第9章反射与折射

教案课程：电磁场与电磁波内容：第9章反射与折射课时:8学时武汉理工大学信息工程学院教师：刘岚

课题反射与折射科目电磁场与电磁波课时8学时教师刘岚授课班级时间〜学年第学期教学目的与要求知识目标：1、认识波的入射、反射与透射（折射）的概念。2、理解平面边界上的边界条件如何得出。3、理解传播矢量k的定义和概念，引及其入的意义。4、了解E的极化平面垂直于X-Y平面（入射面）时的边界条件以及—►波的入射、反射与透射（折射）。—A5、了解E的极化平面平行于x-y平面（入射平面）时的边界条件以及波的入射、反射与透射（折射）。—A6、了解反射波的极化现象。7、理解布儒斯特角。&的定义和概念。8、理解法向入射波的反射系数和折射系数的定义和概念。9、了解行波、驻波、行驻波的定义和概念。10、理解驻波形成的机理和形成驻波的条件。11、理解行波系数、驻波系数（VSWR）的定义和概念。12、了解全折射的定义和概念。13、了解全反射的定义和概念。14、发生全反射的最小入射角临界角七的定义和概念。15、了解反射波的相位变化概念。能力目标：根据学生已具备的关于方面数学知识和物理知识，引导学生从物理概念出发，了解波遇到介质后的反射与折射现象，分析波的传输特性，培养学生的想象力及利用所学知识分析、总结问题的能力。

情感目标：引导学生将抽象的数学分析与现实物理世界尽可能融合，激发学生对理论学习的热情。概述当电磁波从一种媒质进入到另一种媒质的过程中会发生什么现象，即当平面电磁波穿过两种理想的非导体媒质分界面时的情况。我们将对电场和磁场中两种均匀、各向同性、绝缘介质的分界面建立一组边界条件，此外，还会进一步丰富电磁波的数学描述，以便改换一个视角来对电磁波进行研究而又不额外增加数学知识。教学重点电磁波传播的边界条件、平面边界的反射与透射、反射波的极化、法向入射、全折射和全反射、反射波的相位变化。教学难点电磁波传播的边界条件、平面边界的反射与透射、反射波的极化。教学方法讲述法、演示法、发现法、讨论法教学环境多媒体教室教学准备多媒体课件教学过程1、复习提问2、引入新课3、讲解新课4、归纳总结5、布置作业学时分配电磁波传播的边界条件、传播矢量2学时平面边界的反射与透射2学时反射波的极化、法向入射2学时全反射与全折射2学时小计8学时

教学环节教学过程复习在第三章中，曾给出了各向同性绝缘介质中的麦克斯韦方程，其形式为(,V(E+P/七)=pj8°勺口6BVxE=——dt—►V・B=0uVxB=J/£+—(E+P/£)-f0Qt0式中Pf和Jf分别是自由电荷密度和自由电流密度。-如果只存在由于介质极化产生的电荷和电流，则麦克斯韦方程又可写成V・(E+P/£)=00V7"_-QBVxE—Qt―AV・B—0c2VxB=—(E+P/£)iQt0引入—►—►—►多媒体课件展示：第9章反射与折射提示：本章的重点内容新课设置悬念、激发探究提问：电磁波遇到两种介质的交界面时你认为会发生什么情况？讲述新课多媒体课件展示：9.1电磁波传播的边界条件1、我们已经假定仅在x方向才会有边界的变化，沿着y和z方向没有边界于是上式中对y和z的导数项应为零，这样就有dE1dPn^H=0讲述新课dxsdx0即a1虱(E+厂Px)=00此式表明，在穿过边界时，(Ex+P/80)这一项的大小并不改变，即(Ex+P/%)在边界两边的介质1和介质2中均具有相同的值，即(E+P/s)=(E+P/s)xx01xx022、对于各向同性的绝缘介质，我们可以利用E和P之间的关系，简化电场在x方向分量的边界条件。在第六章中，我们定义过相对介电系数—►—►sr，即为s=(E+P/s0)/E同时还指出了它与折射率n的关系为s=n2r因而有n2=(E+P/s)/E0于是可得P=s0E(n2-1)这样我们就可以写出电场在x方向上分量的边界条件为[E+E(n《-1)]]=[E+E(n;-1)]2即n2(E)=n2(E)1x12x23、由麦克斯韦第二方程VxE=dB

dtVxE=dB

dt在边界区域内，我们所感兴趣的是对x的导数，因此可以令上式右边为零，而左边则可写为eeexyzVxE=———QxQyQzEEE—►xyz其中与x无关的所有项的导数均应为零，于是得VxE=e0-e生+e竺

xydxzQxVxE=-翌=0Qt4、因而全部的电场边界条件为n2(E)=n2(E)1x12x2(E)1=(E)25、磁场的边界条件则可以从下面两个麦克斯韦方程V・B=0和uVxB=—(E+P/eQt0中得出，即为—►B]=B2多媒体课件展示：9.2一传播矢量1、在第七章中，我们曾指出，方程E=E0exp[i(wt-kz)]

描述了一个沿Z方向传播的单色平面波，其中E0是一个常向量，其大小确定了电场的幅值，而其方向则给定了电场的极化方向，式中的常数k为一k=①n/c2、我们采用一种比较灵活的方法来确定波的传播方向，首先考虑一个位置矢量r(描述场点的矢量)与矢量k的标量积k-r=kx+ky+kz—xy—z上式右边的最后一项即为单向平面单色波中代表空间位置的指数项—►—►kz。如果我们现在将k定义为传播矢量，并把平面单色波的方程写为E=E0exp[i(ot-k-r)]3、利用传播矢量k来描述波还有一个好处,这就是可以很容易得到场量关于时间和空间的导数。将式(9-20)写成标量积的形式得E=Eexp[i(ot-kx-ky-kz)]显然有—A—AdE_——ioEdt因而微分算子土等效于用，o相乘，即旨或对于空间坐标的导数则为——=-ikE，dxx由于--V=e—+e—xdxydy——=-ikE，——=-ikE\o"CurrentDocument"dyydz乙————de一zdz所以算于V等效于-ik——=-ikE，dxx由于--V=e—+e—xdxydy——=-ikE，——=-ikE\o"CurrentDocument"dyydz乙————de一zdz入射波：E=E0exp[i(ot-k・r)]反射波：E广E0'exp[i(o't-k：r)]透射波：%=E/exp[i(o"t-k丫)]显然，必须首先明确地给出入射平面单色波的描述式，这里k代表传播—A方向，常矢量E则表示入射电场的方向。此外，波的传播方向可以是任0意的，k也不一定要取在X-Y平面内，即_k=ek+ek+e0—xxyyz2、Eo的方向可能会出现两种极端的情况，即它或与X-Y平面平行或垂直于X-Y平面，而Eo的其它全部可能的取向(当然，Eo仍然垂直于传播方向k)可以用这两个相互垂直的方向的矢量和来表示。3、第一种情况:E的极化平面垂直于X-Y平面(入射面)在这种情况下，电场只有z分量。边界上介质1一边的电场E1是入射场E和反射场E的矢量和，而介质2这一边的情况则比较简单，电场E2就是透射场E,即有E1=E+EE=E——>—>2t4、在任何时刻应有夜=仃=3"k=k'=k"0=k'=k"5、斯涅尔反射定律0j=0^此式表示入射角等于反射角。5、斯涅尔折射定理nsin0=nsin02t1i斯涅尔折射定理则反映了入射角和透射角之间的关系。6、以上结果表明：在透射和反射过程中波的频率是不变的，入射、反射、透射三种波均平行于X-Y平面（入射平面），入射角等于反射角。7、入射、反射和折射这三个电场振幅之间的另一种描述关系为E=n2cos0"nicos0tE-RE

0ncos0+ncos00102i1tE-———0i八E—TE

0ncos0+ncos00102i1t式中定义R_e'_n_R———1E0cos0-ncos0ncos0.+ncos0称为垂直极化波电场反射系数2qcos0eE"T—―=-2i———iencos0+ncos002i1t入射、反射和折射这三个电场振幅之间还有一种描述关系。由于称为垂直极化波电场折射系数=k”,所以有y由于k—~k'，用k—k"除与上式有01+tan0cot00it9、第二种情况：E的极化平面平行于x-y平面（入射平面）在这种情况下，入射波在x-y平面传播，仅有x分量和y分量，所以其传播矢量k中不存在z分量，可以表示为E=E0exp[i(ot-k-r)]=E0exp[i(ot-k_x-ky-0z)]入射场的方向是由常矢量吃来确定的’即有10、11、12、E=eE+eE+e00x0xy0yz对于边界上所有y和z的点，有o=o'=①"--k=k'=k"0=k'=k"在这种情况下斯涅尔反射定理和折射定理也成立。透射场与入射场之间的关系为或为B-

0n[1+(-1)2n2——BXB=八0ncos0[1+n2疝-B]013、仿照第一种情况中那样用反射系数和折射系数来表示。由于此时有(Ecos0.-Ecos0.)=cos0E"和—(E+E)=—E-门00门0所以有E=n1cos0i~n2cos0tE=RE0门cos0+门cos00〃01i2t「2ncos0厂由厂E"=-Ui~—E=TE0ncos0+ncos00//01i2t式中定义称为平行极化波的电场反射系数称为平行极化波的电场折射系数R—门cos。一门cos0〃门cos0+门cos0称为平行极化波的电场反射系数称为平行极化波的电场折射系数E2门cos0T=^2'―〃门cos0+门cos01i2t多媒体课件展示：9.4反射波的极化1、反射波电场的幅值可以由下面两式求得，即当E垂直于入射平面'时:E'_sin(0-0)Esin(0+0_)—A当E平行于入射平面时:E'_tan(0-0)Etan(0+0)2、我们知道tan（K/2）=8，因此如果0t+0i=兀/2，那么由（9-52）式可知将不存在平行于X〜Y平面的反射分量，然而由于sin（K/2）=1,所以就会有一个垂直于X〜Y平面的反射分量。3、满足下式的波被反射后会产生完全极化现象

0+0=兀/2将此式代入斯涅尔定理可以定义出一个特殊的入射角0疽称为布儒斯特角，此时两种介质边界上所反射的波将会被完全极化，并且有tan0=n/n多媒体课件展示：9.5法向入射1、在法向入射的情况下，反射波幅值E0与入射波幅值E。两者比值的表示形式特别简单。根据斯涅尔定理可知，对于法向入射，有0.=0=0且cos0.=cos0=12、因为比值0/0为不确定量，所以我们必须对下式加以改变。当电场E的方向平行于入射平面时可得E_tan(0_0)_cos0sin0一cos0sin0_cos0一cos0(sin0/

Etan(0+0.)cos0sin0+cos0.sin0.cos0+cos0.(sin0./如果0=0.=0，利用斯涅尔定理有n一n—12n一n—12n+n类似地，对于垂直于入射平面的E有E，_sin(00)_Esin(0+0)0sin0cos0一cosE，_sin(00)_Esin(0+0)0再根据斯涅尔定理’如果0=0,=0，则可得

因此在法向入射的情况下，对于与入射面垂直和平行的E来说,其反射波幅值Eq与入射波幅值E0两者比值的结果是相同的。_3、波的能量或是强度与E或B的模的平方成正比(S=£0c2ExB以及E=(c/n)B))，并且反射强度/,与入射强度I,之比为__I,E、n—nr=(尹)2=(1——)2IEn+n此式表明，在法向入射的情况下，边界上的反射是折射率之差的平方的函数。4、在法向入射的情况下，反射系数和折射系数变成了R=皿[门R=皿[门+门T2nT=2—［门+门它们满足1+气=7；和1+写气的关系。5、若媒质1是理想介质’媒质2是理想导体32=0),则七=T，T=。；即入射波在边界上完全反射。16、介质1区域内的总电场的瞬时值为E(t)=Re[Eem]=eE(1+R)cos(wt一kz)一eE2Rsinkzsinwtxm1xm1上式中的第1项表示它是向着Z方向传播的平面电磁波，我们称其为行波；第2项是幅度随着z按照正弦变化的电磁振荡波，我们称之为驻波，形成驻波的条件是产生波的全反射，即由入射行波与反射行波叠加而形成驻波。驻波的平均功率流密度为零，没有电磁场能量的传输，只有电场能量与磁场能量的交换。上式描述的行波与驻波的混合状态称为行驻波。7、可以将驻波理解为向着z方向传播的一个平面波，它的振幅为e*前面的模值，即E」=E[1+R2+2Rcos(2k1z)]i/2―E_一___一一H=—m[1+R2—2Rcos(2kz)]i/2门i这两个式子是以为变量，以九/2为周期的周期性函数，其性质分以下两种情况讨论：(1)若丑2>七，电磁波是由光密媒质入射到光疏媒质上，这时R>0在2kz=—2m(n=O,1,2,)，即z=—nk/2处，为电场振幅的最大ii点和磁场振幅的最小点，这时Ej=E=E(i+R)H=H=^m(i—R)imin门i在2k]z=—(2n+!*(n=0,i,2,)，即z=—(2n+1)人/4处，为电场振幅的最小点和磁场振幅的最大点，这时Ej=E.=E(1—R)H=H=£m(1+R)1max门1场强振幅的最大点处称为波腹，场强振幅的最小点处称为波节。可见，当电磁波由光密媒质入射到光疏媒质上时，分界面处为电场的波腹、磁场的波节；而距离分界面人/4处，为电场的波节和磁场的波腹。i(2)反之，若门2〈气，电磁波是由光疏媒质入射到光密媒质上，这时R<0,电场的波腹和波节的位置与上述情况正好相反。电场或磁场的最大振幅与最小振幅之比被定义为驻波比或驻波系

数（VSWR），记做S，即TOC\o"1-5"\h\z—max=maxminmin反之，也可用驻波系数Sw表示反射系数|R1-R1+R1-R1+RK=min=minWEmaxHmax同样，也可用行波系数Kw表示反射系数|R多媒体课件展示：9.6全折射与全反射1、当电磁波以某一入射角入射到两种媒质交界面上时，如果反射系数为0,则全部电磁能量都进入到第二种媒质，这种情况称为全折射。出现全折射时对应的入射角就是布儒斯特角。为B0=0=arcsinj—^2—'12发生全折射时，折射角与入射角的关系为sin0=]fsin0=J1—sin20=cos0'2因此有0+0=-tB2提示：一个极化在任意方向的均匀平面波，当它以布儒斯特角入射到两种媒质的分界面上时，其平行分量发生全折射，结果使得反射波成为一个垂直极化波。光学从圆极化光中获得“偏振光”的起偏器就正是利用了这一原理。2、当电磁波入射到两种媒质交界而上时，如果反射系数|R|=1，则投射到界面上的电磁波将全部反射回第一种媒质中，这种情况称为全反射。3、发生全反射的最小入射角是sin0=1时的角，我们称其为临界角，t记做0C，即可得sin0=:*2”2

c*”i1对于一般非磁性媒质，因为七=*2=*0，所以sin0=[%'i多媒体课件展示:9.7反射波的相位变化提示：为了讨论方便，将入射场与反射场之间的关系重写如下当E垂直于入射平面时：E'=sm,t?i)Eosin(0+0)。tan(0-0八当E平行于入射平面时：B'=-t1Botan(0+0)o1、当入射波从折射率较大的介质被反射时，可知，对于与入射平面相垂直的电场分量而言，入射场与反射场的方向在边界处是相反的，即如果n2〉n，则电场的垂直分量的相位将会发生1800的变化。2、对于法向入射波来说，如果％＞气，那么不论电场相对于入射平面的角度是多少，反射时其相位都将改变1800。3、对于切向入射，即0.T兀/2，这时反射波与入射波的传播方向相同,这时有k=k'于是两个电场和两个磁场具有相同的相位关系，因而当e.T兀/2时，--i入射电场和反射电场的相位相差1800。多媒体课件展示：9.8各向异性媒质中的平面波在本书的所有分析中，我们所考虑的介质都是各向同性的，即在介质的任一点上沿各个方向的性质都是一样的，外加电磁场的取向并不影响介质的性质；同时我们又假设折射率为实数，也就是说介质是“无损耗的”，此外，我们还认为介质是均匀的：即它们没有缺损或杂质，结构上处处完全一致。然而，实际的介质并不是均匀的，不均匀处就象一些小的分界那样，在介质中会产生反射。固体材料中的空穴就是这样的例子，假设空穴为一真空，那么当波穿过空隙时，其折射率的值将先从介质时的值减小到真空时的值，然后又很快变回为前者。正如我们在上面所讨论的那样，空隙除了会引起折射率变化之外,还会使波产生反射。所以，介质如果是很透明的话，那么它一定得尽可能地均匀。成粒子状的气体和液体就是透明的，当然在第7.6节中所讨论的那些能吸收波谱的特殊介质除外。在电磁波谱的可见光范围内，这些介质由于会吸收特定频率的波段将会呈现一定的颜色，否则它们就是透明的。对于实际的介质来说，不均匀性只是问题的一个方面。另一个更重要的问题，介质的性质往往可能会与外加电场或磁场的取向有关。我们将这种电磁特性与外加电磁场方向有关的媒质称为各向异性媒质，也就是说，这种媒质的介电常数£、磁导率R或电导率^与外部电场或磁场的取向有着密切的关系。尽管实际情况中可能只是上述三个参数中的某一个参数与外部电场或磁场有关，但它毕竟从整体上来说，已对各向同性媒质所衍生出来的理论和分析方法产生了影响。描述各向异性媒质的参量将不再是标量而是张量，但麦克斯韦方程的形式不变。等离子体和铁氧体在恒定外磁场的作用下都具有各向异性的特征，对电磁波的传播有很大影响。当平面波在磁化等离子体中传播时，会出现双折射效应和法拉第旋转效应。前者是指，一个线极化波入射这种媒质时，折射波会分解为两个传播方向不同的波；后者是指，线极化波在该媒质中沿外加磁场B0方向纵向传播时，其极化面会以B0为轴发生旋转；而当横向传播时，波将会分为独立的两种波：寻常波和非寻常波。而当一个线极化波入射到饱和磁化铁氧体这样的媒质中时，折射波会分解为两个波数不同的波；当纵向传播时，它同样具有法拉第旋转效应，且不可逆。当横向传播时，一个波为寻常波，另一个波为非寻常波。本章要点归纳波在边界上被反射或透射时，其频率不会发生变化。'总结2.入射波、反射波和透射波均在同一平面上传播，这个平面就是入射平面。入射角。,等于反射角气。折射率为n1的介质中的入射角0,与折射率为n2的介质中的折射角之间的关系由斯涅尔定理即折射定理所给定。nsin0=nsin02t1i如果E平行于入射平面，则反射波的电场强度E0与入射波的电场强度E0之比为E_tan(0-0)Etan(0+0.)如果E与入射而垂直，则E_sin(0-0)Esin(0+0.)如果E平行于入射平面，则透射波的电场强度E与入射波的电场强o度E0之比为

E”E0=

0如果E垂直于入射面，则_2E1+tan0cot007.垂直极化波的电场反射系数E门cos0—门cos0=―o=*8.9.垂直极化波的电场折射系数平行极化波的电场反射系数平行极化波的电场折射系数2qcos0i+门cos0门cos0一门cos0

门cos0+门cos01i2t2ncos0一a;i门cos0+门cos01i2