理4设是数域上的线性空间的两个证明：根据维数公式显然成立。根据维数公式所以设存在向量，有则所以显然成立。证明：根据维数公对任意向量，有根据（3），零向量的表示是唯一的，因此对任意向量例3设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明均为线性空间的子空间。试证明证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即又根据定理4可知结论成立。例3设分别是阶实定理5（直和分解）设是数域上的线性空间的一个子空间，则一定存在的另一个子空间，使得子空间具有直和分解并称和是一对互补的子空间，或者是的补子空间。显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。定理5（直和分解）设是数域上的线性空间显然直注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若显然，是的一个子空间，几何上很容易看出，和都是的补子空间。注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分§4、线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。§4、线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间一、线性变换(LinearTransformation)的概念定义1

设是数域上的两个线性空间，映射称为到的线性变换或线性算子(LinearOperator

)，如果对中的任意两个向量和任意的数，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性)并称为在下的像（image），而是的原像（inverseimage）。一、线性变换(LinearTransformation)的例1由下式确定的映射是线性变换。当矩阵是对角矩阵时，此例中的变换显然就是一种伸缩变换。特别地，如果是单位矩阵，这个变换就是一种恒等变换。例1由下式当矩阵是对角矩阵时，此例中的例2（旋转变换或Givens变换）将线性空间中的所有向量均绕原点顺时针旋转角的变换就是一个线性变换。这时像与原像之间的关系为例2（旋转变换或Givens变换）将线性空间例3由下式确定的线性空间到其自身的映射是线性变换。这里称为线性变换的特征值（eigenvalue)，非零向量称为的对应于特征值的特征向量(eigenvector)。例3由下式例4数域上的所有无限次可导实函数的集合是一个线性空间。则由下式确定的求导运算是上的一个线性变换。例4数域上的所有无限次可导实函数的集合例5闭区间上的所有实连续函数的集合构成上的一个线性空间。则由下式确定的求积运算是上的一个线性变换。例4和例5表明，微积分的两个基本运算（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。例5闭区间上的所有实连二、线性变换的基本性质定理1如果是线性变换，则零向量对应零向量叠加原理二、线性变换的基本性质定理1如果是定理2如果表示上的所有线性变换的集合，并且对任意则可以验证，都是线性变换，因此也是数域上的线性空间。定理2如果表示上的所有线性变换的集合，定义2线性空间上的线性变换称为可逆的，如果存在上的线性变换，使这里表示上的恒等变换，即对任意，有定义2线性空间上的线性变换称为可逆例6将线性空间中的所有向量均绕原点逆时针旋转角的变换就是例2中的线性变换的逆变换。这时像与原像之间的关系为特别地，要使，则角度满足例6将线性空间中的所有向量均绕原点对任意定理3设是线性空间上的一组基。对于中任意一组向量，必存在唯一的线性变换，使得定义所求变换如下即可：特别地，是可逆的当且仅当也是的基。对任意定理3设是线性空间上三、线性变换的矩阵表示的基映射为。维线性空间上的线性变换将由于仍然是基的线性组合，所以令因此三、线性变换的矩阵表示的基这里，矩阵称为线性变换(在基下)的矩阵表示。

因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。这里，矩阵称为线性变换(在基因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为对中的任意向量，显然其在线性变换下的像为因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为对中的例7在矩阵空间中定义线性变换：求在标准基（I)下的矩阵，这里例7在矩阵空间中定义线性解：解：所以在标准基（I)下的矩阵为所以在标准基（I)下的矩阵为同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改变呢？则设为维线性空间上的线性变换，对于的基和的矩阵表示分别是和，并且基到基的过渡矩阵为，即有：故同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改变呢？则设定义3

对阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵（即满秩矩阵），使则称与相似，或相似于。按变换的观点，则称相似变换矩阵将相似变换为。据此定义可知，同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的。相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。定义3对阶矩阵，如果存例8在多项式空间中，设定义线性变换试求的一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。例8在多项式空间中，设并且设所求基为，由于同一线性变换在不同基下的矩阵相似，因此有解：这里标准基在线性变换下的矩阵表示为并且设所求基为由求得因此所求基为由矩阵的特征值为

显然可以验证线性变换满足矩阵的特征值为显然可以验证线性变换满足称矩阵为多项式的友矩阵，这里例9对于多项式称矩阵为多项式当矩阵有两两不同的特征值时，可以验证，通过Vandermonde矩阵可以将矩阵的特征多项式的友矩阵相似变换为对角矩阵这里当矩阵有两两不同的特征值时，可以验证，通过Van例10已知矩阵与相似，其中求可逆阵，使。例10已知矩阵与相似，其中求可逆存在可逆矩阵，使

由于都与同一个对角阵相似，因此使用来“过渡”。即下面求可逆矩阵。所以即首先求特征值。显然的特征值为因为相似，所以这也是的特征值。解：存在可逆矩阵，使对于，解，得基础解系接着求可逆矩阵对于，解，得基础解系所以对于，解对于，解，得基础解系接着求可逆矩阵对于，解，得基础解系所以对于，解因此因此四、线性变换的值域与核定义4设是数域上的线性空间上的线性变换。令称是线性变换的值域，而是线性变换的核。的维数称为的秩，的维数称为的零度。四、线性变换的值域与核定义4设是数域上的定理4设是数域上的线性空间上的线性变换。令在的一组基下的矩阵表示为，则（1）和都是的子空间；（2）（3）（4）定理4设是数域上的线性空间上的线性变如果是线性无关的，则有，结论成立。证明：（4）设，在中取一组基，根据扩充定理，将它扩充成的基，则如果是线性无关的，则因为线性无关，所以事实上，设，则从而因此有因为线性无关，所以事实上，设注意：（1）虽然，但一般有（2）当且仅当，也即当且仅当时变换是可逆的。注意：（1）虽然例11*

设线性变换在4维线性空间的基下的矩阵为例11*设线性变换在4维线性空间（1）求的一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵；（2）求的一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵。（1）求的一组基，把它解：（1）对任意有因此解得基础解系解：（1）对任意有因此解得基础解系则的基为将的基扩张为的基则的基为将由于由于从而所以在的这组基下的矩阵为从而所以在的这组基下的矩阵为（2）由于从而这说明（2）由于从而这说明由于将的基扩张为的基由于将的基扩张为从而这样从而这样所以在的这组基下的矩阵为所以在的这组基下的矩阵为例12对于Sylvester方程如果矩阵有公共特征值，那么变换是不可逆的。定义Sylvester变换例12对于Sylvester方程如果矩阵则证明：设分别为矩阵的右、左特征对，即有如果有，则，即所以，因此变换不可逆。则证明：设分别为矩阵的右因此没有公共特征值也是Sylvester矩阵方程有唯一解的充要条件。此例说明，变换可逆的必要条件是矩阵没有公共特征值。以后可以证明，这个条件也是充分的。因此没有公共特征值也是Sylvester矩阵五、线性变换的不变子空间（Invariantsubspace）定义5设是数域上的线性空间上的线性变换，是的子空间。如果对任意向量都有，则称是的不变子空间。并且称线性变换为在上的限制（restriction)，即五、线性变换的不变子空间（Invariantsubsp例13线性空间和零子空间都是上的线性变换的（平凡）不变子空间。例14线性空间上的线性变换的像和核都是的不变子空间。例13线性空间和零子空间例15线性空间上的线性变换的对应于某个特征值的所有特征向量加上零向量组成的集合也是的子空间，称为的特征子空间(eigenspace)。进一步，也是的不变子空间。例15线性空间上的线性变换的定理5线性变换的不变子空间的交与和仍然是的不变子空间。定理6线性空间上的线性变换有非平凡的不变子空间的充要条件是在的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？定理5线性变换的不变子空间的交与和仍然是证明：必要性。设在的一组基下的矩阵为块上三角矩阵其中。由知，对，有证明：必要性。设在的一组基令，则是的一个维子空间。并且。因此对中的任意向量有根据定义，并注意到，所以是的非平凡不变子空间。令，则是证明：充分性。设是的一个维子空间，并且，则。将中的一组基扩充成的一组基因为，则证明：充分性。设是的一个维子空间，并且因此因此其中从而充分性得证。其中从而充分性得证。定理7线性空间上的线性变换在的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件是可以分解为的不变子空间的直和这里为限制在相应基下的矩阵表示。定理7线性空间上的线性变换在的一推论维线性空间上的线性变换在的某个基下的矩阵表示为对角矩阵的充要条件是可以分解为的个一维特征子空间的直和这里为的两两不同的特征值。推论维线性空间上的线性变换在例16求中矩阵所对应的线性变换的所有非平凡不变子空间，其中例16求中矩阵所对应的线性变解：的三个特征值为对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为不全为零。因此的所有不变子空间为和，这里解：的三个特征值为对第一章线性空间与线性变换第一章本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。

几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所§1、线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。§1、线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中一、线性空间(LinearSpace)的概念存在零向量，使得定义1

如果非空集合对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合为数域上的线性空间或向量空间：存在负向量，使得一、线性空间(LinearSpace)的概念存在零向量注意：这里我们不再关心元素的特定属性，也不关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。注意：这里我们不再关心元素的特定属性，也不关心这些线性运算（例1次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间例2闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间例3所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。例4所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间。例1次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加例5齐次线性方程组的所有解的集合构成数域上的线性空间，称为的解空间，或矩阵的核空间或零空间，即例5齐次线性方程组的所有解例6所有矩阵向量积的集合构成数域上的线性空间，称为矩阵的列空间或值域，也称为矩阵的像，即例6所有矩阵向量积的集合构成数域例7集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。例8线性非齐次方程组的解集不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。例7集合二、线性空间的基本性质定理1如果是数域上的线性空间，则线性空间中的零向量是唯一的。线性空间中的每个向量的负向量是唯一的。当时，有或当时，有二、线性空间的基本性质定理1如果是数域上的线性三、线性子空间(Subspace)例9集合是一个向量空间。它是在平面上的投影子空间。例10中过原点的直线是的一个子空间。定义2

设是线性空间的非空子集。如果在中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称是的（线性）子空间。三、线性子空间(Subspace)例9集合定理2（子空间判别法）数域上的线性空间的非空子集是的子空间的充要条件是对中的两种运算封闭，即(i)对任意的，有(ii)对任意的，有定理2（子空间判别法）数域上的线性空间的例11已知是数域上的线性空间，，则集合是的一个子空间。称为由向量所生成的子空间，记为或一般地，由线性空间中的向量组所生成的线性空间记作或例11已知是数域上的线性空间，例12对任意，是的子空间；是的子空间。例12对任意§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间，因此相应的许多结论在一般的线性空间中也是成立的。尤其是坐标，将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension)定义1

给定线性空间，如果存在中的一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任意向量都能由线性表示。即存在数，使则向量组就称为的一个基，系数就称为向量在此基下的坐标，基中的向量个数称为线性空间的维数，记为一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)说明:

（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.

（2）若向量组是线性空间的一个基，则可表示为

（3）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.

（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.说明:（1）若把线性空间看作无穷个向量组

（5）的0维子空间是，1维子空间是经过原点的任意直线，2维子空间是经过原点的任意平面，3维子空间是它自身。

（6）中，不经过原点的任意直线的集合显然可看成某个经过原点的直线集合（显然是1维子空间）适当平移而来，即存在和，使称为中的一个线性流形（linearManifold）

（7）研究维向量空间，通过它的基及向量的坐标表示，就转化为研究向量空间。（5）的0维子空间是定理1

数域上的线性空间中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。定理2（基的扩张定理）数域上的维线性空间中的任意一个线性无关向量组

都可以扩充成的一组基。定理1数域上的线性空间中的任意向量在给定例1在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是证明也是的基,并求及在此基下的坐标。例1在线性空间中，显然证明分析：容易验证线性无关，因此也是的基。由泰勒公式，可知所以所求坐标分别为和分析：容易验证线性无二、基变换(changeofbasis)和坐标变换定义2

设和是维线性空间的两个基，且存在可逆矩阵，使得则称上式为基变换公式，矩阵为基到基的过渡矩阵(transitionmatrix)，且由例1可知，同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的，因此要寻找向量在不同基下的坐标之间的关系。二、基变换(changeofbasis)和坐标变换定义2

那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？由基的定义，在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．定理3

设维线性空间中向量在基与基下的坐标分别为，，则成立坐标变换公式：或这里为基到基的过渡矩阵。那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？由基的定证明：而所以由于由于可逆，所以也有证明：而所以由于由于可逆，所以也有例1（续）由题，在基下的坐标为而且，基到基的过渡矩阵为所以例1（续）由题，在基例2已知矩阵空间的两组基：求基(I)到基(II)的过渡矩阵。例2已知矩阵空间的两组基：解：引入的标准基：则基(III)到基(I)的过渡矩阵为解：引入的而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以从而所以基(I)到基(II)的过渡矩阵为从而所以基(I)到基(II)的过渡矩阵为§3、子空间的交与和整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通过部分来获知整体”，从而达到“解剖麻雀”的效果。对线性空间的研究亦是如此。我们希望通过线性子空间的研究，能够更加深刻地揭示整个线性空间的结构。§3、子空间的交与和整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通一、子空间的交(intersection)与和(sum)定理1

设是数域上线性空间的两个子空间，则它们的交也是的子空间。定理2

设是数域上线性空间的两个子空间，则集合（称为与的和）也是的子空间。一、子空间的交(intersection)与和(sum)定理（i)交换律可以验证，子空间的交与和有下列运算律：（ii)结合律根据归纳法可知，和都是的子空间。（i)交换律可以验证，子空间的交与和有下列运算律：例1设是线性空间的子空间，且则例1设是线性空间例2设求的基与维数。例2设求所以设，则解得因此所以的基为，维数为解：所以设由例1知由前得即然而线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故由例1知由前得即然而定理3

（维数公式）设是数域上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且注意到例2中这并不是偶然的。子空间之和的维数不大于它们维数的和。何时等于？定理3（维数公式）设是数二、子空间的直和(directsum)定义1

设是数域上的线性空间的两个子空间，如果则称为与的直和，记作显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。二、子空间的直和(directsum)定义1设定理4

设是数域上的线性空间的两个子空间，则下列命题是等价的：（1）是直和；（2）；（3）和中零向量的表示法唯一，即若则（4）和中每个向量的表示法是唯一的。定理4设是数域上的线性空间的两个证明：根据维数公式显然成立。根据维数公式所以设存在向量，有则所以显然成立。证明：根据维数公对任意向量，有根据（3），零向量的表示是唯一的，因此对任意向量例3设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明均为线性空间的子空间。试证明证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即又根据定理4可知结论成立。例3设分别是阶实定理5（直和分解）设是数域上的线性空间的一个子空间，则一定存在的另一个子空间，使得子空间具有直和分解并称和是一对互补的子空间，或者是的补子空间。显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。定理5（直和分解）设是数域上的线性空间显然直注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若显然，是的一个子空间，几何上很容易看出，和都是的补子空间。注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分§4、线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。§4、线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间一、线性变换(LinearTransformation)的概念定义1

设是数域上的两个线性空间，映射称为到的线性变换或线性算子(LinearOperator

)，如果对中的任意两个向量和任意的数，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性)并称为在下的像（image），而是的原像（inverseimage）。一、线性变换(LinearTransformation)的例1由下式确定的映射是线性变换。当矩阵是对角矩阵时，此例中的变换显然就是一种伸缩变换。特别地，如果是单位矩阵，这个变换就是一种恒等变换。例1由下式当矩阵是对角矩阵时，此例中的例2（旋转变换或Givens变换）将线性空间中的所有向量均绕原点顺时针旋转角的变换就是一个线性变换。这时像与原像之间的关系为例2（旋转变换或Givens变换）将线性空间例3由下式确定的线性空间到其自身的映射是线性变换。这里称为线性变换的特征值（eigenvalue)，非零向量称为的对应于特征值的特征向量(eigenvector)。例3由下式例4数域上的所有无限次可导实函数的集合是一个线性空间。则由下式确定的求导运算是上的一个线性变换。例4数域上的所有无限次可导实函数的集合例5闭区间上的所有实连续函数的集合构成上的一个线性空间。则由下式确定的求积运算是上的一个线性变换。例4和例5表明，微积分的两个基本运算（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。例5闭区间上的所有实连二、线性变换的基本性质定理1如果是线性变换，则零向量对应零向量叠加原理二、线性变换的基本性质定理1如果是定理2如果表示上的所有线性变换的集合，并且对任意则可以验证，都是线性变换，因此也是数域上的线性空间。定理2如果表示上的所有线性变换的集合，定义2线性空间上的线性变换称为可逆的，如果存在上的线性变换，使这里表示上的恒等变换，即对任意，有定义2线性空间上的线性变换称为可逆例6将线性空间中的所有向量均绕原点逆时针旋转角的变换就是例2中的线性变换的逆变换。这时像与原像之间的关系为特别地，要使，则角度满足例6将线性空间中的所有向量均绕原点对任意定理3设是线性空间上的一组基。对于中任意一组向量，必存在唯一的线性变换，使得定义所求变换如下即可：特别地，是可逆的当且仅当也是的基。对任意定理3设是线性空间上三、线性变换的矩阵表示的基映射为。维线性空间上的线性变换将由于仍然是基的线性组合，所以令因此三、线性变换的矩阵表示的基这里，矩阵称为线性变换(在基下)的矩阵表示。

因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。这里，矩阵称为线性变换(在基因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为对中的任意向量，显然其在线性变换下的像为因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为对中的例7在矩阵空间中定义线性变换：求在标准基（I)下的矩阵，这里例7在矩阵空间中定义线性解：解：所以在标准基（I)下的矩阵为所以在标准基（I)下的矩阵为同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改变呢？则设为维线性空间上的线性变换，对于的基和的矩阵表示分别是和，并且基到基的过渡矩阵为，即有：故同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改变呢？则设定义3

对阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵（即满秩矩阵），使则称与相似，或相似于。按变换的观点，则称相似变换矩阵将相似变换为。据此定义可知，同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的。相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。定义3对阶矩阵，如果存例8在多项式空间中，设定义线性变换试求