初等变换与初等矩阵课件

教学目的掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵和解方程组。作业重点初等变换的代数化定理练习册第17-21页T1－5其中交：P17－20，T1－3难点初等变换与初等矩阵的关系讲授方法按照章节顺序讲授讲授内容主线初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变换内容概括初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还能解方程。子式定义的秩初等行变换求班级：

时间：年月日；星期

第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵1教学目的掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准形矩阵。理解初第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：第三章第一节和第二节下次课讲：第三章第三节第四节下次上课时交作业第17页到第18页2第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：2一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵如第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵3一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念将矩阵用若干条纵线和2.分块矩阵的运算规则

分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。如：设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中与为同型矩阵，那么第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵42.分块矩阵的运算规则分块矩阵运算把握2点，第一，子4.分块对角矩阵：设A

为n阶矩阵，如果A的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列性质：（b）若则并有（a)OO第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵54.分块对角矩阵：设A为n阶矩阵，如果A的对角线分块若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵6若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论第六讲：分3.分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程组可记作将B按列分块第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵73.分块运算的作用记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程若将系数矩阵A

按行分成m

块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作若将系数矩阵A

按列分成n

块，则线性方程组可记作即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵8若将系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组可记作这就相例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵9例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵9第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵10第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵10第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵11第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵11第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵12第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵12（1）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，（ii）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。二、几类特殊矩阵——行阶梯、行最简与标准型矩阵（2）行最简形矩阵及其特点（i）是一个行阶梯形矩阵；（ii）非零行的第一个非零元为1，该元素所在的列的其它元素都为0，如：为行最简形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵13（1）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只（3）矩阵的标准型形如其中为

r

阶单位矩阵。的矩阵称为标准形矩阵，如：就是一个标准形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵14（3）矩阵的标准型形如其中为r阶单位矩阵。的矩简要概括特点：1.行阶梯的3个特点：1.画成阶梯，且每阶梯首元不为0；2.每阶梯1行；3.阶梯下全为0。

2.行最简3个特征：1.是行阶梯；2.首元为1，3.1所在列余元为0变换的逆变换就是本身；变换的逆变换是（或记作）；2.初等变换性质1）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的变换的逆变换是或记作）。三、初等变换1.定义第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵15简要概括特点：变换的逆变换就是本身；变2）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性A~A；（ii）对称性若A~B，则B~A；（iii）传递性若A~B，B~C，则A~C.如果矩阵A

经有限次初等变换变成矩阵

B，就称矩阵A

与矩阵B等价，记作A~B.3.初等变换的作用：（1）一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；（2）一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。矩阵A行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；有限次初等行变换1.2.对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵162）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性A~例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵17例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵173.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。就是说，经过初等行变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。如方程组：这一方程组与原方程组同解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵183.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵例1:化成行最简形.设把解:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵19例1:化成行最简形.设把解:第六讲：分块矩阵、初等变换与四、初等矩阵的概念定义4由单位矩阵

E

经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。（1）对调两行或对调两列：注意记法：E(i,j)把单位矩阵中第i,j两行对调(),得初等矩阵第i

行第j

行初等矩阵分3类1.初等矩阵的概念第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵20四、初等矩阵的概念定义4由单位矩阵E经过一次初等变换得到（2）以数k≠0

乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的第

i

行（），得初等矩阵第i

行第i

行第j

行（3）以数k

乘某行（列）加到另一行（列）上去第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵21（2）以数k≠0乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的（1）变换的逆变换就是其本身，则（2）变换的逆变换是，则（3）变换的逆变换是，则初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：2.初等矩阵的可逆性第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵22（1）变换的逆变换就是其本身，则（2）1.A的1次初等行变换是A的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵231.A的1次初等行变换是A的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与证明：设A经过一次第3类行初等变换rij（k）后变成B，记作：A~B，这B也是m*n阵，将A、B按行分块，则有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵24证明：设A经过一次第3类行初等变换rij（k）后变成B，记作第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵25第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵25定理：方阵

A

可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积1)充分性：若存在有限个初等矩阵证:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵26定理：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.任一可2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设其标准形矩阵为F,则F经有限次初等变换可以变成A,由定理1，即存在有限个初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵272)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，由该定理，显然可推出如下重要结论：推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵五、系列初等行变换等同于A左边乘一可逆矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵28由该定理，显然可推出如下重要结论：五、系列初等行变换等同于A第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵29第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵29同样讨论列的情况：可得到如下结论：初等列变换第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵30同样讨论列的情况：可得到如下结论：初等列变换第六讲：分块矩阵例2设求解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵31例2设求解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵31所以5.用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组AX=b,这里，假定A是方阵且可逆第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵32所以5.用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵33第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵33例3求矩阵X，使AX=b1，AX＝b2其中第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵34例3求矩阵X，使AX=b1，AX＝b2其中第六讲：分块可对矩阵作初等列变换，使初等列变换如果要解形如的方程组，且A可逆，则或对矩阵初等行变换，使初等行变换即从而求得Y.第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵35可对矩阵作初等列变换，使初等列变换如果要解形如的例4：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，B的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为分析：按照题意，用初等矩阵描述，有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵36例4：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2教学目的掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵和解方程组。作业重点初等变换的代数化定理练习册第17-21页T1－5其中交：P17－20，T1－3难点初等变换与初等矩阵的关系讲授方法按照章节顺序讲授讲授内容主线初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变换内容概括初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还能解方程。子式定义的秩初等行变换求班级：

时间：年月日；星期

第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵37教学目的掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准形矩阵。理解初第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：第三章第一节和第二节下次课讲：第三章第三节第四节下次上课时交作业第17页到第18页38第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：2一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵如第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵39一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念将矩阵用若干条纵线和2.分块矩阵的运算规则

分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。如：设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中与为同型矩阵，那么第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵402.分块矩阵的运算规则分块矩阵运算把握2点，第一，子4.分块对角矩阵：设A

为n阶矩阵，如果A的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列性质：（b）若则并有（a)OO第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵414.分块对角矩阵：设A为n阶矩阵，如果A的对角线分块若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵42若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论第六讲：分3.分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程组可记作将B按列分块第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵433.分块运算的作用记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程若将系数矩阵A

按行分成m

块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作若将系数矩阵A

按列分成n

块，则线性方程组可记作即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵44若将系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组可记作这就相例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵45例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵9第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵46第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵10第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵47第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵11第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵48第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵12（1）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，（ii）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。二、几类特殊矩阵——行阶梯、行最简与标准型矩阵（2）行最简形矩阵及其特点（i）是一个行阶梯形矩阵；（ii）非零行的第一个非零元为1，该元素所在的列的其它元素都为0，如：为行最简形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵49（1）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只（3）矩阵的标准型形如其中为

r

阶单位矩阵。的矩阵称为标准形矩阵，如：就是一个标准形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵50（3）矩阵的标准型形如其中为r阶单位矩阵。的矩简要概括特点：1.行阶梯的3个特点：1.画成阶梯，且每阶梯首元不为0；2.每阶梯1行；3.阶梯下全为0。

2.行最简3个特征：1.是行阶梯；2.首元为1，3.1所在列余元为0变换的逆变换就是本身；变换的逆变换是（或记作）；2.初等变换性质1）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的变换的逆变换是或记作）。三、初等变换1.定义第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵51简要概括特点：变换的逆变换就是本身；变2）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性A~A；（ii）对称性若A~B，则B~A；（iii）传递性若A~B，B~C，则A~C.如果矩阵A

经有限次初等变换变成矩阵

B，就称矩阵A

与矩阵B等价，记作A~B.3.初等变换的作用：（1）一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；（2）一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。矩阵A行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；有限次初等行变换1.2.对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵522）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性A~例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵53例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵173.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。就是说，经过初等行变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。如方程组：这一方程组与原方程组同解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵543.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵例1:化成行最简形.设把解:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵55例1:化成行最简形.设把解:第六讲：分块矩阵、初等变换与四、初等矩阵的概念定义4由单位矩阵

E

经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。（1）对调两行或对调两列：注意记法：E(i,j)把单位矩阵中第i,j两行对调(),得初等矩阵第i

行第j

行初等矩阵分3类1.初等矩阵的概念第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵56四、初等矩阵的概念定义4由单位矩阵E经过一次初等变换得到（2）以数k≠0

乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的第

i

行（），得初等矩阵第i

行第i

行第j

行（3）以数k

乘某行（列）加到另一行（列）上去第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵57（2）以数k≠0乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的（1）变换的逆变换就是其本身，则（2）变换的逆变换是，则（3）变换的逆变换是，则初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：2.初等矩阵的可逆性第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵58（1）变换的逆变换就是其本身，则（2）1.A的1次初等行变换是A的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵591.A的1次初等行变换是A的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与证明：设A经过一次第3类行初等变换rij（k）后变成B，记作：A~B，这B也是m*n阵，将A、B按行分块，则有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵60证明：设A经过一次第3类行初等变换rij（k）后变成B，记作第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵61第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵25定理：方阵

A

可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积1)充分性：若存在有限个初等矩阵证:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵62定理：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.任一可2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等