第4章 机械振动 机械波

授课章节第4章机械振动机械波教学目的理解描述简谐振动的三个重要参量：振幅、周期（频率、圆频率）、相位（初相位），能熟练确定这三个参量，特别是相位和初相位。掌握描述简谐振动的旋转矢量法；理解简谐振动的动力学特征、运动学特征、能量特征；掌握同方向、同频率简谐振动的合成，了解拍振动；5.理解波动方程及其多种表达式。（1）确切理解描述波动的三个重要参量：波长、周期（频率）、波速的物理意义，并能熟练地确定这些量；（2）掌握由波动方程求位于某位置处质点的振动方程或某时刻的波动方程的方法，并能熟练地求出同一波线上两点间的相位差，或同一位置处质点不同时刻的振动相位差；（3）掌握如何写出波源不在坐标原点时的波动方程的方法；（4）掌握由已知时刻的波形曲线写出波动方程，或写出（画出）某位置处质点的振动方程（振动曲线）的方法。理解波动能量的特点，理解平均能量密度、平均能流密度的概念及相关的计算；理解波动叠加原理，掌握波的相干条件及相长、相消干涉的条件。教学重点、难点正确运用动力学方法求系统固有角频率；正确确定振动相位，从而写出振动方程；能应用旋转矢量讨论有关问题；正确地由振动方程写出波动方程，能将给定的波动方程与波动方程的标准形式比较，从而获得波振幅A，波动角频率①（或周期T，频率v）、波长人（或波速度u）；理解波速与振动速度的区别；能够由波动方程读出波线上某点的振动相位与坐标原点的相位相比是超前还是滞后；由已知时刻的波形图建立波动方程（设传播方向已知）；8由已知点的振动曲线建立波动方程.教学内容备注第4章机械振动机械波刖言振动是一种重要的运动形式振动有各种不同的形式机械振动:位移x随t变化；电磁振动；微观振动广义振动:任一物理量（如位移、电流等）在某一数值附近反复变化。振动分类「受迫振动｛r阻尼自由-（自由非谐I无阻尼\1-自由谐动波动是振动的传播过程。（机械波----机械振动的传播波动，电磁波----电磁场的传播粒子波----与微观粒子对应的波动

虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。§4.1简谐振动的动力学特征m—innnnr^OLoFxX=00、弹簧振子的振动:X。=A二、谐振动方程f=-kx_f_ka———xmm令k-o2则有md2xa——-o2xdt2ox即d2X+o2x—odt2其解为x(t)=Acos(ot+%)三单摆如图所示，m受合外力沿轨道切线方向分力"=—mgsin9，负号表示力的方向与°角的方向相反。当。＜5时f—一mgsin9^一mg9有21*!Psin食成大学物理学ma=mlP=ml=一mg0tdt2即全0+g0=0dt2l令①2=gQ+①20=0ldt2所以，在角位移很小（0<5。）情况下，单摆的振动才是近似的简谐振动。少=、■—，T=2兀，v=_1£。tl\g2兀>l四、复摆设刚体的质量为皿，重心在c点，重心到轴的距离为h，刚体对通过o点的转轴的转动惯量为I。t时刻的角位置为。，向右为正。则当角位移为。时，受到重力矩M=-mghsin0当在角位移很小（0<5。）情况下，sin0^0M=—mghsin0^一mgh0.d200I=—mgh0dt2Q=一m!0令微=mghdt2IId20=—①20dt2即复摆在摆角很小（0V5。）情况下，可近似为简谐振动。x=Acos（ot+甲°）dxx=Acos（ot+甲°）dxv==一Arosin（rot+甲）dt0简谐振动的运动学程：速度：

d2X加速度:a—二一A©2cos伽+中)=-©2%加速度:dt2。二、描述简谐振动的特征量振幅一一最大位移的绝对值(A恒为正).周期和频率一一反映振动的快慢周期T一振动一次所需时间。频率v—单位时间的振动次数v=—(Hz)圆频率一2兀秒内的振动次数①—2kv(1/s或rad/S)位相(2)初相是t=0时刻的位相。动的时刻)。v———A©sin(©t+甲)、dt。(t=0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运4、振幅和初位相由初始条件决定X—Acos900v——©Asin9v、9—arctg(—―)n(1)(©t+90(2)初相是t=0时刻的位相。动的时刻)。v———A©sin(©t+甲)、dt。(t=0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运4、振幅和初位相由初始条件决定X—Acos900v——©Asin9v、9—arctg(—―)n三、旋转矢量法矢量长度=A以①为角速度绕。点逆时针旋转t=0时矢量与x轴夹角为中矢量端点在X轴上的投影做简谐振动x=Acos(wt+^0)①t+90t=0At=tAoxx二、位如果有两个谐振动x=Acos(rot+9),那么它们的位相差为△9=(&t+9)—(ot+9)=9-9.可见，对两回频率的谐振动其位相差等于初相差。以上讨论的是两个振动在同一时刻的位相之差。同样地，同一振动在t1,12两个不同时刻的位相差为△9=°t+9)-S+9)=①(t一t)2121由此可见，一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间为aA9T入△t=t-1=—^=2~A9当A9=±2S(k=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相当A9=±(2k+1久(k=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相三、位相超前和落后若△中=中-中〉0,则x比x较早达到正最大，称x比x超前(或x比x落后)。21212112

由图t=0,%=00=Acos中11A=Acos中oxA2两个同频率的谐振动的位相关系还可以直接用旋转矢量图示法进行比较：如图&、a2分别表示圆频率相等的两个谐振动，它们任意时刻的位相差△中是一个恒量，§4.3由图t=0,%=00=Acos中11A=Acos中oxA2两个同频率的谐振动的位相关系还可以直接用旋转矢量图示法进行比较：如图&、a2分别表示圆频率相等的两个谐振动，它们任意时刻的位相差△中是一个恒量，§4.3简谐振动的能量1、EkEk随t变：（Ek）max=2kA2（E）=0kmin（E）=-jt+TEdt=1kAk平均Ttk42、势能E=4kx2=Ep随t变：1kA2cos2（©t+q）2与动能情况相同。（），E），E）E=4kx2=Ep随t变：与动能情况相同。PmaxPminP平均3、机械能E=E+E=2kA简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗。各时刻的机械能均等于起始能量E0（t=0时输入的能量）。同方向同频率的简谐振动的合成1、分振动一物体同时参与两个谐振动•x=AcosCot+%)工=AcosCot+中同方向同频率的简谐振动的合成1、分振动一物体同时参与两个谐振动•x=AcosCot+%)工=AcosCot+中)2、合振动x=x+xx=Acos(ot+^)由右边的矢量图可求得：合振动是简谐振动，其频率仍为S其振幅和位相分别是A=\,'人2+A2+2AAcosCp一中)V，121221七④口Asin中+Asin中Acos中+Acos中3.两种特殊情况（1）若两分振动同相中一中=±2kn21A1+A2，两分振动相互加强，如A1=A2，则A=2A1（2）如A1=A2,中一中=±（2k+1）i则A=0，（以上k=0,1,2,……）。若两分振动反相则A=1气-A2I,两分振动相互减弱，同方向不同频率的简谐振动的合成分振动:设x=Acosot,x=Acosot

合振动:x-x+xx可写作合振动不是简谐振动。当①广叫时，①厂①]<<必2+叫,x-A(t)cos矿t其中：A(/)=2A合振动:x可写作其中：A(/)=2Acos①一①_—―11，随t缓变。①三①+①21。随t快变。这样，合振动可看作振幅缓变的简谐振动。X=X]+X2IO(C)wwwvwwwwwwvji!ij64/w\A/w\A/w\A/vwv；)X=X]+X2IO(C)拍(beat)――合振动的强弱A2(t)随t变化的现象。拍频：单位时间内强弱变化的次数.vTv-VI或少日①_q|b21b21Vb即为A2(t)或IA(t)I的变化频率。例：双簧管(oboe)；钢琴(piano)调音.§4.4机械波的形成和传播、机械波产生的条件波源---作机械振动的物体弹性介质---内部各相邻质点间有弹性力相互联系的气体、液体或固体介质。二、横波与纵波横波---质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波。纵波---质点的振动方向与波的传播方向平行的波。三、波线与波面波传播到的空间称为波场。波线---用带箭头的线表示波的传播方向，该线称为波线。波源的振动状态沿着波线传播到波场中的各质点，引起各质点的振动。振动状态的传播也就是位相的传播。波面---波场中同一时刻振动位相相同的点连成的面称为波面。波前（波阵面）---某时刻波场中最前面的那个波面，即该面上的位相等于波源开始振动时的位相。（a）平面波（a）平面波（b）球面波四、描述波动的几个物理量1、波长：同一波线上位相差为2兀的两质点间的距离，即一个完整波的长度，称为波长，职表示。2、周期和频率：周期：波传播一个波长所需要的时间，或者说，一个完整波通过波线上某点所需的时间，称为波的周期，用T表示；频率：单位时间内，波动向前推进的距离内所包含的完整波的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目，用v表示。v=1oT3、波速：单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离。用u表示。X=uT=—。v波速决定于介质的弹性模量和密度。固体中横波与纵波的波速分别为u=&（横波），—=「|（纵波）。T绳上或弦上的横波波速u=^-。§4.5平面简谐波的波函数波的能量一、平面简谐波的波函数设有一平面简谐行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿X轴正向传播，波速为u。取X轴为其一条波线，并任选波线上一点。为坐标原点（注意：。不一定是波源）。如图所示设原点处（X=0）质点的振动方程为y=Acos（①t+中），式中A是振幅，少是圆频率，中°是o点处质点振动的初位相，％就是o点处质点任意时刻r离开其平衡位置的位移。当振动沿波线传播到坐标为x的p点时，p处质点将以x相同的振幅和频率重复o点质点的振动，但振动从o点传到p点须经历也=一的时间，即u在波向x轴正向传播时p点的振动比o点的振动在时间上落后At=-，所以，p处质点u任意时刻t离开自己平衡位置的位移等于原点在(t-At)时刻的位移，即y(x,t)=%(t-At)。所以，沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数为TOC\o"1-5"\h\z一，x、〜y—Acos[3(t-—)+中°]。若这列平面简谐波沿x轴负向传播，则波函数为一，x、〜y=Acos[3(t+—)+中]因为3=竺=2KV，x=u，所以上面的波函数也可写成以下几种形式:\o"CurrentDocument"Tv2兀、y=Acos(2兀vt十—x+中o)；2兀/y=Acos[—(ut_x)+甲0]二、波函数的物理意义1、如果x=x0为给定值，3xxy(t)=Acos(31+q)=Acos(31-2兀云+%).这就是波线上x°处质点在任意时刻t离开自己平衡位置的位移。即x°处质点的振动方程。.-x它在t=0时的位相为卬=-2兀才+*，表示x0处质点的振动比原点的振动始终落后一个X相位甲'一甲0=—2兀可。X一2、如果t=t0为给定值，y(X=AcosWO。--)+%]只是X的函数，表示t=t0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为t0时刻的波形方程。3、如果t，x都在变化，则X、〜t时刻波动方程y(x,t)-Acos[①(t-)+Q]；u0X.一t+At时刻波动方程y(X,t+At)=Acos[w(t+At-—)+队]。u0画出t和t+At时刻的波形，便可形象地看出波形向前传播的图象。波形向前传播的速度等于波速u。由于波形向前传播，x处质点在不同时刻t和t+At的位移是不同的。但从上面的t时刻波形和t+山时刻波形可以看出：Acos[①(t+At-X+UAt)+中]=Acos[^(t-X)+中」，u0u0即y(t+At,x+Ax)=y(t,x)，x+uAtX或直接用位相表示为①(t+At——u—)+中0一①(t-u+中0。上式表明：x处质点在t时刻的振动状态(或位相)，经过时间At正好传播到x+Ax=x+uAt处。故波速就是位相的传播速度。例1：一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率分别为A和O，波速为U，设t-0时的波形曲线如图所示。写出此波的波动方程；求距o点分别为人/8和3人/8两处质点的振动方程；求距o点分别为人/8和3人/8两处质点在t-0时的振动速度。解：(1)由图可知t-0时可求出从而获得波动方程是:（2）在人/8处jy=Acos[①(t——)—]u2,「c—/8—、=Acos[wt一2——；+]—2———、=Acos(wt——+—)=Acos(wt+—)424同理，在3—/8处，y=Acos[wt—2—3—/8+—]—2,3——,—=Acos(wt——^+3)=Acos(wt-—)dyx、—_,v=—=—A①sin[w(t—_)+]\o"CurrentDocument"dtu2t=o时，x=—处速度v=-Arosin(-—+—)=—上2Aw8422x=兰处速度v=—Awsin(—3—+—)=2aw8422例2：如图，平面简谐波沿ox轴正方向传播，波长为—，若p1点处质点的振动方程;与P1点处质点振动为y1=Acos（2兀vt+。），则P2点处质点的振动方程为(L+L)L2—vt-12+*L1uJ、—工*P1y=AcosLX—*—状态相同的那些点的位置是。解：（1）由图知P2点的振动落后于P1,(L+L)Acos2—Vt-12l人J+*(2)x+气=±k人(k=1,2，…)二x=±k人-L1、波的能量和能量密度以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。如图所示放置，一列平面简谐纵波以波速u沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压缩和拉伸。设波动方程为：有一密度为P的细长棒沿双轴y=Acos[w(t-—)+j0]r-Xfdx,UlJ一⑪一固体细长棒中纵波的传播在坐标为x处取一小体积元dV=sdx，其质量为dm=pdV=psdx，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化TOC\o"1-5"\h\z世X、,v=—=-Amsin[a(t-—)+0]=v(t,x)，dtu0其振动动能1,1、1X、、dW=2(dm)v2=2(pdV)Azwsin[m(t一—)+中]；同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能dW=-(pdV)A2①2sln2[①(t-X)+0]；P2u体积元的总能量XdW=dW+dW=(pdV)A2&2sin2[®(t-一)+中]。以上结果表明：波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。波动能量和振动能量有根本区别。振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零(即平衡位置)时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。介质中单位体积内的能量叫能量密度，用①表示dw..,X、w=——=pA2©2sin2©(t——)+中。dvL它在一个周期内的平均值叫平均能量密度TO=Lf①dt=LpA2①2o四、波的能流和能流密度1、能流、平均能流:能流一一单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。如图所示，s为垂直于波速u的平面，则单位时间内通过S面的能量平均来说等于以s为底、u为长度的体积内的能量，即P称为通过S面的平均能流。P=wuS

式中—为平均能量密度，对简谐波回=2P4202，所以P=-PA2W2US222、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I表示，即IP称为通过S面的平均能流。式中—为平均能量密度，对简谐波回=2P4202，所以P=-PA2W2US222、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I表示，即I=P=Wu=-P4202U。S2由此可见，平均能流密度I与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。*五、波的吸收无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S1和S2的平均能流相P=P1..1一-2pA&2uS=2pA.2®2uS1、等。即所以波的吸收波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。实验指出：当平面波通过极薄的一层介质(厚度为dx)后，振幅减少-dA与波进入介质薄层时的振幅A及薄层厚度dx成正比：2、一dA=aAdx，A=Ae-ax。4。和A分别为x=0和x=x处波的振幅。由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所以波的式中口为常数，称为介质的吸收系数，积分可得:强度衰减的规律为:I=Ie-2ax§4.6惠更斯原理波的叠加和干涉四、惠更斯原理1惠更斯原理:介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。(a)球面波14(b)平面波大学物理学(a)球面波14(b)平面波大学物理学2用惠更斯原理确定新的波阵面：从以上图中可看出：当波在均匀各向同性介质中传播时，波阵面的几何形状总保持不变，波的传播方向也保持不变。五、波的叠加原理1）独立性：当几列波在介质中相遇重叠时，它们各自的频率、波长、振幅均不会相互影响，都各自独立地进行传播、就好象传播过程中没有彼此相遇一样，这就称为波的独立性。2）波的叠加原理：当几列波在介质中相遇时，每一列波都将引起相遇处质点的振动，因此，相遇处质点的振动将是每列波在该点引起的分振动的叠加，即任一时刻相遇处质点的振动位移等于每列波在该点引起的分位移的矢量和。波的叠加原理和波动方程为线性微分方程是一致的。六、波的干涉干涉现象：两个频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定的波源发出的两列波在空间相遇时，使空间某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消的现象。满足频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定三个条件的波源称为相干波源；由这样两个波源发出的两列波称为相干波。设相干波源S］，S2的振动方程分别为y=Acos®t+©），y=Acos（①t+中）；101010202020图中P为相遇区域中任意一点，r「r2为P到S］，S2的距离，则两列波在P点引起的分振动分别为y=Acos(®y=Acos(®t-一^+p)，y=Acos(tot-x2+中)，P点的合振动为:Sy=y+y=Acos(①t+%)。合振动的振幅A：A=JA;+A2+2qA2cos曲，因为波的强度正比于振幅的平方，所以I=〈+12+2，式中△甲是P点处两个分振动的位相差△中=（~~^+中）（&^+中）=（中中）-号（rr），K20A102010人21I=〈+12+2，空间任一给定的P点的两个分振动的位相差△甲也是恒定的，该点的合振幅A或强度I也是一定的。所以，在两列相干波相遇的区域会出现振幅/4或强度I不均匀的、稳定的干涉图样。（1）当M=（＜p—中）-2兀r~=±2航，2010AA=A+A=A，I=I+1+2Tl=I。空间各点干涉加强或干涉相长12max1212max（2）当△甲=（甲—平）-2兀4_r=±（2k+1¥，2010KA=A-A=A，i=i+1-2.ii=i。空间各点干涉减弱或干涉相消12mm12'12min（3）如果中10=中2。，上述干涉加强和干涉减弱的条件可简化为厂K8=r-r=±2k—干涉加强或干涉相长VKI8=r2-r=±（2k+1）—干涉减弱或干涉相消以上表明，当两波源同位相时，在两列波的叠加区域内，波程差8等于零或半波长的的偶数倍的各点，振幅和强度最大；波程差8等于