c巴特沃斯低通滤波器的设计方法课件

1第5章数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念5.2模拟滤波器的设计5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器5.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器5.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计1第5章数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念2数字滤波器：

是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：5.1数字滤波器的基本概念2数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系31.数字滤波器的分类(1)总体分类：经典滤波器，信号与干扰分占不同频带：

——选频滤波器现代滤波器，信号与干扰频带重叠：

——维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等(2)滤波特性：

——低通、高通、带通、带阻等(3)网络结构：

——IIR、FIR31.数字滤波器的分类(1)总体分类：4理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性4理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性52.数字滤波器的技术指标

我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：

数字低通滤波器的技术要求通带纹波幅度阻带纹波幅度通带截止频率3dB通带截止频率阻带截止频率52.数字滤波器的技术指标数字低通滤波器的技术要求6

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别定义为：(5.1.3)(5.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：(5.1.5)(5.1.6)6通带内和阻带内允许的衰减一般用dB73.数字滤波器设计方法概述

SpecificationsDesiredIIRButterworth,Chebyshev,elliptic,Bessel,etc.脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同，IIR滤波器设计需要借助于模拟滤波器来完成回想控制器设计问题73.数字滤波器设计方法概述Specificat8

5.2模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。8

5.2模拟滤波器的设计

模9

图5.2.1各种理想模拟滤波器的幅频特性9图5.2.1各种理想模拟滤波器的幅频特性10

1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

模拟低通滤波器的设计指标有ap,Ωp,as和Ωs。

Ωp：通带截止频率 Ωs：阻带截止频率

ap：通带最大衰减系数 as：阻带最小衰减系数(5.2.1)(5.2.2)

将Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(0)|=1,得到(5.2.3)(5.2.4)101.模拟低通滤波器的设计指标及11

技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标ap和as。

一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(5.2.5)注意：1.从数学上讲，有无限多种Ha(s)能满足指标2.实际中，针对结构给定的Ha(s)（如：Butterworth,Chebyshev,Elliptic等），选取合适的参数11技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希12

幅度平方函数：(5.2.6)两个参数：N,Ωc2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法12幅度平方函数：(5.2.6)13

将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(5.2.7)

N阶Butterworth滤波器，|Ha(jΩ)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为：(5.2.8)三阶巴特沃斯滤波器极点分布|Ha(jΩ)|2的2N个极点均匀分布在半径为Ωc的圆上13将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(514

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，例：设N=3，极点有6个，它们分别为(5.2.10)取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

14为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半15

归一化：

——由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，需要将所有的频率归一化

——这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为

令归一化复变量p=s/Ωc，pk=sk/Ωc，得到归一化巴特沃斯的传输函数(5.2.11)(5.2.12)15归一化：(5.2.11)(5.2.12)16

式中，pk为归一化极点，用下式表示：

将极点表示式(5.2.13)代入(5.2.12)式，得到的Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：

(5.2.13)(5.2.15)归一化后Ga(p)的N个极点均匀分布在左半单位圆上16式中，pk为归一化极点，用下式表示：表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数c巴特沃斯低通滤波器的设计方法课件c巴特沃斯低通滤波器的设计方法课件20求参数N:

通带指标:

阻带指标:

N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数(5.2.18)20求参数N:N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数21求参数

Ωc:

3dB截止频率Ωc可由通带指标/阻带指标分别得到:

通带指标阻带指标(5.2.19)(5.2.20)21求参数Ωc:阻带指标(5.2.19)(5.22低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：

(2)根据N求出归一化极点pk，以及归一化传输函数Ga(p):

(4)Ga(p)去归一化:(3)求Ωc:

将p=s/Ωc,pk=sk/Ωc代入Ga(p)，得到实际的传输函数Ha(s)

(1)根据技术指标Ωp,ap,Ωs和as，求滤波器的阶数N:22低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：(4)Ga(p)去23

例5.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N

23例5.2.1已知通带截止频率24

(2)其极点为归一化传输函数为24(2)其极点为归一化传输函数为25

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1；由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

其中，a0=1.0000,a1=3.2361,a2=5.2361,a3=5.2361,a4=3.236125上式分母可以展开成为五阶多项式，26

(3)求3dB截止频率Ωc按照(5.2.19)式，得到：(4)Ga(p)去归一化，将p=s/Ωc,pk=sk/Ωc代入Ha(p)中得到：26(3)求3dB截止频率Ωc27Matlab实现

常用函数：buttap,buttord,butter %Butterworth_Low wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Ap=2;As=30; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-40,5]);27Matlab实现2828293.切比雪夫低通滤波器的设计方法Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减若通带（阻带）边界处满足指标，则通带（阻带）内会有较大余量更有效的方法——在通带（或阻带、两者）之内等波纹(equiripple)，可降低滤波器阶数Chebyshev和Elliptic滤波器都是根据此原则设计的293.切比雪夫低通滤波器的设计方法Motivation：30切比雪夫低通滤波器：I型——通带等波纹，阻带单调递减II型——通带单调递减，阻带等波纹30切比雪夫低通滤波器：31

0<ε<1，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度愈大；Ωp为通带截止频率；CN(x)为N阶切比雪夫多项式切比雪夫I型低通滤波器幅度平方函数：(5.2.24)双曲函数：Ωp给定，两个参数ε和N310<ε<1，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大32

当：

N=0时，C0(x)=1

N=1时，C1(x)=x

N=2时，C2(x)=2x2-1

N=3时，C3(x)=4x3-3x

可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(5.2.25)

CN(x)特性：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。32 当：CN(x)特性：33N=0,4,5切比雪夫多项式曲线Observations:CN(x)有N个过零点N为偶数时，在x正半轴有N/2个过零点N为奇数时，在x正半轴有(N+1)/2个过零点CN(x)在x正半轴的过零点对应着|Ha(jΩ)|=133N=0,4,5切比雪夫多项式曲线Observations34切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性N=3N=434切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性N=3N=435|Ha(jΩ)|的性质：x=0(或Ω=0)x=1(或Ω=Ωp)0≤x≤1(或0≤Ω≤Ωp)

|Ha(jΩ)|在1和之间振荡x>1(或Ω>Ωp)|Ha(jΩ)|单调递减到035|Ha(jΩ)|的性质：x=0(或Ω=0)36切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线N相同时，切比雪夫I型性能更好36切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲37|Ha(s)|的极点分布：N阶|Ha(s)|2有2N个极点，令分布在左平面的N个稳定极点为|Ha(s)|的极点。通过繁琐的计算可知极点sj为，极点位于椭圆之上短轴为aΩp，在实轴上长轴为bΩp，在虚轴上37|Ha(s)|的极点分布：N阶|Ha(s)|2有2N个极38三阶切比雪夫滤波器的极点分布三个极点，ψi分别为:ψ0=2π/3ψ1=πψ2=4π/338三阶切比雪夫滤波器的极点分布三个极点，ψi分别为:39归一化与去归一化(5.2.38)c为待定系数，根据幅度平方函数(5.2.24)式可得：c=ε2N-1(5.2.40)归一化：令p=s/Ωp，pi=si/Ωp，去归一化：(5.2.39)39归一化与去归一化(5.2.38)c为待定系数，根据幅度平40指标与参数ε、N之间的关系ε决定通带内最大衰减ap|Ha(jΩ)|2最大值：|Ha(jΩ)|2最小值：通带内最大衰减ap：N影响过渡带宽度，以及通带内波动的疏密（N等于通带内极值的总个数）(5.2.27)(5.2.26)求得ε40指标与参数ε、N之间的关系(5.2.27)(5.2.2641ε和N决定阻带内最大衰减as(5.2.44)结合求得N41ε和N决定阻带内最大衰减as(5.2.44)结合求得N42(1)给定技术指标ap,Ωp,as和Ωs切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤(2)计算参数ε和N(3)求归一化极点pi及系统Ga(p)(4)去归一化得到实际系统Ha(s)42(1)给定技术指标ap,Ωp,as和Ωs切比雪夫Ⅰ43

例5.2.2

设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=60dB。

解：(1)滤波器的技术要求：

(2)求阶数N和ε：43例5.2.2(2)求阶数N和ε：44

(3)求Ga(p):可求出N=5时的极点pi，得到：(4)将Ga(p)去归一化，得到：44(3)求Ga(p):可求出N=5时的极点p45Matlab实现

常用函数：cheb1ap,cheb1ord,cheby1,cheb2ap,cheb2ord,cheby2 %Chebyshev1_Low wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60; [N,wp]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=cheby1(N,Ap,wp,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-70,5]);45Matlab实现4646474.椭圆低通滤波器简介Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减Chebyshev-I在通带等波纹，Chebyshev-II在阻带等波纹Elliptic在通带和阻带内都是等波纹几种滤波器比较：Butterworth滤波器是Chebyshev滤波器的特殊形式Chebyshev滤波器是Elliptic滤波器的特殊形式Elliptic滤波器性能最好474.椭圆低通滤波器简介Motivation：几种滤波器比48

UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。椭圆低通滤波器幅度平方函数：Ωp给定，两个参数ε和N。ε的求法与切比雪夫滤波器相似，N的求法如下：48UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。椭圆低通滤波器幅49Observations：椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高，过渡带越窄；椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小，过渡带就越宽GeneralConclusions：阶数越高，性能越好，系统越复杂；波纹幅度和过渡带宽度是一对矛盾49Observations：GeneralConclus50Matlab实现

常用函数：ellipap,ellipord,ellip %Elliptic_Low wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60; [N,wp]=ellipord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=ellip(N,Ap,As,wp,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-80,5]);50Matlab实现515152几种滤波器比较：N,ap,as相同时的过渡带宽度：Butterworth>ChebyshevI=ChebyshevII>EllipticButterworth：单调下降 ChebyshevI/II：通带/阻带等波纹，过渡带和阻带/通带单调下降Elliptic：通带、阻带都等波纹相位逼近情况：Butterworth和Chebyshev在大约3/4通带接近线性相位特性；Elliptic在大约1/2通带接近线性相位特性复杂性：在满足相同幅频响应指标下的阶数N，Butterworth>ChebyshevI/II

>Elliptic52几种滤波器比较：535.频率变换与模拟高通、带通和带阻滤波器设计目标： 设计指标为as、ap的模拟高通、带通或带阻滤波器Hd(s)535.频率变换与模拟高通、带通和带阻滤波器设计目标：54步骤：归一化低通滤波器G(p)的截止频率根据as,ap设计G(p)得到Hd(s)Hd(s)的截止频率频率变换公式Butterworth,Chebyshev,Elliptic频率变换公式：p=F(s)54步骤：归一化低通滤波器G(p)的截止频率根据as,ap55(1)低通到高通的频率变换公式(5.2.50)复频域：频域：(5.2.51)高通滤波器通带截止频率归一化低通滤波器G(p)频率Ω'高通滤波器Hd(s)频率Ω通带[0,1][Ωph,+∞]阻带[Ω's,+∞][0,Ωsh]高通滤波器阻带截止频率由对称性可得55(1)低通到高通的频率变换公式(5.2.50)复频域56低通与高通滤波器的幅度特性56低通与高通滤波器的幅度特性57例：

设计高通滤波器,Ωph=200Hz,Ωsh=100Hz，幅度特性单调下降，Ωph处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。

解（1）高通技术要求：

Ωph=200Hz,ap=3dB;Ωsh=100Hz,as=15dB

（2）频率转换：Ω'p=1,57例：解58

（3）设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

（4）求模拟高通Hd(s)：58（3）设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤59Matlab实现

常用函数：lp2hp %Butt_LP2HP wp=1;ws=2;Ap=3;As=15; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); wph=2*pi*200; [BH,AH]=lp2hp(B,A,wph); figure(1); freqs(B,A); figure(2); freqs(BH,AH);59Matlab实现606061其实可以直接来…… %Butt_HP wp=2*pi*200;ws=2*pi*100;Ap=0.1;As=40; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'high','s'); freqs(B,A);61其实可以直接来……62(2)低通到带通的频率变换公式(5.2.53)复频域：频域：(5.2.54)带通滤波器通带的高、低截止频率归一化低通滤波器G(p)频率Ω'高通滤波器Hd(s)频率Ω通带[0,1][-1,0][Ωpl,Ω0][Ω0,Ωpu]阻带[Ω's,+∞][-∞,-Ω's][0,Ωsl][Ωsu,∞]对数意义下的中心频率62(2)低通到带通的频率变换公式(5.2.53)复频域63低通与带通滤波器的幅度特性63低通与带通滤波器的幅度特性64例：

设计模拟带通滤波器，通带带宽Bw=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减ap=3dB，阻带Ωsl=2π×830rad/s,Ωsu=2π×1200rad/s，阻带最小衰减as=15dB。

解(1)模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,ap=3dBΩsl=2π×830rad/s,Ωsu=2π×1200rad/s

as=15dB,Bw=2π×200rad/s;(2)频率转换：Ω'p=1,64例：(2)频率转换：65（3）设计模拟归一化低通滤波器G(p)，采用巴特沃斯型，有（4）求模拟带通Hd(s)：65（3）设计模拟归一化低通滤波器G(p)，采用巴特沃斯型66Matlab实现 %Butt_BP wp=2*pi*[905,1105];%905*1105approximates1000*1000 ws=2*pi*[830,1200];Ap=3;As=15; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); fk=0:2000/512:2000;wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B,A,wk); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)'); ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,2,-20,5]);66Matlab实现67(3)低通到带阻的频率变换公式(5.2.58)复频域：频域：(5.2.59)归一化低通滤波器G(p)频率Ω'高通滤波器Hd(s)频率Ω通带[0,1][-,0][0,Ωpl]

[Ωpu,∞]阻带[Ω's,+∞][-∞,-Ω's][Ωsl,Ω0][Ω0,Ωsl]67(3)低通到带阻的频率变换公式(5.2.58)复频域68低通与带阻滤波器的幅频特性68低通与带阻滤波器的幅频特性69例：

设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωpl=2π×905rad/s,Ωsl=2π×980rad/s,Ωsu=2π×1020rad/s,Ωpu=2π×1105rad/s,ap=3dB,as=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解（1）模拟带阻滤波器的技术要求：

Ω20=ΩplΩpu=4π2×1000025,Bw=Ωsu-Ωsl=2π×200;（2）频率转换：

Ω'p=1,

69例：70（3）设计归一化低通滤波器G(p)：

（4）带阻滤波器的Hd(s)为：70（3）设计归一化低通滤波器G(p)：（4）带阻滤波器71Matlab实现 %Butt_BS wp=2*pi*[905,1105]; ws=2*pi*[980,1020];Ap=3;As=25; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'stop','s'); fk=0:2000/512:2000;wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B,A,wk); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)'); ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,2,-30,5]);71Matlab实现72第5章数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念5.2模拟滤波器的设计5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器5.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器5.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计1第5章数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念73数字滤波器：

是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：5.1数字滤波器的基本概念2数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系741.数字滤波器的分类(1)总体分类：经典滤波器，信号与干扰分占不同频带：

——选频滤波器现代滤波器，信号与干扰频带重叠：

——维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等(2)滤波特性：

——低通、高通、带通、带阻等(3)网络结构：

——IIR、FIR31.数字滤波器的分类(1)总体分类：75理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性4理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性762.数字滤波器的技术指标

我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：

数字低通滤波器的技术要求通带纹波幅度阻带纹波幅度通带截止频率3dB通带截止频率阻带截止频率52.数字滤波器的技术指标数字低通滤波器的技术要求77

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别定义为：(5.1.3)(5.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：(5.1.5)(5.1.6)6通带内和阻带内允许的衰减一般用dB783.数字滤波器设计方法概述

SpecificationsDesiredIIRButterworth,Chebyshev,elliptic,Bessel,etc.脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同，IIR滤波器设计需要借助于模拟滤波器来完成回想控制器设计问题73.数字滤波器设计方法概述Specificat79

5.2模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。8

5.2模拟滤波器的设计

模80

图5.2.1各种理想模拟滤波器的幅频特性9图5.2.1各种理想模拟滤波器的幅频特性81

1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

模拟低通滤波器的设计指标有ap,Ωp,as和Ωs。

Ωp：通带截止频率 Ωs：阻带截止频率

ap：通带最大衰减系数 as：阻带最小衰减系数(5.2.1)(5.2.2)

将Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(0)|=1,得到(5.2.3)(5.2.4)101.模拟低通滤波器的设计指标及82

技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标ap和as。

一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(5.2.5)注意：1.从数学上讲，有无限多种Ha(s)能满足指标2.实际中，针对结构给定的Ha(s)（如：Butterworth,Chebyshev,Elliptic等），选取合适的参数11技术指标给定后，设计一个传输函数Ha(s)，希83

幅度平方函数：(5.2.6)两个参数：N,Ωc2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法12幅度平方函数：(5.2.6)84

将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(5.2.7)

N阶Butterworth滤波器，|Ha(jΩ)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为：(5.2.8)三阶巴特沃斯滤波器极点分布|Ha(jΩ)|2的2N个极点均匀分布在半径为Ωc的圆上13将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(585

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，例：设N=3，极点有6个，它们分别为(5.2.10)取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

14为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半86

归一化：

——由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，需要将所有的频率归一化

——这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为

令归一化复变量p=s/Ωc，pk=sk/Ωc，得到归一化巴特沃斯的传输函数(5.2.11)(5.2.12)15归一化：(5.2.11)(5.2.12)87

式中，pk为归一化极点，用下式表示：

将极点表示式(5.2.13)代入(5.2.12)式，得到的Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：

(5.2.13)(5.2.15)归一化后Ga(p)的N个极点均匀分布在左半单位圆上16式中，pk为归一化极点，用下式表示：表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数c巴特沃斯低通滤波器的设计方法课件c巴特沃斯低通滤波器的设计方法课件91求参数N:

通带指标:

阻带指标:

N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数(5.2.18)20求参数N:N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数92求参数

Ωc:

3dB截止频率Ωc可由通带指标/阻带指标分别得到:

通带指标阻带指标(5.2.19)(5.2.20)21求参数Ωc:阻带指标(5.2.19)(5.93低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：

(2)根据N求出归一化极点pk，以及归一化传输函数Ga(p):

(4)Ga(p)去归一化:(3)求Ωc:

将p=s/Ωc,pk=sk/Ωc代入Ga(p)，得到实际的传输函数Ha(s)

(1)根据技术指标Ωp,ap,Ωs和as，求滤波器的阶数N:22低通巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：(4)Ga(p)去94

例5.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N

23例5.2.1已知通带截止频率95

(2)其极点为归一化传输函数为24(2)其极点为归一化传输函数为96

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1；由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

其中，a0=1.0000,a1=3.2361,a2=5.2361,a3=5.2361,a4=3.236125上式分母可以展开成为五阶多项式，97

(3)求3dB截止频率Ωc按照(5.2.19)式，得到：(4)Ga(p)去归一化，将p=s/Ωc,pk=sk/Ωc代入Ha(p)中得到：26(3)求3dB截止频率Ωc98Matlab实现

常用函数：buttap,buttord,butter %Butterworth_Low wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Ap=2;As=30; [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-40,5]);27Matlab实现99281003.切比雪夫低通滤波器的设计方法Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减若通带（阻带）边界处满足指标，则通带（阻带）内会有较大余量更有效的方法——在通带（或阻带、两者）之内等波纹(equiripple)，可降低滤波器阶数Chebyshev和Elliptic滤波器都是根据此原则设计的293.切比雪夫低通滤波器的设计方法Motivation：101切比雪夫低通滤波器：I型——通带等波纹，阻带单调递减II型——通带单调递减，阻带等波纹30切比雪夫低通滤波器：102

0<ε<1，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度愈大；Ωp为通带截止频率；CN(x)为N阶切比雪夫多项式切比雪夫I型低通滤波器幅度平方函数：(5.2.24)双曲函数：Ωp给定，两个参数ε和N310<ε<1，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大103

当：

N=0时，C0(x)=1

N=1时，C1(x)=x

N=2时，C2(x)=2x2-1

N=3时，C3(x)=4x3-3x

可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(5.2.25)

CN(x)特性：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。32 当：CN(x)特性：104N=0,4,5切比雪夫多项式曲线Observations:CN(x)有N个过零点N为偶数时，在x正半轴有N/2个过零点N为奇数时，在x正半轴有(N+1)/2个过零点CN(x)在x正半轴的过零点对应着|Ha(jΩ)|=133N=0,4,5切比雪夫多项式曲线Observations105切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性N=3N=434切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性N=3N=4106|Ha(jΩ)|的性质：x=0(或Ω=0)x=1(或Ω=Ωp)0≤x≤1(或0≤Ω≤Ωp)

|Ha(jΩ)|在1和之间振荡x>1(或Ω>Ωp)|Ha(jΩ)|单调递减到035|Ha(jΩ)|的性质：x=0(或Ω=0)107切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线N相同时，切比雪夫I型性能更好36切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲108|Ha(s)|的极点分布：N阶|Ha(s)|2有2N个极点，令分布在左平面的N个稳定极点为|Ha(s)|的极点。通过繁琐的计算可知极点sj为，极点位于椭圆之上短轴为aΩp，在实轴上长轴为bΩp，在虚轴上37|Ha(s)|的极点分布：N阶|Ha(s)|2有2N个极109三阶切比雪夫滤波器的极点分布三个极点，ψi分别为:ψ0=2π/3ψ1=πψ2=4π/338三阶切比雪夫滤波器的极点分布三个极点，ψi分别为:110归一化与去归一化(5.2.38)c为待定系数，根据幅度平方函数(5.2.24)式可得：c=ε2N-1(5.2.40)归一化：令p=s/Ωp，pi=si/Ωp，去归一化：(5.2.39)39归一化与去归一化(5.2.38)c为待定系数，根据幅度平111指标与参数ε、N之间的关系ε决定通带内最大衰减ap|Ha(jΩ)|2最大值：|Ha(jΩ)|2最小值：通带内最大衰减ap：N影响过渡带宽度，以及通带内波动的疏密（N等于通带内极值的总个数）(5.2.27)(5.2.26)求得ε40指标与参数ε、N之间的关系(5.2.27)(5.2.26112ε和N决定阻带内最大衰减as(5.2.44)结合求得N41ε和N决定阻带内最大衰减as(5.2.44)结合求得N113(1)给定技术指标ap,Ωp,as和Ωs切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤(2)计算参数ε和N(3)求归一化极点pi及系统Ga(p)(4)去归一化得到实际系统Ha(s)42(1)给定技术指标ap,Ωp,as和Ωs切比雪夫Ⅰ114

例5.2.2

设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=60dB。

解：(1)滤波器的技术要求：

(2)求阶数N和ε：43例5.2.2(2)求阶数N和ε：115

(3)求Ga(p):可求出N=5时的极点pi，得到：(4)将Ga(p)去归一化，得到：44(3)求Ga(p):可求出N=5时的极点p116Matlab实现

常用函数：cheb1ap,cheb1ord,cheby1,cheb2ap,cheb2ord,cheby2 %Chebyshev1_Low wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60; [N,wp]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=cheby1(N,Ap,wp,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-70,5]);45Matlab实现117461184.椭圆低通滤波器简介Motivation：Butterworth的频率特性曲线在通带和阻带内都是单调递减Chebyshev-I在通带等波纹，Chebyshev-II在阻带等波纹Elliptic在通带和阻带内都是等波纹几种滤波器比较：Butterworth滤波器是Chebyshev滤波器的特殊形式Chebyshev滤波器是Elliptic滤波器的特殊形式Elliptic滤波器性能最好474.椭圆低通滤波器简介Motivation：几种滤波器比119

UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。椭圆低通滤波器幅度平方函数：Ωp给定，两个参数ε和N。ε的求法与切比雪夫滤波器相似，N的求法如下：48UN(x)为N阶雅可比椭圆函数。椭圆低通滤波器幅120Observations：椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高，过渡带越窄；椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小，过渡带就越宽GeneralConclusions：阶数越高，性能越好，系统越复杂；波纹幅度和过渡带宽度是一对矛盾49Observations：GeneralConclus121Matlab实现

常用函数：ellipap,ellipord,ellip %Elliptic_Low wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Ap=0.1;As=60; [N,wp]=ellipord(wp,ws,Ap,As,'s'); [B,A]=ellip(N,Ap,As,wp,'s'); fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; figure(1); freqs(B,A,wk); Hk=freqs(B,A,wk); figure(2); plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); xlabel('Frequency(kHz)');ylabel('Magnitude(dB)'); axis([0,14,-80,5]);50Matlab实现12251123几种滤波器比较：N,ap,as相同时的过渡带宽度：Butterworth>ChebyshevI=ChebyshevII>EllipticButterworth：单调下降 ChebyshevI/II：通带/阻带等波纹，过渡带和阻带/通带单调下降Elliptic：通带、阻带都等波纹相位逼近情况：Butterworth和Chebyshev在大约3/4通带接近线性相位特性；Elliptic在大约1/2通带接近线性相位特性复杂性：在满足相同幅频响应指标下的阶数N，Butterworth>ChebyshevI/II

>Elliptic52几种滤波器比较：1245.频率变换与模拟高通、带通和带阻滤波器设计目标： 设计指标为as、ap的模拟高通、带通或带阻滤波器Hd(s)535.频率变换与模拟高通、带通和带阻滤波器设计目标：125步骤：归一化低通滤波器G(p)的截止频率根据as,ap设计G(p)得到Hd(s)Hd(s)的截止频率频率变换公式Butterworth,Chebyshev,Elliptic频率变换公式：p=F(s)54步骤：归一化低通滤波器G(p)的截止频率根据as,ap126(1)低通到高通的频率变换公式(5.2.50)复频域：频域：(5.2.51)高通滤波器通带截止频率归一化低通滤波器G(p)频率Ω'高通滤波器Hd(s)频率Ω通带[0,1][Ωph,+∞]阻带[Ω's,+∞][0,Ωsh]高通滤波器阻带截止频率由对称性可得55(1)低通到高通的频率变换公式(5.2.50)复频域127低通与高通滤波器的幅度特性56低通与高通滤波器的幅度特性128例：

设计高通滤波器,Ωph=200Hz,Ωsh=100Hz，幅度特性单调下降，Ωph处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。

解（1）高通技术要求：

Ωph=200Hz,ap=3dB;Ωsh=100Hz,as=15dB

（2）频率转换：Ω'p=1,57例：解129

（3）设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故

（4）求模拟高通Hd(s)：58（3）设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤130Matlab实