如何上好数学复习课课件

如何上好数学单元复习课？

彭友林湖北省数学特级教师湖北省名师、武汉市名师武汉市黄鹤英才武汉市中考数学命题专家组组长武汉市第一初级中学如何上好彭友林1

一、对数学复习课的认识

二、数学复习课的策略

一、对数学复习课的认识二、数学复习课的策略2

一、对数学复习课的认识

数学单元复习课是在结束某一单元的学习后，根据数学的知识结构体系及学生的认知规律，结合学生的学情，围绕单元教学目标，进行系统地温习、梳理、巩固已学知识、技能、数学思想方法，查漏补缺，以帮助学生提高运用所学知识解决各类问题的能力,形成优良的知识结构，促进知识系统化，完善自我学习能力的一种课型，它是数学教学中的重要课型之一，在数学教学中占有重要的地位。

一、对数学复习课的认识数学单元复3数学教育的“目标系统”（以有理数为例）1、数学课程目标。这是宏伟目标，需要经过长期努力、付出大量的时间和精力才能实现。它包含着多方面的、更为具体的目标。（1）体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数；掌握必要的运算（包括估算）技能；（2）建立符号意识，发展运算能力；（3）体会有理数及其运算的基本思想；（4）运用有理数知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。课程标准（2011版）第二部分课程目标P13——15，知识技能、数学思考、解决问题、情感态度中的相关条款数学教育的“目标系统”（以有理数为例）1、数学课程目标。这是4

2、单元教学目标。属于中观目标，（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；（2）借助数轴理解相反数年及绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。课程标准（2011版）第三部分课程内容P26，有理数2、单元教学目标。（1）理解有理数的意义，5（1）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；

3、课堂教学目标。这是目标体系中最具体的目标，是微观目标。下面以数轴为例说明课堂目标。（2）体会数轴三要素；数学课堂教学目标需要教师根据课程目标和单元目标，结合自己对本节课的内容的理解，自主写出课堂目标。（3）通过有理数集（实数集）中0、1和数的符号与原点、单位长度及方向之间的对应关系，从而体会数形结合思想。对（3）的理解。理解好“三对应”：①原点0，原点是区分方向的基准，0是区分正负的基准；②单位长度1，单位长度是度量线段长的单位，1是实数单位；③方向符号，空间里A、B两点的“位置差别”的定量化定义，必须且只需“方向”和“长度”。确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素。（1）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；6

（人教版七年级上1.2.2数轴）问题

在一条东西向的马路上，有一个汽车站（牌），在汽车站（牌）东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站（牌）西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

例：数轴概念教学(节选)

问题1（学生画图后提问）：（1）用美术的方法，我们会画出一幅美丽的画卷，现在要求用数学的眼光来画这一情境，怎样处理马路、汽车站、柳树、杨树、槐树、电线杆？【意图：用数学的眼光来看，就是不考虑马路的宽窄、汽车站所点的位置的大小等这些具体的因素，只考虑其笔直的形状，并实现用直线来表示，用点表示汽车站的位置的抽象过程。】（人教版七年级上1.2.2数轴）问题例：7（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3）你是怎样确定各物体的位置的？（用直线上的点来表示这些物体的位置。汽车站牌的位置最特殊，一切以此为起点，规定直线的一个方向表示东向，则另一个方向表示西向。在规定了方向的直线上，任意取一点O表示汽车站的位置。用一条线段的长度表示1m的长，在直线上，以O为起点，在东向分别量3个7.5个单位，表示棵柳树和杨树的位置，在西向分别量3个和4.8个单位表示槐树和电线杆的位置。）

【意图：用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题。这是用数学的方法来处理问题，实现实际问题用数学方法解决的第一次抽象。】（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）【意图：用直线、点、8

问题3：反过来，在这条直线上有点A（如图），它表示的含义是什么-3+7.5+30O-4.8A【意图：在这种直线上的点表示数。问题2与问题3是两个方面：用数表示直线上的点和直线上的点表示数，这种“数”和“点”的相互表示以及它们的对应关系，是第二次抽象。】【意图：用数表示点。】-3+7.5+30O-4.8A问题2：“东”与“西”具有相反意义，正数与负数可以表示具有相反意义的量，如何用数来表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置？（规定直线向东为正，点O用数0表示，表示棵柳树位置的点用数+3表示，表示杨树位置的点用+7.5表示，其他点类似）问题3：反过来，在这条直线上有点A（如图），9

问题4：归纳上述问题1~问题4的过程。（学生可能的答案：

1、用直线上的点来表示数；2、这条直线规定了一个基准点、方向；3、规定一个长度作为单位；4、依次在直线的正方向量出1个单位长、2个单位长，…，分别表示+1，+2；在直线的负方向上量出1个单位长、2个单位长，…，分别表示-1，-2；5、0用基准点表示；……）【意图：用进一步为抽象数轴的概念作准备。】问题4：归纳上述问题1~问题4的过程。10

问题5：带着下列问题看书：（1）数轴的定义是什么？数轴的作用是什么？（定义：略；作用：数轴是用来表示数的，用数轴上的点表示数，反过来，数可用数轴上的点表示）（2）数轴为什么要规定正方向？（数轴是用来表示数的，数有正负之分，因此，数轴必须规定方向，数轴的正负方向与“数”的正负对应。数轴正方向上的点表示正数，数轴负方向上的点表示负数）（3）“原点”起什么作用？（原点O是数轴的“基准”点，是区分方向的基准点，数0是区分正负的基准点。原点表示数0）（3）怎样理解单位长度？（单位长度可根据问题的实际。选取适当长度作为单位长度。单位长度是度量线段长度的单位，1是数的单位。）

问题5：带着下列问题看书：11评析：这一情境真实、直观地刻画了数轴的本质，从生活到数学，从现象到本质，体现了数学与实际生活的紧密联系．学生会自然联想：生活中，笔直的马路，数学中，用直线表示，数轴是一条特殊的直线。生活中，确定柳树、杨树的位置，数学中，用点表示位置，数轴上的点表示位置。生活中，以汽车站牌为参照，数学中，确定数轴原点的必要。生活中，在汽车站东牌3m和西3m是两个不同位置，要加以区别，数学中，数轴上确立方向的必要，生活中，3m、4.8m、7.5m，距离远近不同，数学中，数轴上确立单位长度的必要．这是一个活生生的数学问题情境的典范。有了这一情境，学生一方面加深了对数轴的三要素的理解，另一方面提高了数学源于生活的认识，学会了用数学的观点观察问题、处理问题。问题的拓展：上例中，如果不把原点定在汽车站，而是其他的位置（如把柳树作为原点），又该如何表示这一情境？这里显然渗透的是坐标变换的思想。评析：这一情境真实、直观地刻画了数轴的本质，12例：有理数单元复习2、内容及内容解析（共19条）（1）由于引进了负数，“数”的研究内容发生了变化，“相反数”、“绝对值”等概念都是小学未曾涉及的，对负数的理解是学好本节的关键，也是进行有理数运算的基础；由于研究“数”的方式发生了变化，由小学单一的计算到借助数轴研究问题，因此利用数轴的直观性是常用的方法，有助于问题的解决；（2）正负数的产生：小学学过的数可概括为两类，一类是0，另一类是比0大．比0大的数称为正数；在正数前面加上“﹣”的数叫做负数．（3）对“整数、分数”的再识：①正整数、0、负整数统称为整数；②正分数、负分数统称为分数．③整数和分数统称为有理数．

1、目标及目标解析例：有理数单元复习2、内容及内容解析（共1913

①按数的正负性

②按整数和分数分类

（4）有理数的分类①按数的正负性（4）有理数的分类14（5）研究有理数重要工具——数轴①数轴的画法：要注意三要素：原点、正方向、单位长度；②数轴的作用：用数轴上的点表示数，很多问题都可借助数轴的直观来解决（如相反数，绝对值，有理数的大小比较等）；③数轴上的点：任意一个有理数都可用数轴上的一个点来表示；在数轴上表示有理数，右边的数大于左边的数；（6）相反数：①定义：只有符号不同的两个数．②代数意义：当时，a、b互为相反数；反过来也成立；③几何意义：在数轴上位于原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数．

（5）研究有理数重要工具——数轴③几何意义：15（7）绝对值

①定义：（借助于数轴下定义，也是绝对值的几何意义）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│②代数意义：（分类讨论的方法）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用式子表示为：

（8）有理数的大小比较：①利用数轴比较：数轴上表示的有理数，右边的数总是大于左边的数；②利用法则比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．（7）绝对值16（9）有理数的加法法则

小学阶段学习的加法，是正数（或0）之间的加法，其结果也是正数或0．现在，由于引进了负数，有理数的加法，要根据两加数的符号选择方法．①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0；③一个数与0相加，仍得这个数．（10）有理数加法运算律（数的范围扩充到了有理数，小学学过的加法交换律、结合律仍然成立）①加法交换律：②加法结合律：（9）有理数的加法法则绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较17（12）有理数的加减混合运算先运用减法法则将混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式，再运用加法法则以及加法的运算律进行运算.（13）运用作差法可比较两个有理数的大小：

时，②当时，③当时，以上结论，反过来也成立.①当（11）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.用式子表示为：

（12）有理数的加减混合运算时，②当时，③当时，以上结论，反18（14）有理数的乘法小学阶段学习的乘法，是指具有相同加数的加法的简便运算，引进了负数后，乘法的意义没有改变．有理数的乘法是小学阶段学过的乘法的延续和拓展，引进了负数后，有理数乘法首先要确定积的符号．（15）有理数的乘法法则：

两个数相乘多个数相乘（14）有理数的乘法两个数相乘多个数相乘19（16）倒数的意义①定义：乘积为1的两个数互为倒数；②代数意义：当时，a、b互为倒数；反过来也成立；注意：0没有倒数，并且任何一个数的倒数也不可能为0.（17）有理数乘法运算律（数的范围扩充到了有理数，小学学过的乘法交换律、结合律以及分配律仍然成立）①乘法交换律：②乘法结合律：③分配律：（16）倒数的意义注意：0没有倒数，并且任何20（19）有理数的乘除混合运算有理数乘除法混合运算，按照从左至右的顺序进行，一般先运用除法法则将混合运算中的除法转化为乘法，然后确定积的符号，再把绝对值相乘.（18）有理数的除法法则：①（转化的思想）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.用式子表示为：

②（直接计算，类比乘法法则）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0③除以任何一个不等于0的数，都得0；④进行有理数除法时，要根据具体情况选择合适的方法．（19）有理数的乘除混合运算（18）有理数的除法法则：②（直21

方式1（低级的重复式复习）按照学生学习知识的前后顺序，把相关概念（如：有理数、数轴、绝对值等）依次进行复述（有的还要求学生背下来）。

方式2（简单的重复式复习）第1讲实数的概念及运算（杨光荣）.doc方式2（注重知识体系的建构式复习）第1讲实数的概念及运算.doc3、实数数复习课例九年级复习课（数与式）对比几种复习方式谈复习课的效率方式1（低级的重复式复习）按照学生学习知识的22

复习课时，由于学生已经学过相应的知识内容，学生对相关知识的认识不再是一张白纸，也不是千篇一律处于同一水平。学生经过一轮的学习，所获的知识、方法、能力各不相同，甚至差别较大。复习课必须立足让不同的学生都得到发展。针对不同内容、不同要求的复习，可采用不同的策略。

二、数学复习课的策略

复习课时，由于学生已经学过相应的知识内23

目前复习课中存在的主要问题：1．只“温故”，不“知新”，对知识进行简单的重复，复习课上成了炒剩饭课；2．只做题，不建构，用做题（或考试）代替建构，复习课上成了习题课；3．盲目拔高，忽略基础，复习课上成了“培优”课；4．复习课计划、目的、设计，。

目前复习课中存在的主要问题：24策略一：完善体系，把握全貌策略二：建构网络，融会贯通策略四：典型例题，归纳整理策略五：精选习题，以少胜多策略三：问题开放，启迪思维策略六：分层教学，区别对待策略一：完善体系，把握全貌策略二：建构网络，融会贯通策略四：25策略一：完善体系，把握全貌复习课重在体系的建立和完善。数学教学中，概念要一个个地去理解，定理要一个个地去证明，公式要一个个地去推导。这些概念、定理、公式及其由内容反映的数学思想方法都是分散在不同的阶段，不同的教学中。只有通过复习，按照内在的逻辑关系将它们进行系统的整理，让学生把握知识的全貌，并及适当的形式表示，让学生头脑中的数学知识系统化、结构化，才能真正形成数学认知结构。因此，复习的首要任务是完善知识体系，使之结构化。策略一：完善体系，把握全貌复习课重在体系的建26例直线和圆的位置关系复习课要点1、在平面直角坐标系中，一条直线和一个圆的位置是明确不变的，它们的位置关系可以通过坐标来到刻画，但这里研究直线和圆的位置关系，首先需要将直线和圆的位置关系抽象成三类（相交、相切、相离），这种处理问题的方法与点和圆的位置关系是相同的（点在圆上、圆内、圆外）；2、定义“直线和圆的位置关系”是根据公共点的个数；3、得到“直线与圆相切”是通过几何直观而不是几何证明；4、将两图形的位置关系转化为数量关系（如d=r）是研究圆特有的方法，而且d也有特定的几何含义；5、切线性质定理、判定定理的本质还是命题“直线与圆相切”，只是呈现的形式不同；定义（图形直观）直线与圆相切d=r（观察）切线性质、判定定理（几何证明）（用到反证法）例直线和圆的位置关系复习课要点1、27例不等式的知识结构实数大小的基本事实不等式的基本性质不等式的求解：一元一次不等式；一元二次不等式；不等式组；绝对值不等式……基本不等式不等式的证明：比较法、综合法；分析法、反证法等不等式的应用：确定变量的取值范围，证明函数的单调性，解优化问题等例不等式的知识结构实数大小的基本事实不等式的基本性质不等28例：如前例，数与式的复习第1讲实数的概念及运算.doc策略二：建构网络，融会贯通建构知识网络，不仅要完善知识本身固有体系的同时，还应当沿着知识发展的脉络，将与之相近的、容易混淆的知识纳入复习范畴，在不同的领域，不同的表述（呈现）方式，都要尽可能地列举。例：如前例，数与式的复习第1讲实数的概念及运算.doc策29策略三：问题开放，启迪思维

设置开放式的复习方式，让不同层次的学生都能参与，都有话可说是一种常用的方法。复习课的教学主要应当根据学生的基本情况不定，切忌简单地采取教师完全控制的方式，让学生自主表达对复习内容的理解水平，教师提供必要的帮助。策略三：问题开放，启迪思维设置开放式的复习方30例：二元一次方程组复习课

师：同学们，今天我们一起复习二元一次方程组及其解法这章的内容，昨天我已请大家把二元一次方程组这部分的知识进行了归类、整理。现在请同学展示一下自己的归类整理情况。生1：我是按教材的编写顺序整理的（展示）（略）生2：我是从二元一次方程组的整体结构进行整理的，分为四个部分：（1）二元一次方程（组）的有关概念二元一次方程二元一次方程组的解二元一次方程组二元一次方程的解解二元一次方程组例：二元一次方程组复习课师：同学们，今天我们31（2）二元一次方程组的解法加减消元法代入消元法图象法（3）二元一次方程组与一次函数之间的关系（4）二元一次方程组的应用

评析：学生1按教材的顺序进行整理，是一种常用的、基本的整理方法，对于基础一般或刚学会整理的同学，也是一种能力的体现。学生2的整理注重了知识的前后联系，把握了知识的整体内在结构，是一种较高能力的体现。两种不同的方法体现两种不同基础学生的能力。开放式的综合性学习让每位同学在原有的基础上得到发展。（2）二元一次方程组的解法加减消元法代入消元法图象法（3）二32例解二元一次方程组例解二元一次方程组开放式的复习还有时应用在解题教学之中

一题多解，学生的思维才能是开放。学生思考的角度不同、学生层次的不同、学生习惯不同，对同一问题，会有不同的理解，也会有不同的解法产生。例解二元一次方程组例解二元一次方程组开放式的复习33策略四：典型例题，归纳整理例直线与圆的位置关系，核心是切线的判定定理、性质定理及其应用，定理的内容学生能够背下来，但在具体应用时很容易把两者搞混，选择有代表性的例题，把两者的区别与联系进行比较，策略四：典型例题，归纳整理例直线与圆的341、如图1，⊙O过点C，试判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；分析：连半径，证垂直（切线的判定）．2、如图2，⊙C与OA相切于点D，试判断OB与⊙C的位置关系，并证明你的结论．分析：作垂直，证半径．3、如图3，过点C作CE⊥OB于点E，试判断CE与以AO为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．对OA而言，切线性质，对OB而言是切线的判定。分析：连中点，证半径、证垂直例△OAB中，OA=OB，C为AB中点1、如图1，⊙O过点C，试判断直线A35策略五：精选习题，以少胜多概念温故，多设问，如前例数轴的概念，方法温故，重在分析与归纳例2013武汉市中考数学第24题分析例一组求几何最值问题策略五：精选习题，以少胜多概念温故，多设问，如前例数轴的概念36如何上好数学复习课课件37如何上好数学复习课课件38

这是一组求几何最值的问题，所求线段的最值都具有线段一个端点固定，另一个端点为动点这一类型。首先考虑探究动点的轨迹是什么。

对于题1，能观察出点H在以AB为直径的圆上运动是关键。对于题2，P为定点，M为动线段BC的中点，M显然不在某一个圆周上，但A、B、O、C四点共圆，OA为定弦，圆心在OA的垂直平分线上，即点M在OA的垂直平分线上．求法1（解析法）：先求OA的垂直平分线的解析式，再求点P到该垂直平分线的距离；求法2（几何法）：作OA的垂直平分线，则Rt△PFM∽Rt△EFO，通过比例求PM的长．这是一组求几何最值的问题，所求线段的最值都具39题3中，点D的轨迹不明显（甚至无法判断），只能借助与D有关的点或与D有关的某些线段来探求．与D有关的点有：A、B、C及矩形各边的中点。题4中，①D为定点，P为动点，但P点的运动是随G点的运动而运动，而G在⊙C上运动，因此，点P的轨迹不会是圆或直线；②D点是AB的中点、P是AG的中点，因此PD=1/2BG，把求DP的最大值转化为求BG的最大值；③BG的最大值放在△CGB中，有CG+CB≥GB，∴BG的最大值为CG+BC=2+5，∴PD的最大值为．

题3中，点D的轨迹不明显（甚至无法判断），只40分析：第（1）问比较简单，属于常见的相似基本图形利用三角形相似可解决问题．例2013武汉市中考数学第24题分析分析：第（1）问比较简单，属于常见的相似基本41

分析：第（2）问是在第（1）问的基础上发展的：①图形一般化（由矩形变为平行四边形）；②结论形式不变；③问题呈现方式由证明改为探究条件．

解题方法：

1、条件联想：由第（1）问的条件“∠B=∠EGC=90°”猜想第（2）问成立的条件——“∠B+∠EGC=180°”分析：第（2）问是在第（1）问的基础上发展的422、方法联想：第（1）问是通过三角形相似解决的，第（2）问能否仍然用此方法？（图形一般化，结论不变，解决的方法往往相同．）

不同的是，由于图形一般化，探求是否成立可能需要多次三角形相似才能解决问题，2、方法联想：第（1）问是通过三角形相似解决的，第43第（2）问解法分析（1）尝试一次相似法第（2）问解法分析（1）尝试一次相似法44如何上好数学复习课课件45（《中考说明》中的解法2）以DE、CF为对应边，构造与△ADE相似的三角形方法1（《中考说明》中的解法2）以DE、CF为对应边，构造与△AD46（《中考说明》中的解法3）以DE、CF为对应边，构造与△CDF相似的三角形方法2（《中考说明》中的解法3）以DE、CF为对应边，构造与△CD47（《中考说明》中的解法1）（《中考说明》中的解法1）48（《中考说明》中的解法4）（《中考说明》中的解法4）49如何上好数学复习课课件50如何上好数学复习课课件511、1、52（《中考说明》中的解法5）（《中考说明》中的解法5）53如何上好数学复习课课件54如何上好数学复习课课件55第（3）问解法分析

相对于前两问，四边形ABCD的形状大小唯一确定，DE、CF的位置不确定，因此，所求的结果是两条线段的比值（让学生对图形有一个定性的了解这点很重要）；在第（3）问中没有了“∠B+∠EGC=180°”这一条件，因此，前两问所用的方法在此不一定适用。第（3）问解法分析相对于前两问，四边形ABC56值题目：值题目：57如何上好数学复习课课件58例

“式”的复习方式1：有理式相关概念逐一叙述法方式2：根据学生层次不同，可采用先具体后抽象或先抽象后举例的办法方式3：知识网络的建构（数、式、方程对比）代数式超越式（三角函数、绝对值等）（未讲）有理式无理式（二次根式）整式分式单项式多项式解析式策略六：分层教学，区别对待例“式”的复习方式1：有理式相关概念逐一叙述法方式259代数式超越式（三角函数、绝对值等）（未讲）有理式无理式（二次根式）整式分式单项式多项式解析式代数方程有理方程无理方程（未讲）分式方程整式方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程（组）可化为一元一次方程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程方程超越方程（未讲）实数有理式无理式分数整数正整数负整数零正分数负分数正无理数负无理数代数式超越式（三角函数、绝对值等）（未讲）有理式无理式（二次60如何上好数学单元复习课？

彭友林湖北省数学特级教师湖北省名师、武汉市名师武汉市黄鹤英才武汉市中考数学命题专家组组长武汉市第一初级中学如何上好彭友林61

一、对数学复习课的认识

二、数学复习课的策略

一、对数学复习课的认识二、数学复习课的策略62

一、对数学复习课的认识

数学单元复习课是在结束某一单元的学习后，根据数学的知识结构体系及学生的认知规律，结合学生的学情，围绕单元教学目标，进行系统地温习、梳理、巩固已学知识、技能、数学思想方法，查漏补缺，以帮助学生提高运用所学知识解决各类问题的能力,形成优良的知识结构，促进知识系统化，完善自我学习能力的一种课型，它是数学教学中的重要课型之一，在数学教学中占有重要的地位。

一、对数学复习课的认识数学单元复63数学教育的“目标系统”（以有理数为例）1、数学课程目标。这是宏伟目标，需要经过长期努力、付出大量的时间和精力才能实现。它包含着多方面的、更为具体的目标。（1）体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数；掌握必要的运算（包括估算）技能；（2）建立符号意识，发展运算能力；（3）体会有理数及其运算的基本思想；（4）运用有理数知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。课程标准（2011版）第二部分课程目标P13——15，知识技能、数学思考、解决问题、情感态度中的相关条款数学教育的“目标系统”（以有理数为例）1、数学课程目标。这是64

2、单元教学目标。属于中观目标，（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；（2）借助数轴理解相反数年及绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。课程标准（2011版）第三部分课程内容P26，有理数2、单元教学目标。（1）理解有理数的意义，65（1）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；

3、课堂教学目标。这是目标体系中最具体的目标，是微观目标。下面以数轴为例说明课堂目标。（2）体会数轴三要素；数学课堂教学目标需要教师根据课程目标和单元目标，结合自己对本节课的内容的理解，自主写出课堂目标。（3）通过有理数集（实数集）中0、1和数的符号与原点、单位长度及方向之间的对应关系，从而体会数形结合思想。对（3）的理解。理解好“三对应”：①原点0，原点是区分方向的基准，0是区分正负的基准；②单位长度1，单位长度是度量线段长的单位，1是实数单位；③方向符号，空间里A、B两点的“位置差别”的定量化定义，必须且只需“方向”和“长度”。确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素。（1）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；66

（人教版七年级上1.2.2数轴）问题

在一条东西向的马路上，有一个汽车站（牌），在汽车站（牌）东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站（牌）西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

例：数轴概念教学(节选)

问题1（学生画图后提问）：（1）用美术的方法，我们会画出一幅美丽的画卷，现在要求用数学的眼光来画这一情境，怎样处理马路、汽车站、柳树、杨树、槐树、电线杆？【意图：用数学的眼光来看，就是不考虑马路的宽窄、汽车站所点的位置的大小等这些具体的因素，只考虑其笔直的形状，并实现用直线来表示，用点表示汽车站的位置的抽象过程。】（人教版七年级上1.2.2数轴）问题例：67（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3）你是怎样确定各物体的位置的？（用直线上的点来表示这些物体的位置。汽车站牌的位置最特殊，一切以此为起点，规定直线的一个方向表示东向，则另一个方向表示西向。在规定了方向的直线上，任意取一点O表示汽车站的位置。用一条线段的长度表示1m的长，在直线上，以O为起点，在东向分别量3个7.5个单位，表示棵柳树和杨树的位置，在西向分别量3个和4.8个单位表示槐树和电线杆的位置。）

【意图：用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题。这是用数学的方法来处理问题，实现实际问题用数学方法解决的第一次抽象。】（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）【意图：用直线、点、68

问题3：反过来，在这条直线上有点A（如图），它表示的含义是什么-3+7.5+30O-4.8A【意图：在这种直线上的点表示数。问题2与问题3是两个方面：用数表示直线上的点和直线上的点表示数，这种“数”和“点”的相互表示以及它们的对应关系，是第二次抽象。】【意图：用数表示点。】-3+7.5+30O-4.8A问题2：“东”与“西”具有相反意义，正数与负数可以表示具有相反意义的量，如何用数来表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置？（规定直线向东为正，点O用数0表示，表示棵柳树位置的点用数+3表示，表示杨树位置的点用+7.5表示，其他点类似）问题3：反过来，在这条直线上有点A（如图），69

问题4：归纳上述问题1~问题4的过程。（学生可能的答案：

1、用直线上的点来表示数；2、这条直线规定了一个基准点、方向；3、规定一个长度作为单位；4、依次在直线的正方向量出1个单位长、2个单位长，…，分别表示+1，+2；在直线的负方向上量出1个单位长、2个单位长，…，分别表示-1，-2；5、0用基准点表示；……）【意图：用进一步为抽象数轴的概念作准备。】问题4：归纳上述问题1~问题4的过程。70

问题5：带着下列问题看书：（1）数轴的定义是什么？数轴的作用是什么？（定义：略；作用：数轴是用来表示数的，用数轴上的点表示数，反过来，数可用数轴上的点表示）（2）数轴为什么要规定正方向？（数轴是用来表示数的，数有正负之分，因此，数轴必须规定方向，数轴的正负方向与“数”的正负对应。数轴正方向上的点表示正数，数轴负方向上的点表示负数）（3）“原点”起什么作用？（原点O是数轴的“基准”点，是区分方向的基准点，数0是区分正负的基准点。原点表示数0）（3）怎样理解单位长度？（单位长度可根据问题的实际。选取适当长度作为单位长度。单位长度是度量线段长度的单位，1是数的单位。）

问题5：带着下列问题看书：71评析：这一情境真实、直观地刻画了数轴的本质，从生活到数学，从现象到本质，体现了数学与实际生活的紧密联系．学生会自然联想：生活中，笔直的马路，数学中，用直线表示，数轴是一条特殊的直线。生活中，确定柳树、杨树的位置，数学中，用点表示位置，数轴上的点表示位置。生活中，以汽车站牌为参照，数学中，确定数轴原点的必要。生活中，在汽车站东牌3m和西3m是两个不同位置，要加以区别，数学中，数轴上确立方向的必要，生活中，3m、4.8m、7.5m，距离远近不同，数学中，数轴上确立单位长度的必要．这是一个活生生的数学问题情境的典范。有了这一情境，学生一方面加深了对数轴的三要素的理解，另一方面提高了数学源于生活的认识，学会了用数学的观点观察问题、处理问题。问题的拓展：上例中，如果不把原点定在汽车站，而是其他的位置（如把柳树作为原点），又该如何表示这一情境？这里显然渗透的是坐标变换的思想。评析：这一情境真实、直观地刻画了数轴的本质，72例：有理数单元复习2、内容及内容解析（共19条）（1）由于引进了负数，“数”的研究内容发生了变化，“相反数”、“绝对值”等概念都是小学未曾涉及的，对负数的理解是学好本节的关键，也是进行有理数运算的基础；由于研究“数”的方式发生了变化，由小学单一的计算到借助数轴研究问题，因此利用数轴的直观性是常用的方法，有助于问题的解决；（2）正负数的产生：小学学过的数可概括为两类，一类是0，另一类是比0大．比0大的数称为正数；在正数前面加上“﹣”的数叫做负数．（3）对“整数、分数”的再识：①正整数、0、负整数统称为整数；②正分数、负分数统称为分数．③整数和分数统称为有理数．

1、目标及目标解析例：有理数单元复习2、内容及内容解析（共1973

①按数的正负性

②按整数和分数分类

（4）有理数的分类①按数的正负性（4）有理数的分类74（5）研究有理数重要工具——数轴①数轴的画法：要注意三要素：原点、正方向、单位长度；②数轴的作用：用数轴上的点表示数，很多问题都可借助数轴的直观来解决（如相反数，绝对值，有理数的大小比较等）；③数轴上的点：任意一个有理数都可用数轴上的一个点来表示；在数轴上表示有理数，右边的数大于左边的数；（6）相反数：①定义：只有符号不同的两个数．②代数意义：当时，a、b互为相反数；反过来也成立；③几何意义：在数轴上位于原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数．

（5）研究有理数重要工具——数轴③几何意义：75（7）绝对值

①定义：（借助于数轴下定义，也是绝对值的几何意义）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│②代数意义：（分类讨论的方法）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用式子表示为：

（8）有理数的大小比较：①利用数轴比较：数轴上表示的有理数，右边的数总是大于左边的数；②利用法则比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．（7）绝对值76（9）有理数的加法法则

小学阶段学习的加法，是正数（或0）之间的加法，其结果也是正数或0．现在，由于引进了负数，有理数的加法，要根据两加数的符号选择方法．①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0；③一个数与0相加，仍得这个数．（10）有理数加法运算律（数的范围扩充到了有理数，小学学过的加法交换律、结合律仍然成立）①加法交换律：②加法结合律：（9）有理数的加法法则绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较77（12）有理数的加减混合运算先运用减法法则将混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式，再运用加法法则以及加法的运算律进行运算.（13）运用作差法可比较两个有理数的大小：

时，②当时，③当时，以上结论，反过来也成立.①当（11）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.用式子表示为：

（12）有理数的加减混合运算时，②当时，③当时，以上结论，反78（14）有理数的乘法小学阶段学习的乘法，是指具有相同加数的加法的简便运算，引进了负数后，乘法的意义没有改变．有理数的乘法是小学阶段学过的乘法的延续和拓展，引进了负数后，有理数乘法首先要确定积的符号．（15）有理数的乘法法则：

两个数相乘多个数相乘（14）有理数的乘法两个数相乘多个数相乘79（16）倒数的意义①定义：乘积为1的两个数互为倒数；②代数意义：当时，a、b互为倒数；反过来也成立；注意：0没有倒数，并且任何一个数的倒数也不可能为0.（17）有理数乘法运算律（数的范围扩充到了有理数，小学学过的乘法交换律、结合律以及分配律仍然成立）①乘法交换律：②乘法结合律：③分配律：（16）倒数的意义注意：0没有倒数，并且任何80（19）有理数的乘除混合运算有理数乘除法混合运算，按照从左至右的顺序进行，一般先运用除法法则将混合运算中的除法转化为乘法，然后确定积的符号，再把绝对值相乘.（18）有理数的除法法则：①（转化的思想）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.用式子表示为：

②（直接计算，类比乘法法则）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0③除以任何一个不等于0的数，都得0；④进行有理数除法时，要根据具体情况选择合适的方法．（19）有理数的乘除混合运算（18）有理数的除法法则：②（直81

方式1（低级的重复式复习）按照学生学习知识的前后顺序，把相关概念（如：有理数、数轴、绝对值等）依次进行复述（有的还要求学生背下来）。

方式2（简单的重复式复习）第1讲实数的概念及运算（杨光荣）.doc方式2（注重知识体系的建构式复习）第1讲实数的概念及运算.doc3、实数数复习课例九年级复习课（数与式）对比几种复习方式谈复习课的效率方式1（低级的重复式复习）按照学生学习知识的82

复习课时，由于学生已经学过相应的知识内容，学生对相关知识的认识不再是一张白纸，也不是千篇一律处于同一水平。学生经过一轮的学习，所获的知识、方法、能力各不相同，甚至差别较大。复习课必须立足让不同的学生都得到发展。针对不同内容、不同要求的复习，可采用不同的策略。

二、数学复习课的策略

复习课时，由于学生已经学过相应的知识内83

目前复习课中存在的主要问题：1．只“温故”，不“知新”，对知识进行简单的重复，复习课上成了炒剩饭课；2．只做题，不建构，用做题（或考试）代替建构，复习课上成了习题课；3．盲目拔高，忽略基础，复习课上成了“培优”课；4．复习课计划、目的、设计，。

目前复习课中存在的主要问题：84策略一：完善体系，把握全貌策略二：建构网络，融会贯通策略四：典型例题，归纳整理策略五：精选习题，以少胜多策略三：问题开放，启迪思维策略六：分层教学，区别对待策略一：完善体系，把握全貌策略二：建构网络，融会贯通策略四：85策略一：完善体系，把握全貌复习课重在体系的建立和完善。数学教学中，概念要一个个地去理解，定理要一个个地去证明，公式要一个个地去推导。这些概念、定理、公式及其由内容反映的数学思想方法都是分散在不同的阶段，不同的教学中。只有通过复习，按照内在的逻辑关系将它们进行系统的整理，让学生把握知识的全貌，并及适当的形式表示，让学生头脑中的数学知识系统化、结构化，才能真正形成数学认知结构。因此，复习的首要任务是完善知识体系，使之结构化。策略一：完善体系，把握全貌复习课重在体系的建86例直线和圆的位置关系复习课要点1、在平面直角坐标系中，一条直线和一个圆的位置是明确不变的，它们的位置关系可以通过坐标来到刻画，但这里研究直线和圆的位置关系，首先需要将直线和圆的位置关系抽象成三类（相交、相切、相离），这种处理问题的方法与点和圆的位置关系是相同的（点在圆上、圆内、圆外）；2、定义“直线和圆的位置关系”是根据公共点的个数；3、得到“直线与圆相切”是通过几何直观而不是几何证明；4、将两图形的位置关系转化为数量关系（如d=r）是研究圆特有的方法，而且d也有特定的几何含义；5、切线性质定理、判定定理的本质还是命题“直线与圆相切”，只是呈现的形式不同；定义（图形直观）直线与圆相切d=r（观察）切线性质、判定定理（几何证明）（用到反证法）例直线和圆的位置关系复习课要点1、87例不等式的知识结构实数大小的基本事实不等式的基本性质不等式的求解：一元一次不等式；一元二次不等式；不等式组；绝对值不等式……基本不等式不等式的证明：比较法、综合法；分析法、反证法等不等式的应用：确定变量的取值范围，证明函数的单调性，解优化问题等例不等式的知识结构实数大小的基本事实不等式的基本性质不等88例：如前例，数与式的复习第1讲实数的概念及运算.doc策略二：建构网络，融会贯通建构知识网络，不仅要完善知识本身固有体系的同时，还应当沿着知识发展的脉络，将与之相近的、容易混淆的知识纳入复习范畴，在不同的领域，不同的表述（呈现）方式，都要尽可能地列举。例：如前例，数与式的复习第1讲实数的概念及运算.doc策89策略三：问题开放，启迪思维

设置开放式的复习方式，让不同层次的学生都能参与，都有话可说是一种常用的方法。复习课的教学主要应当根据学生的基本情况不定，切忌简单地采取教师完全控制的方式，让学生自主表达对复习内容的理解水平，教师提供必要的帮助。策略三：问题开放，启迪思维设置开放式的复习方90例：二元一次方程组复习课

师：同学们，今天我们一起复习二元一次方程组及其解法这章的内容，昨天我已请大家把二元一次方程组这部分的知识进行了归类、整理。现在请同学展示一下自己的归类整理情况。生1：我是按教材的编写顺序整理的（展示）（略）生2：我是从二元一次方程组的整体结构进行整理的，分为四个部分：（1）二元一次方程（组）的有关概念二元一次方程二元一次方程组的解二元一次方程组二元一次方程的解解二元一次方程组例：二元一次方程组复习课师：同学们，今天我们91（2）二元一次方程组的解法加减消元法代入消元法图象法（3）二元一次方程组与一次函数之间的关系（4）二元一次方程组的应用

评析：学生1按教材的顺序进行整理，是一种常用的、基本的整理方法，对于基础一般或刚学会整理的同学，也是一种能力的体现。学生2的整理注重了知识的前后联系，把握了知识的整体内在结构，是一种较高能力的体现。两种不同的方法体现两种不同基础学生的能力。开放式的综合性学习让每位同学在原有的基础上得到发展。（2）二元一次方程组的解法加减消元法代入消元法图象法（3）二92例解二元一次方程组例解二元一次方程组开放式的复习还有时应用在解题教学之中

一题多解，学生的思维才能是开放。学生思考的角度不同、学生层次的不同、学生习惯不同，对同一问题，会有不同的理解，也会有不同的解法产生。例解二元一次方程组例解二元一次方程组开放式的复习93策略四：典型例题，归纳整理例直线与圆的位置关系，核心是切线的判定定理、性质定理及其应用，定理的内容学生能够背下来，但在具体应用时很容易把两者搞混，选择有代表性的例题，把两者的区别与联系进行比较，策略四：典型例题，归纳整理例直线与圆的941、如图1，⊙O过点C，试判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；分析：连半径，证垂直（切线的判定）．2、如图2，⊙C与OA相切于点D，试判断OB与⊙C的位置关系，并证明你的结论．分析：作垂直，证半径．3、如图3，过点C作CE⊥OB于点E，试判断CE与以AO为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．对OA而言，切线性质，对OB而言是切线的判定。分析：连中点，证半径、证垂直例△OAB中，OA=OB，C为AB中点1、如图1，⊙O过点C，试判断直线A95策略五：精选习题，以少胜多概念温故，多设问，如前例数轴的概念，方法温故，重在分析与归纳例2013武汉市中考数学第24题分析例一组求几何最值问题策略五：精选习题，以少胜多概念温