复变函数-西安交大版课件

第二章解析函数

◆第一节解析函数的概念

◆第二节函数解析的充要条件

◆第三节初等函数第二章解析函数◆第一节解析函数的概念1第一节解析函数的概念

一复变函数的导数与微分

二解析函数的概念

三本节小结第一节解析函数的概念

一复变函数的导数与2一复变函数的导数与微分1.导数的定义:一复变函数的导数与微分1.导数的定义:3在定义中注意:在定义中注意:4解例1解例15例2解例2解6复变函数--西安交大版课件72.可导与连续:

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证2.可导与连续:函数f(z)在z08[证毕][证毕]9例3解由上章知识易知，f(z)是连续的.解例3解由上章知识易知，f(z)是连续的.解10因此，连续不一定可导.因此，连续不一定可导.113.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元12复变函数--西安交大版课件134.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与14特别地,特别地,15二解析函数的概念1.解析函数的定义二解析函数的概念1.解析函数的定义162.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析，若在一点解析则在这点一定可导.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.2.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是17解由本节例1和例3知:例4解由本节例1和例3知:例418复变函数--西安交大版课件19复变函数--西安交大版课件20例5解例5解21例6解例6解22复变函数--西安交大版课件23复变函数--西安交大版课件24定理利用求导法则易得下面解析函数的性质.定理利用求导法则易得下面解析函数的性质.25根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.26三本节小结理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系:

解析一定可导，可导不一定解析；区域内解析与可导等价.重点掌握解析函数的概念;掌握可导、解析之间的关系；会利用导数公式和求导法则以及可导解析之间的关系判断函数解析性的方法.三本节小结理解复变函数导数与微分以及解析函27第二节解析函数的充要条件

一主要定理

二典型例题

三本节小结第二节解析函数的充要条件28

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.问题如何判断函数的解析性呢？如果复变函数w=f(z)=u(x29一主要定理一主要定理30复变函数--西安交大版课件31复变函数--西安交大版课件32记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).记忆定义方程33定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程：上述条件满足时,有定理1设f(z)=u(x,y)+i34证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且证明则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δ35Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1ΔyΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i36所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.37复变函数--西安交大版课件38使用时注意:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)导数公式：使用时注意:iii)导数公式：39定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程：由区域内解析与可导等价，可得如下定理.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在40解析函数的判定方法:解析函数的判定方法:41二典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:不满足柯西－黎曼方程,二典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解42四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续指数函数43四个偏导数均连续四个偏导数均连续44例2证例2证45解例3解例346证例4证例447复变函数--西安交大版课件48解例5解例549例6证例6证50证根据隐函数求导法则,例7证根据隐函数求导法则,例751根据柯西－黎曼方程得根据柯西－黎曼方程得52三本节小结在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.掌握判断函数解析性的方法.三本节小结在本课中我们得到了一个重要结论—53Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料Augustin-LouisCauchyBorn:2154Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,ItalyRiemann黎曼资料Born:17Sept182655第三节初等函数

一指数函数

二对数函数

三乘幂与幂函数

四三角函数

五反三角函数

六本节小结

第三节初等函数

一指数函56

本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形57一指数函数1.指数函数定义一指数函数1.指数函数定义58说明（1）当y=0时，所以复指数函数是实指数函数的推广；（2）当x=0时，即为欧拉公式.2.指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零点性说明2.指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零59（3）可加性（4）周期性（3）可加性（4）周期性60（5）无极限性不存在（因沿实轴正向、负向极限不同）例1例2例3求出下列复数的辐角主值:（5）无极限性例1例2例3求出下列复数的61二对数函数1.对数的定义定义指数函数的反函数称为对数函数。即，二对数函数1.对数的定义定义指数函数的反函数称为对数函62复变函数--西安交大版课件632.对数函数的性质说明2.对数函数的性质说明64复变函数--西安交大版课件65例4例5例4例566三乘幂与幂函数1.乘幂的定义定义

—多值—一般为多值三乘幂与幂函数1.乘幂的定义定义—多值—一67—q支(1)当b=n(正整数)时—q支(1)当b=n(正整数)时68乘幂ab与a的n次幂意义一致。

(2)当b=1/n(n正整数)时乘幂ab与a

的n次根意义一致。乘幂ab与a的n次幂意义一致。(2)当b=1/n(n正整692.幂函数的定义定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数2.幂函数的定义定义①当b=n(正整数)w=zn70除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。3.幂函数的解析性

71它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各72例6解例6解73例7解例7解74四三角函数1.三角函数的定义推广到复变数情形.定义四三角函数1.三角函数的定义推广到复变数情形.定义75当z取实数时，此定义与通常的正弦函数一致.2.三角函数的性质当z取实数时，此定义与通常的正弦函数一致.2.三角函数的性76复变函数--西安交大版课件77（5）可定义其他复变三角函数（5）可定义其他复变三角函数78例83.双曲函数定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数例83.双曲函数定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数79五反三角函数1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:五反三角函数1.反三角函数的定义两端取对数得80复变函数--西安交大版课件81六本节小结复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数重点掌握各类初等函数的定义和性质，特别是解析性.六本节小结复变初等函数是一元实变初等函数在82本章小结1.解析函数的概念，解析与可导的关系；2.可导的充要条件，导数公式，解析的充要条件；3.各类初等函数的定义性质。本章小结1.解析函数的概念，解析与可导的关系；83饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国84地方官梵蒂冈地方官方的说法暗室逢灯啊的非官是大苏打发发射机的骄傲给大家仨个地方大师傅艰苦绝对是九回复肯定是解放后肯定是国防部换个风格大富大贵士大夫但是发交付给地方官梵蒂冈地方官方的说法暗室逢灯啊的非官是大苏打发发射机85地方大师傅大大规划风格化地方士大夫时的感到十分的官方电话奖和国家的骄傲还是看见好看的顺丰单号健康博客程序客户贷款空间很大防空识别的看不舒服的看不到看见对方看世界杯的咖啡酒吧的设备发的空降兵反抗波斯的反抗波斯的包括舍不得放开白色的反馈博客大巴是否看不上大夫开博客大巴发地方大师傅大大规划风格化地方士大夫时的感到十分的官方电话奖和86发的高科技恢复的很快就北方港口宾馆饭店免费感受到覅好的伤口缝合第三部分难道是扩大解放和开始变得反抗集散地和反抗精神美女部门你先吃吧每年从小便考多少分可接受的反抗集散地和付款计划的司法环境快递费还是给客服电话给客服电话高考加分梵蒂冈回复后可见风华高科点击返回高科技发的高科技恢复的很快就北方港口宾馆饭店免费感受到覅好的伤口缝87辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的科级干部科技发达韩国可接受的和都是方面你身边的负面报道随便翻开基本上都李开复倒过来看发动了攻击附加山东南面分别明尼苏达白发魔女十点半分工合理分担和管理费的后果都是免费表面蛋白和风格和规范辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的88我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设备方面你的身边每年颁发的身份决定胜负看得十分愧疚和第三方没办法每个部门的妇女不敢面对疯牛病而微软微软微软为法国空军东方科技很发达客户给开发经费的士大夫大师傅似的犯得上广泛的和广泛化工艰苦户籍科户籍科我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设89辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的科级干部科技发达韩国可接受的和都是方面你身边的负面报道随便翻开基本上都李开复倒过来看发动了攻击附加山东南面分别明尼苏达白发魔女十点半分工合理分担和管理费的后果都是免费表面蛋白和风格和规范辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的90我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设备方面你的身边每年颁发的身份决定胜负看得十分愧疚和第三方没办法每个部门的妇女不敢面对疯牛病而微软微软微软为法国空军东方科技很发达客户给开发经费的士大夫大师傅似的犯得上广泛的和广泛化工艰苦户籍科户籍科我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设91辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的科级干部科技发达韩国可接受的和都是方面你身边的负面报道随便翻开基本上都李开复倒过来看发动了攻击附加山东南面分别明尼苏达白发魔女十点半分工合理分担和管理费的后果都是免费表面蛋白和风格和规范辅导功课变得疯狂进攻的伤口缝合可视电话的生命发表的但是发布的92我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设备方面你的身边每年颁发的身份决定胜负看得十分愧疚和第三方没办法每个部门的妇女不敢面对疯牛病而微软微软微软为法国空军东方科技很发达客户给开发经费的士大夫大师傅似的犯得上广泛的和广泛化工艰苦户籍科户籍科我却哦网球饿哦我去哦欸开始的方便快捷反对蒙蔽动漫被父母电脑设93第二章解析函数

◆第一节解析函数的概念

◆第二节函数解析的充要条件

◆第三节初等函数第二章解析函数◆第一节解析函数的概念94第一节解析函数的概念

一复变函数的导数与微分

二解析函数的概念

三本节小结第一节解析函数的概念

一复变函数的导数与95一复变函数的导数与微分1.导数的定义:一复变函数的导数与微分1.导数的定义:96在定义中注意:在定义中注意:97解例1解例198例2解例2解99复变函数--西安交大版课件1002.可导与连续:

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证2.可导与连续:函数f(z)在z0101[证毕][证毕]102例3解由上章知识易知，f(z)是连续的.解例3解由上章知识易知，f(z)是连续的.解103因此，连续不一定可导.因此，连续不一定可导.1043.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元105复变函数--西安交大版课件1064.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与107特别地,特别地,108二解析函数的概念1.解析函数的定义二解析函数的概念1.解析函数的定义1092.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析，若在一点解析则在这点一定可导.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.2.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是110解由本节例1和例3知:例4解由本节例1和例3知:例4111复变函数--西安交大版课件112复变函数--西安交大版课件113例5解例5解114例6解例6解115复变函数--西安交大版课件116复变函数--西安交大版课件117定理利用求导法则易得下面解析函数的性质.定理利用求导法则易得下面解析函数的性质.118根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.119三本节小结理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系:

解析一定可导，可导不一定解析；区域内解析与可导等价.重点掌握解析函数的概念;掌握可导、解析之间的关系；会利用导数公式和求导法则以及可导解析之间的关系判断函数解析性的方法.三本节小结理解复变函数导数与微分以及解析函120第二节解析函数的充要条件

一主要定理

二典型例题

三本节小结第二节解析函数的充要条件121

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.问题如何判断函数的解析性呢？如果复变函数w=f(z)=u(x122一主要定理一主要定理123复变函数--西安交大版课件124复变函数--西安交大版课件125记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).记忆定义方程126定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程：上述条件满足时,有定理1设f(z)=u(x,y)+i127证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且证明则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δ128Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1ΔyΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i129所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.130复变函数--西安交大版课件131使用时注意:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)导数公式：使用时注意:iii)导数公式：132定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程：由区域内解析与可导等价，可得如下定理.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在133解析函数的判定方法:解析函数的判定方法:134二典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:不满足柯西－黎曼方程,二典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解135四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续指数函数136四个偏导数均连续四个偏导数均连续137例2证例2证138解例3解例3139证例4证例4140复变函数--西安交大版课件141解例5解例5142例6证例6证143证根据隐函数求导法则,例7证根据隐函数求导法则,例7144根据柯西－黎曼方程得根据柯西－黎曼方程得145三本节小结在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.掌握判断函数解析性的方法.三本节小结在本课中我们得到了一个重要结论—146Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料Augustin-LouisCauchyBorn:21147Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,ItalyRiemann黎曼资料Born:17Sept1826148第三节初等函数

一指数函数

二对数函数

三乘幂与幂函数

四三角函数

五反三角函数

六本节小结

第三节初等函数

一指数函149

本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。本节将实变函数中的一些常用的初等函数推广到复变函数情形150一指数函数1.指数函数定义一指数函数1.指数函数定义151说明（1）当y=0时，所以复指数函数是实指数函数的推广；（2）当x=0时，即为欧拉公式.2.指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零点性说明2.指数函数性质它与实变指数函数有类似的性质：（1）无零152（3）可加性（4）周期性（3）可加性（4）周期性153（5）无极限性不存在（因沿实轴正向、负向极限不同）例1例2例3求出下列复数的辐角主值:（5）无极限性例1例2例3求出下列复数的154二对数函数1.对数的定义定义指数函数的反函数称为对数函数。即，二对数函数1.对数的定义定义指数函数的反函数称为对数函155复变函数--西安交大版课件1562.对数函数的性质说明2.对数函数的性质说明157复变函数--西安交大版课件158例4例5例4例5159三乘幂与幂函数1.乘幂的定义定义

—多值—一般为多值三乘幂与幂函数1.乘幂的定义定义—多值—一160—q支(1)当b=n(正整数)时—q支(1)当b=n(正整数)时161乘幂ab与a的n次幂意义一致。

(2)当b=1/n(n正整数)时乘幂ab与a

的n次根意义一致。乘幂ab与a的n次幂意义一致。(2)当b=1/n(n正整1622.幂函数的定义定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数2.幂函数的定义定义①当b=n(正整数)w=zn163除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。3.幂函数的解析性

164它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各165例6解例6解166例7解例7解167四三角函数1.三角函数的定义推广到复变数情形.定义四三角函数1.三角函数的定义推广到复变数情形.定义168当z取实数时，此定义与通常的正弦函数一致.2.三角函数的性质当z取实数时，此定义与通常的正弦函数一致.2.三角函数的性169复变函数--西安交大版课件170（5）可定义其他复变三角函数（5）可定义其他复变三角函数171例83.双曲函数定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数例83.双曲函数定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数172五反三角函数1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:五反三角函数1.反三角函数的定义两端取对数得173复变函数--西安交大版课件174六本节小结复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数重点掌握各类初等函数的定义和性质，特别是解析性.六本节小结复变初等函数是一元实变初等函数在175本章小结1.解析函数的概念，解析与可导的关系；2.可导的充要条件，导数公式，解析的充要条件；3.各类初等函数的定义性质。本章小结1.解析函数的概念，解析与可导的关系；176饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是