第三章-微分形式的基本方程课件

B3.1微分形式的质量守恒方程B3.1.1流体运动的连续性原理

不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，

称其为流体运动的连续性原理。

17世纪，哈维发现人体血液循环理论

质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。

历史上对连续性的认识古

代，漏壶、水流计时16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程B3.1.1流体运动的连续性原理(2-1)B3.1微分形式的质量守恒方程B3.1.1流体运动的1B3.1.1流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液循环理论

解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向

流动，从静脉末端到心脏也

是单向流动

定量测量：每小时流出心脏血液245kg

大胆预言：从动脉到静脉再回心脏

45年后发现：毛细血管的存在血液循环理论——流体连续性原理的胜利血液循环图B3.1.1流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液2B3.1.2微分形式的连续性方程

x，y，z方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律单位时间单位体积内边长为,,的长方体控制体元，内x方向净流出的质量B3.1.2微分形式的连续性方程(2-1)B3.1.2微分形式的连续性方程x，y，z方向净流出质3B3.1.2微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程B3.1.2微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运4[例B3.1.2]

不可压缩流动连续性方程

已知：不可压缩流体平面流动（C为常数）求：

v

解：

由不可压缩流动连续性方程的二维形式可得（B3.1.11）当f(x)=0，表示位于原点的点涡流动；当f(x)=U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；讨论：本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制约的。[例B3.1.2]不可压缩流动连续性方程已知：不可压缩流5B3.2作用在流体元上的力B3.2.1体积力和表面力1.体积力长程力穿越空间作用到流体元上万有引力电磁力惯性力与流体元体积成正比体积力单位质量流体上的体积力单位体积流体上的体积力B3.2.1体积力和表面力(2-1)B3.2作用在流体元上的力B3.2.1体积力和表面力16B3.2.1体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接触面作用压强粘性切应力与表面面积和方位有关表面力表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。n——面积元外法线单位矢－n——面积元内法线单位矢（注意：

和不一定与垂直）B3.2.1体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接7B3.2.2重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能B3.2.2重力场B3.2.2重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表8B3.2.3应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面应力用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为B3.2.3应力场(4-1)应力矩阵B3.2.3应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面9作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.3应力场(4-2)作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.310B3.2.3应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止流体的应力状态结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.只有法向应力无切应力B3.2.3应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止11B3.2.3应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性流体中的(平均)压强在法向应力中把压强分离出来为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）压强矩阵偏应力矩阵应力矩阵表示为B3.2.3应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性12[例B3.2.3]

平面线性剪切流中的应力状态

已知：平面线性剪切流求：

应力状态

解:附加法向应力切应力讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，x,y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。

法向应力（k为常数）[例B3.2.3]平面线性剪切流中的应力状态已知：平面线13[例B3.2.3A]

刚体旋转流动:纯旋转(2-1)

已知：二维不可压缩平面流场为求：

试分析该流场中的应力状态

（k为常数）解：附加法向应力[例B3.2.3A]刚体旋转流动:纯旋转(2-1)已知：14流体中任一点的法向应力为

切向应力为讨论：（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场的法向应力均等于平衡压强。（2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。[例B3.2.3A]

刚体旋转流动:纯旋转(2-2)

流体中任一点的法向应力为切向应力为讨论：（1）线应变率处处15B3.3微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为各面元上

x方向表面应力的分量如图示。B3.3微分形式的动量方程(2-1)

表面力合力

dFsx

由应力梯度造成B3.3微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运16x方向的体积力分量为将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用和质点导数概念，可化为同理可得上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。

B3.3微分形式的动量方程(2-2)x方向的体积力分量为将dFsx和dFbx代入运动方程，并利17B3.4纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维；2.流体各向同性；3.静止时法向应力等于静压强。均代入粘性流体运动一般微分方程对牛顿流体（μ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程(4-1)

不可压缩条件（ρ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定18B3.4纳维－斯托克斯方程(4-2)

可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(N－S方程)N－S方程的适用条件是：常数常数，B3.4纳维－斯托克斯方程(4-2)可得均质不可压缩牛19B3.4纳维－斯托克斯方程(4-3)

N－S方程的矢量式为N－S方程的意义和求解：

物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡

u、v、w、p，方程组是封闭的；加上连续性方程，四个方程求解四个未知数在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时可求数值解;对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。

B3.4纳维－斯托克斯方程(4-3)N－S方程的矢量式20B3.4纳维－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－－平衡方程相对平衡方程欧拉方程－惯性力体积力＝粘性力＋＝＝＝＋压力00B3.4纳维－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－21B3.5边界条件与初始条件1.常见边界条件(1)固体壁面粘性流体：不滑移条件(图a)无粘性流体：法向速度连续(图b)v=v固

vn=v

n固

(2)外流无穷远条件v=v∞，

p=p∞

B3.5边界条件与初始条件

(2-1)B3.5边界条件与初始条件1.常见边界条件(1)固体壁面22(3)内流出入口条件v

=vin

(out)，

p

=pin(out)

(4)自由面条件2.初始条件定常流时无初始条件不定常流时给出某时刻的参数值：v(t0),p(t0),ρ

(t0)

等B3.5边界条件与初始条件(2-2)

(3)内流出入口条件v=vin(out)，p23[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡(θ)作定常层流流动，流层 深h，自由面上为大气压（p＝0）。(a)求：(1)速度分布(2)压强分布(3)切应力分布(4)流量

解：在图示坐标系中连续性方程和N－S方程为(b)(c)[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不24[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-2)因v＝0，由（a）式由（c）式由边界条件(1):y=h,p=0,C(x)=,压强分布为且，由(b)式积分两次[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性层流(3-2)因v＝025流量

速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的二次函数，流量为h的三次函数。

切应力分布[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-3)由边界条件(2):y=0,u=0

可得

C2

=0由边界条件(3):y=b,流量速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的26B3.6压强场由N－S方程粘性流动＋＝绝对平衡相对平衡无粘性流动＝＝＋＝B3.6压强场

＋＋B3.6压强场由N－S方程粘性流动＋＝绝对平衡相对平衡无粘27B3.6.1静止重力流体中的压强分布均质静止流体ρ=常数，u＝v＝w＝0在重力场中上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。积分可得B3.6.1静止重力流体中的压强分布

(3-1)1.压强分布一般表达式由N-S方程可得B3.6.1静止重力流体中的压强分布均质静止流体28B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由液面的重力液体压强公式为自由面上的压强，h为淹深(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系(2)在水平方向压强保持常数B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由29B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-3)3.等压面在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。在静止重力流体中的等压面为水平面h＝常数右图中3－3为等压面非等压面1－1为不连通液体2－2为不同液体B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-3)3.等压面在30[例B3.6.1]

静压强分布图[例B3.6.1]静压强分布图31B3.6.2压强计示方式与单位压强计示方式习惯上取压强基准真空度

完全真空绝对压强表压强大气压强B3.6.2压强计算方法与单位(2-1)由压强公式p0提供压强基准B3.6.2压强计示方式与单位压强计示方式习惯上取压强基准32B3.6.2压强计算方法与单位(2-2)

2.压强单位标准大气压atm(标准国际大气模型)液柱高：•国际单位制（SI）：帕斯卡Pa

毫米汞柱mmHg（血压计）米水柱mH2O

（水头高）测压管高度

h=pA/ρgB3.6.2压强计算方法与单位(2-2)2.压强单位标33[例B3.6.2]

单管测压计（2－1）已知：图示密封容器中液体(ρ),在A点接上单管测压计求：

与测压管高度h的关系解：(表压强)h为被测点的淹深，称为测压管高度.讨论：液面在压强推动下上升至h高度，压强势能转化为重力势能。

压强势能重力势能[例B3.6.2]单管测压计（2－1）已知：图示密封容器中34[例B3.6.2]

U形管测压计（2－2）解：沿U形管右支液面取等压面，列平衡方程已知：图示封闭容器中为水,U形管水银测压计 中Δh

=10cm求：

(,表压强真空压强绝对压强）[例B3.6.2]U形管测压计（2－2）解：沿U形管右支35[例B3.6.2A]

U形管差压计解：沿U形管左支液面取等压面1－1已知：图示盛满水封闭容器高差, U形管水银测压计中液面差Δh

=10cm求：

(,表压强绝对压强）[例B3.6.2A]U形管差压计解：沿U形管左支液面取等36B3.6.3运动流场中的压强分布压强系数1.惯性力对压强分布的影响p0，v0为参考值，对外流场取p∞，v∞

B3.6.3运动流场中的压强分布

(3-1)文丘里管流动B3.6.3运动流场中的压强分布压强系数1.惯性力对压强37B3.6.3运动流场中的压强分布无粘流场压强分布静止流场压强分布2.粘性力对压强分布的影响B3.6.3运动流场中的压强分布(3-2)

B3.6.3运动流场中的压强分布无粘流场静止流场压强38B3.6.3运动流场中的压强分布汽车与飞机绕流B3.6.3运动流场中的压强分布(3-3)

3.复杂物面的压强分布B3.6.3运动流场中的压强分布汽车与飞机绕流B3.6.39B3.1微分形式的质量守恒方程B3.1.1流体运动的连续性原理

不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，

称其为流体运动的连续性原理。

17世纪，哈维发现人体血液循环理论

质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。

历史上对连续性的认识古

代，漏壶、水流计时16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程B3.1.1流体运动的连续性原理(2-1)B3.1微分形式的质量守恒方程B3.1.1流体运动的40B3.1.1流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液循环理论

解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向

流动，从静脉末端到心脏也

是单向流动

定量测量：每小时流出心脏血液245kg

大胆预言：从动脉到静脉再回心脏

45年后发现：毛细血管的存在血液循环理论——流体连续性原理的胜利血液循环图B3.1.1流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液41B3.1.2微分形式的连续性方程

x，y，z方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律单位时间单位体积内边长为,,的长方体控制体元，内x方向净流出的质量B3.1.2微分形式的连续性方程(2-1)B3.1.2微分形式的连续性方程x，y，z方向净流出质42B3.1.2微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程B3.1.2微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运43[例B3.1.2]

不可压缩流动连续性方程

已知：不可压缩流体平面流动（C为常数）求：

v

解：

由不可压缩流动连续性方程的二维形式可得（B3.1.11）当f(x)=0，表示位于原点的点涡流动；当f(x)=U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；讨论：本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制约的。[例B3.1.2]不可压缩流动连续性方程已知：不可压缩流44B3.2作用在流体元上的力B3.2.1体积力和表面力1.体积力长程力穿越空间作用到流体元上万有引力电磁力惯性力与流体元体积成正比体积力单位质量流体上的体积力单位体积流体上的体积力B3.2.1体积力和表面力(2-1)B3.2作用在流体元上的力B3.2.1体积力和表面力145B3.2.1体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接触面作用压强粘性切应力与表面面积和方位有关表面力表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。n——面积元外法线单位矢－n——面积元内法线单位矢（注意：

和不一定与垂直）B3.2.1体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接46B3.2.2重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能B3.2.2重力场B3.2.2重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表47B3.2.3应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面应力用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为B3.2.3应力场(4-1)应力矩阵B3.2.3应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面48作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.3应力场(4-2)作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.349B3.2.3应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止流体的应力状态结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.只有法向应力无切应力B3.2.3应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止50B3.2.3应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性流体中的(平均)压强在法向应力中把压强分离出来为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）压强矩阵偏应力矩阵应力矩阵表示为B3.2.3应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性51[例B3.2.3]

平面线性剪切流中的应力状态

已知：平面线性剪切流求：

应力状态

解:附加法向应力切应力讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，x,y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。

法向应力（k为常数）[例B3.2.3]平面线性剪切流中的应力状态已知：平面线52[例B3.2.3A]

刚体旋转流动:纯旋转(2-1)

已知：二维不可压缩平面流场为求：

试分析该流场中的应力状态

（k为常数）解：附加法向应力[例B3.2.3A]刚体旋转流动:纯旋转(2-1)已知：53流体中任一点的法向应力为

切向应力为讨论：（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场的法向应力均等于平衡压强。（2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。[例B3.2.3A]

刚体旋转流动:纯旋转(2-2)

流体中任一点的法向应力为切向应力为讨论：（1）线应变率处处54B3.3微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为各面元上

x方向表面应力的分量如图示。B3.3微分形式的动量方程(2-1)

表面力合力

dFsx

由应力梯度造成B3.3微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运55x方向的体积力分量为将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用和质点导数概念，可化为同理可得上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。

B3.3微分形式的动量方程(2-2)x方向的体积力分量为将dFsx和dFbx代入运动方程，并利56B3.4纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维；2.流体各向同性；3.静止时法向应力等于静压强。均代入粘性流体运动一般微分方程对牛顿流体（μ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程(4-1)

不可压缩条件（ρ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定57B3.4纳维－斯托克斯方程(4-2)

可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(N－S方程)N－S方程的适用条件是：常数常数，B3.4纳维－斯托克斯方程(4-2)可得均质不可压缩牛58B3.4纳维－斯托克斯方程(4-3)

N－S方程的矢量式为N－S方程的意义和求解：

物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡

u、v、w、p，方程组是封闭的；加上连续性方程，四个方程求解四个未知数在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时可求数值解;对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。

B3.4纳维－斯托克斯方程(4-3)N－S方程的矢量式59B3.4纳维－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－－平衡方程相对平衡方程欧拉方程－惯性力体积力＝粘性力＋＝＝＝＋压力00B3.4纳维－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－60B3.5边界条件与初始条件1.常见边界条件(1)固体壁面粘性流体：不滑移条件(图a)无粘性流体：法向速度连续(图b)v=v固

vn=v

n固

(2)外流无穷远条件v=v∞，

p=p∞

B3.5边界条件与初始条件

(2-1)B3.5边界条件与初始条件1.常见边界条件(1)固体壁面61(3)内流出入口条件v

=vin

(out)，

p

=pin(out)

(4)自由面条件2.初始条件定常流时无初始条件不定常流时给出某时刻的参数值：v(t0),p(t0),ρ

(t0)

等B3.5边界条件与初始条件(2-2)

(3)内流出入口条件v=vin(out)，p62[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡(θ)作定常层流流动，流层 深h，自由面上为大气压（p＝0）。(a)求：(1)速度分布(2)压强分布(3)切应力分布(4)流量

解：在图示坐标系中连续性方程和N－S方程为(b)(c)[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不63[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-2)因v＝0，由（a）式由（c）式由边界条件(1):y=h,p=0,C(x)=,压强分布为且，由(b)式积分两次[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性层流(3-2)因v＝064流量

速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的二次函数，流量为h的三次函数。

切应力分布[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性层流(3-3)由边界条件(2):y=0,u=0

可得

C2

=0由边界条件(3):y=b,流量速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的65B3.6压强场由N－S方程粘性流动＋＝绝对平衡相对平衡无粘性流动＝＝＋＝B3.6压强场

＋＋B3.6压强场由N－S方程粘性流动＋＝绝对平衡相对平衡无粘66B3.6.1静止重力流体中的压强分布均质静止流体ρ=常数，u＝v＝w＝0在重力场中上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。积分可得B3.6.1静止重力流体中的压强分布

(3-1)1.压强分布一般表达式由N-S方程可得B3.6.1静止重力流体中的压强分布均质静止流体67B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由液面的重力液体压强公式为自由面上的压强，h为淹深(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系(2)在水平方向压强保持常数B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由68B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-3)3.等压面在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。在静止重力流体中的等压面为水平面h＝常数右图中3－3为等压面非等压面1－1为不连通液体2－2为不同液体B3.6.1静止重力流体中的压强分布(3-3)3.