薛定谔方程课件

微观粒子运动的统计规律宏观物体的运动遵循经典力学原理。而测不准原理告诉我们，具有波粒二象性的微观粒子不能同时测准其位置和动量，因此不能找到类似宏观物体的运动轨道。那么微观粒子的运动遵循的规律是什么呢？

微观粒子运动的统计规律宏观物体的运动遵循经典1进一步考察前面提到的Davisson和Germer所做的电子衍射实验，实验结果是在屏幕上得到明暗相间的衍射环纹。

若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐渐增多，其分布开始呈现规律性得到明暗相间衍射环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可以看成是电子的粒子性的统计结果。进一步考察前面提到的Davisson和2

这种统计的结果表明，对于微观粒子的运动，虽然不能同时准确地测出单个粒子的位置和动量，但它在空间某个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。

从电子衍射的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。所以说电子的运动可以用统计性的规律去进行研究。这种统计的结果表明，对于微观3要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，用该函数的图象与这个空间区域建立联系。这种函数就是微观粒子运动的波函数。

1926年奥地利物理学家E.Schrödinger建立了著名的微观粒子的波动方程，即Schrödinger方程。描述微观粒子运动状态的波函数，就是解Schrodinger方程求出的。

要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数4由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x方向传播的平面机械波可表示为：用复数的表示：但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性(波粒二像性)德布罗意关系式得：量子力学基本假设之一——自由粒子的波函数自由粒子德布罗意波的波函数§16-1波函数及其统计诠释由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x方向传播的平面机械波5波函数3.波函数的物理意义：(Born解释)光波波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，‘波函数’是什么？它既不是位移y；又不是电矢量E结论某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。物质波波动：电子波的强度微粒：（电子数）（单个电子在该处出现的几率）（波函数模的平方）电子衍射实验解释:二者皆可.这意味着粒子与波一一对应波函数又称为几率波波函数3.波函数的物理意义：(Born解释)光波波动：衍射图6与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！物质波是什么呢？对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。结论几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。宏观物体：讨论它的位置在哪里。微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。区别与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？7波函数的性质——几率密度1）波函数具有归一性粒子在整个空间出现的几率：波函数的归一化条件粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在（x,y,z）附近的体积元dt

中，出现粒子的几率为：表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率=1波函数的性质——几率密度1）波函数具有归一性粒子在整个空间出84）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。2）连续性:

一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值。在空间各点都有粒子出现的可能。波函数的标准化条件波函数的归一性波函数的连续性波函数的有限性

3）有限性:

保证波函数是平方可积。1）归一性：4）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。9组合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。它是由微观粒子波粒二象性所决定的。处于态1和态2的几率分别为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：第三项为相干项满足态叠加原理组合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性10波函数的一些概念总结（2）

波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；（3）

波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；（4）

波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；y和10y描述的是同一个波函数。（1）

波函数是几率波波函数的一些概念总结（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准11

微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变应当由运动方程来描写.§16.2Schrodinger方程一、薛定谔方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动121 引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况1 引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻13（2）量子情况1．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ,ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。3．方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。（2）量子情况1．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(142 自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：2 自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参15(1)–(2)式(1)–(2)式16薛定谔方程课件17该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场U(r)中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：做（4）式的算符替换得：该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。18注：1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，它的正确性来自实践。2）此方程只对V<<C的粒子成立薛定谔方程体系势能量子力学的第二个重要假定注：1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，2）此方程19讨论:1薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；2.薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。3.薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.4.薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程,因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子i，波函数是复函数.5.只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写讨论:2.薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性20二、定态Schrodinger方程现在让我们讨论外场不含时间情况下的Schrodinger方程：可分离变量令：代入二、定态Schrodinger方程现在让我们讨论外场不含时间21于是有:第一个方程可以解得:第二个方程称为定态Schrodinger方程整理后,可以得到如下两个方程:于是有:第一个方程可以解得:第二个方程称为定态Schrod22注：1）粒子的几率密度当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为:——与时间无关即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态2）粒子的定态能级的能量值就是E定态是指能量有确定值状态几率分布是确定的—与玻尔理论对应注：1）粒子的几率密度当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为23定态薛定谔方程的意义:*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数与它的运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程.**方程的解表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E(参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.只有E为一些特定的值时，方程才有解，这些E值叫本征值，与这些E值对应的波函数叫本征函数.总之，‘解定态薛定谔方程’，就是求出：(2)与这些状态对应确定能量E，从而动量P

(1)波函数表示粒子所处的各个可能的稳定状态.定态薛定谔方程的意义:*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一24三.波动力学中力学量算符—量子力学的第三个基本假设例如：能量算符（哈密顿算符）：量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。

动量算符：算符的数学特性及表示的物理含义：（1）力学量算符的本征方程、本征值和本征态能量本征方程动量本征方程三.波动力学中力学量算符—量子力学的第三个基本假设例如：能25角动量算符的表达式：角动量算符的表达式：26角动量算符的模方定义为：球坐标角动量算符的模方定义为：球坐标27四、本征值和本征函数是力学量A取确定值时的本征态称上式为算符的本征值方程。

是力学量

的一个本征值。由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的可能取值。当力学量算符作用在波函数上，其结果是同一个函数乘以一个常量时：四、本征值和本征函数是力学量A取确定值时的本征态28（1）坐标平均值为简单，舍去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设ψ(x)是归一化波函数，|ψ(x)|2是粒子出现在x点的几率密度，则对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现在r点的几率密度，则x的平均值为若粒子所处的状态不是该力学量得本征态,则该力学量就不具有确定值,而是具有一系列可能值,这些可能值具有确定的概率分布,由概率分布就可以计算其平均值.在量子力学中,任何一个力学量的平均值都可以用下式表示:（1）坐标平均值对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，|ψ29一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（2）动量平均值一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（230举例：动量算符的本征值方程是式中是动量算符的本征值，在直角坐标系下为均为实数。动量本征值方程的解举例：动量算符的本征值方程是式中是动量算符的本征值，在31Hamilton算符的本征值方程Hamilton算符的本征值方程32Hamilton算符的本征值方程的解Hamilton算符的本征值方程的解33五.概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数概率密度为概率密度随时间变化率薛定谔方程五.概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数概率密34积分表达式：则-----概率守恒的微分表达式上式:左边,是体积V内概率的增长率右边,单位时间内通过V的表面流入V的概率.令或积分表达式：则-----概率守恒的微分表达式上式:左35当r时，可以证明右边积分0，

对一粒子而言，在全空间找到它的概率总和不随时间变化或波函数的归一化不随时间变化.1.概率守恒是有定域性质的：当粒子在空间某处概率减小时,必然在另一处概率增加,总概率不变.2.薛定谔是非相对论量子力学的基本方程：实物粒子没有产生和湮没的现象，所以随时间演化过程中,粒子数目保持不变，概率守恒是必然的.积分表达式：概率守恒的微分表达式：当r时，可以证明右边积分0，对一粒子36定态薛定谔方程的应用1一维无限深势阱中粒子的运动（1）求解.设粒子处在势阱U(x)中（定态问题）在0<x<a的区域中，粒子的定态薛方程为：其通解为：显然，在的区域中：解：定态薛定谔方程的应用1一维无限深势阱中粒子的运动（1）求37式中A、B、k可由边界条件、归一化条件确定边界条件‘

k

’是什么？——能量本征值

这样的波函数不满足归一化条件!其通解为：则：若注意：式中A、B、k可由边界条件、归一化条件确定边界条件‘38式中的A可由归一化条件确定：方程的解为：薛方程的解：即：势阱中电子的波函数：——本征函数1一维无限深势阱中粒子的运动式中的A可由归一化条件确定：方程的解为：薛方程的解：即：势39能量是量子化的相邻两能级的间隔：当势阱宽度a小到原子的尺度，E很大，能量的量子化显著当势阱宽度a大到宏观的尺度，E很小，能量量子化不显著可把能量看成连续，回到了经典理论（2）一维无限深方势阱中粒子特点：这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设量子数例.电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：——量子化显著若电子在a=10-2m的宏观势阱中——不可分辨，量子化消失能量是量子化的相邻两能级的间隔：当势阱宽度a小到原子的尺度40粒子的能级图当时经典量子等价玻尔的对应原理（2）一维无限深方势阱中粒子特点：在高能级上可看成能级连续分布粒子的能级图当时经典量子等41势阱中电子最低能量不可能为零（

与a有关，居然与v无关！）经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。----动能(因U=0)这是由测不准关系决定的!（2）一维无限深方势阱中粒子特点：势阱中电子最低能量不可能为零（与a有关，居然与v无关！）42电子势阱中各处出现的几率n+1个节点稳定的驻波能级！ax00aa/2电子势阱中各处出现的几率n+1个节点稳定的驻波能级！ax0043（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。例：n=8（4）当n，粒子在各处出现的几率相同——量子化消失（能级连成一片）说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒子在

0<x<a范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。（3）第n个能级,波函数在总区间内有n+1个节点。节点处找到粒子的几率为零.（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，例：n=8（4442、势垒贯穿（隧道效应）（1）有限方势垒：薛方程：OIII其解为：（EU＝U0,衰减解）(EU＝0,振动解）电子逸出金属表面的模型dIII2、势垒贯穿（隧道效应）（1）有限方势垒：薛方程：OIII其45微观粒子运动的统计规律宏观物体的运动遵循经典力学原理。而测不准原理告诉我们，具有波粒二象性的微观粒子不能同时测准其位置和动量，因此不能找到类似宏观物体的运动轨道。那么微观粒子的运动遵循的规律是什么呢？

微观粒子运动的统计规律宏观物体的运动遵循经典46进一步考察前面提到的Davisson和Germer所做的电子衍射实验，实验结果是在屏幕上得到明暗相间的衍射环纹。

若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐渐增多，其分布开始呈现规律性得到明暗相间衍射环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可以看成是电子的粒子性的统计结果。进一步考察前面提到的Davisson和47

这种统计的结果表明，对于微观粒子的运动，虽然不能同时准确地测出单个粒子的位置和动量，但它在空间某个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。

从电子衍射的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。所以说电子的运动可以用统计性的规律去进行研究。这种统计的结果表明，对于微观48要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，用该函数的图象与这个空间区域建立联系。这种函数就是微观粒子运动的波函数。

1926年奥地利物理学家E.Schrödinger建立了著名的微观粒子的波动方程，即Schrödinger方程。描述微观粒子运动状态的波函数，就是解Schrodinger方程求出的。

要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数49由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x方向传播的平面机械波可表示为：用复数的表示：但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性(波粒二像性)德布罗意关系式得：量子力学基本假设之一——自由粒子的波函数自由粒子德布罗意波的波函数§16-1波函数及其统计诠释由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x方向传播的平面机械波50波函数3.波函数的物理意义：(Born解释)光波波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，‘波函数’是什么？它既不是位移y；又不是电矢量E结论某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。物质波波动：电子波的强度微粒：（电子数）（单个电子在该处出现的几率）（波函数模的平方）电子衍射实验解释:二者皆可.这意味着粒子与波一一对应波函数又称为几率波波函数3.波函数的物理意义：(Born解释)光波波动：衍射图51与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！物质波是什么呢？对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。结论几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。宏观物体：讨论它的位置在哪里。微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。区别与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？52波函数的性质——几率密度1）波函数具有归一性粒子在整个空间出现的几率：波函数的归一化条件粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在（x,y,z）附近的体积元dt

中，出现粒子的几率为：表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率=1波函数的性质——几率密度1）波函数具有归一性粒子在整个空间出534）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。2）连续性:

一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值。在空间各点都有粒子出现的可能。波函数的标准化条件波函数的归一性波函数的连续性波函数的有限性

3）有限性:

保证波函数是平方可积。1）归一性：4）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。54组合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。它是由微观粒子波粒二象性所决定的。处于态1和态2的几率分别为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：第三项为相干项满足态叠加原理组合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性55波函数的一些概念总结（2）

波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；（3）

波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；（4）

波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；y和10y描述的是同一个波函数。（1）

波函数是几率波波函数的一些概念总结（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准56

微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变应当由运动方程来描写.§16.2Schrodinger方程一、薛定谔方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动571 引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况1 引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻58（2）量子情况1．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ,ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。3．方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。（2）量子情况1．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(592 自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：2 自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参60(1)–(2)式(1)–(2)式61薛定谔方程课件62该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场U(r)中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：做（4）式的算符替换得：该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。63注：1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，它的正确性来自实践。2）此方程只对V<<C的粒子成立薛定谔方程体系势能量子力学的第二个重要假定注：1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，2）此方程64讨论:1薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；2.薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。3.薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.4.薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程,因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子i，波函数是复函数.5.只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写讨论:2.薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性65二、定态Schrodinger方程现在让我们讨论外场不含时间情况下的Schrodinger方程：可分离变量令：代入二、定态Schrodinger方程现在让我们讨论外场不含时间66于是有:第一个方程可以解得:第二个方程称为定态Schrodinger方程整理后,可以得到如下两个方程:于是有:第一个方程可以解得:第二个方程称为定态Schrod67注：1）粒子的几率密度当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为:——与时间无关即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态2）粒子的定态能级的能量值就是E定态是指能量有确定值状态几率分布是确定的—与玻尔理论对应注：1）粒子的几率密度当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为68定态薛定谔方程的意义:*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数与它的运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程.**方程的解表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E(参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.只有E为一些特定的值时，方程才有解，这些E值叫本征值，与这些E值对应的波函数叫本征函数.总之，‘解定态薛定谔方程’，就是求出：(2)与这些状态对应确定能量E，从而动量P

(1)波函数表示粒子所处的各个可能的稳定状态.定态薛定谔方程的意义:*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一69三.波动力学中力学量算符—量子力学的第三个基本假设例如：能量算符（哈密顿算符）：量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。

动量算符：算符的数学特性及表示的物理含义：（1）力学量算符的本征方程、本征值和本征态能量本征方程动量本征方程三.波动力学中力学量算符—量子力学的第三个基本假设例如：能70角动量算符的表达式：角动量算符的表达式：71角动量算符的模方定义为：球坐标角动量算符的模方定义为：球坐标72四、本征值和本征函数是力学量A取确定值时的本征态称上式为算符的本征值方程。

是力学量

的一个本征值。由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的可能取值。当力学量算符作用在波函数上，其结果是同一个函数乘以一个常量时：四、本征值和本征函数是力学量A取确定值时的本征态73（1）坐标平均值为简单，舍去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设ψ(x)是归一化波函数，|ψ(x)|2是粒子出现在x点的几率密度，则对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现在r点的几率密度，则x的平均值为若粒子所处的状态不是该力学量得本征态,则该力学量就不具有确定值,而是具有一系列可能值,这些可能值具有确定的概率分布,由概率分布就可以计算其平均值.在量子力学中,任何一个力学量的平均值都可以用下式表示:（1）坐标平均值对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，|ψ74一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（2）动量平均值一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（275举例：动量算符的本征值方程是式中是动量算符的本征值，在直角坐标系下为均为实数。动量本征值方程的解举例：动量算符的本征值方程是式中是动量算符的本征值，在76Hamilton算符的本征值方程Hamilton算符的本征值方程77Hamilton算符的本征值方程的解Hamilton算符的本征值方程的解78五.概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数概率密度为概率密度随时间变化率薛定谔方程五.概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数概率密79积分表达式：则-----概率守恒的微分表达式上式:左边,是体积V内概率的增长率右边,单位时间内通过V的表面流入V的概率.令或积分表达式：则-----概率守恒的微分表达式上式:左80当r时，可以证明右边积分0，

对一粒子而言，在全空间找到它的概率总和不随时间变化或波函数的归一化不随时间变化.1.概率守恒是有定域性质的：当粒子在空间某处概率减小时,必然在另一处概率增加,总概率不变.2.薛定谔是非相对论量子力学的基本方程：实物粒子没有产生和湮没的现象，所以随时间演化过程中,粒子数目保持不变，概率守恒是必然的.积分表达式：概率守恒的微分表达式：当r时，可以证明右边积分0，对一粒子81定态薛定谔方程的应用1一维无限深势阱中粒子的运动（1）求解.设粒子处在势阱U(