相似矩阵与二次型习题课1课件

一、重点与难点

2.方阵的特征值与特征向量的证明问题1.线性无关向量组的正交规范化方法

3.判断方阵可否对角化

4.求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵

一、重点与难点2.方阵的特征值与特征向量的证明问题二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量2.求法（1）特征多项式1.定义二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量2.3.性质特征方程其解为A的特征值。（2）特征向量：的非零解。（1）设是的特征值，则是的特征值;是的特征值.（2）是的特征值，则3.性质特征方程（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其（4）与的特征多项式相同，特征值相同。（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。的特征值为的特征值为（二）相似矩阵、相似变换1.定义2.性质：

若A与B相似，则有（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其（4）与（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。（2）（三）方阵的对角化（3）若A可逆，则B可逆，且与也相似。（4）与相似，相似变换阵仍为P。（5）与相似。1.定义（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。（2）（三）方阵的对将方阵A对角化的步骤：推论：

若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。

2.n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。1.求A的特征值2.求对应的特征向量。（四）实对称阵将方阵A对角化的步骤：推论：若n阶方阵A有n个互不相同的（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。1.求A的特征值2.求对应的特征向量3.将正交规范化得到4.构造矩阵P=,P正交阵，使（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称解：三、典型例题即1.设有一个特征值对应的特征向量为求a,b,c.解：三、典型例题即1.设2.已知可对角化，求a解：由于A可对角化，则A有3个线性无关的特征向量。A的特征值2.已知与对应的特征向量中存在2个线性无关的。即的基础解系中含有两个解。3.

设A与B相似，(1)求a,b(2)求可逆阵P，使与对应的特征向量中解：(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6.所以(2)时，解：(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6.所以(基础解系为：

时，基础解系为：时，基础解系为：故使基础解系为：故使4.已知是矩阵的一个特征向量。（1）求a,b及特征向量P所对应的特征值。（2）问A能否对角化？说明理由。解：即4.已知是矩阵故是A的特征值。与对应的A的线性无关的特征向量只有一个，故A不能对角化。故解：7.设三阶矩阵的特征值为对应的特征向量分别为：由于A可对角化，故存在可逆矩阵使解：7.设三阶矩阵的特征值为对应的特征向量分相似矩阵与二次型习题课1课件8.求一个正交相似变换矩阵P，将对角化。

8.求一个正交相似变换矩阵P，将对角化。将其对应的特征向量单位化、正交化后，得所以，

解：将其对应的特征向量单位化、正交化后，得所以，解：填空题例1：的特征值为1，-1，2，则解答：0例2：矩阵，则解答：126填空题例1：的特征值为1，-1，2，则例3：已知是的特征向量，则解答：1或-2例3：已知是一、重点与难点

2.方阵的特征值与特征向量的证明问题1.线性无关向量组的正交规范化方法

3.判断方阵可否对角化

4.求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵

一、重点与难点2.方阵的特征值与特征向量的证明问题二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量2.求法（1）特征多项式1.定义二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量2.3.性质特征方程其解为A的特征值。（2）特征向量：的非零解。（1）设是的特征值，则是的特征值;是的特征值.（2）是的特征值，则3.性质特征方程（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其（4）与的特征多项式相同，特征值相同。（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。的特征值为的特征值为（二）相似矩阵、相似变换1.定义2.性质：

若A与B相似，则有（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其（4）与（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。（2）（三）方阵的对角化（3）若A可逆，则B可逆，且与也相似。（4）与相似，相似变换阵仍为P。（5）与相似。1.定义（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。（2）（三）方阵的对将方阵A对角化的步骤：推论：

若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。

2.n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。1.求A的特征值2.求对应的特征向量。（四）实对称阵将方阵A对角化的步骤：推论：若n阶方阵A有n个互不相同的（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。1.求A的特征值2.求对应的特征向量3.将正交规范化得到4.构造矩阵P=,P正交阵，使（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称解：三、典型例题即1.设有一个特征值对应的特征向量为求a,b,c.解：三、典型例题即1.设2.已知可对角化，求a解：由于A可对角化，则A有3个线性无关的特征向量。A的特征值2.已知与对应的特征向量中存在2个线性无关的。即的基础解系中含有两个解。3.

设A与B相似，(1)求a,b(2)求可逆阵P，使与对应的特征向量中解：(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6.所以(2)时，解：(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6.所以(基础解系为：

时，基础解系为：时，基础解系为：故使基础解系为：故使4.已知是矩阵的一个特征向量。（1）求a,b及特征向量P所对应的特征值。（2）问A能否对角化？说明理由。解：即4.已知是矩阵故是A的特征值。与对应的A的线性无关的特征向量只有一个，故A不能对角化。故解：7.设三阶矩阵的特征值为对应的特征向量分别为：由于A可对角化，故存在可逆矩阵使解：7.设三阶矩阵的特征值为对应的特征向量分相似矩阵与二次型习题课1课件8.求一个正交相似变换矩阵P，将对角化。

8.求一个正交相似变换矩阵P，将对角化。