第七章 层次分析法

第七章层次分析法（3课时）层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂（T.L.Saaty）于上世纪70年代初，为美国国防部研究，根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案日常生活中有许多决策问题。举例在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义）可行性（难度、周期和经费）和人才培养。8.1层次分析法概述人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。层次分析法(AHP法)是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。8.2层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而彳主彳主缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：建立递阶层次结构模型；构造出各层次中的所有判断矩阵；层次单排序及一致性检验；层次总排序及一致性检验。下面分别说明这四个步骤的实现过程。2.1递阶层次结构的建立与特点应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若十个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。例1假期旅游有尸、P、P3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。I在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。2.2构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成〃小块，你可以精确称出它们的重量，设丸，…,W，现在，请人估计这〃小块的重1n量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量）此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。设现在要比较〃个因子X={X,...,X}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能1n提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子X和X，以a表示X和X对Z的影响大小之比，iJjiJ全部比较结果用矩阵4=（a）表示，称a为z-X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若*与X对Z的影响之比为.，则X与X对Z的影响iJJJi之比应为a=上。Jaij定义1若矩阵a=（a）满足（i）.>0，⑴a=（i,J=1,2,...,n）j力aij则称之为正互反矩阵（易见a=1，i=1,…,n）。关于如何确定a^.的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1〜9标度的含义：标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6,8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素j与因素j的重要性之比为。，那么因素/.与ij因素i重要性之比为〃=X。jaij从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1〜9标度最为合适。最后，应该指出，一般地作〃（孔-1）次两两判断是必要的。有人认为把所有2元素都和某个元素比较，即只作〃_1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统彳主彳主是难以避免的。进行41!次比较可以提供更多的信息，通过各种2不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。2.3层次单排序及一致性检验判断矩阵人对应于最大特征值人皿'的特征向量w，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的十扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阳的元素还应当满足：・.一（1）ajak=akVi,j,k=1,2,…,n''定义2满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵4是否严重地非一致，以便确定是否接受4。定理1正互反矩阵4的最大特征根人必为正实数，其对应特征向量的所max有分量均为正实数。4的其余特征值的模均严格小于人。max定理2若4为一致矩阵，则（i）4必为正互反矩阵。（ii）4的转置矩阵Ar也是一致矩阵。（iii）4的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank（4）=1（同样，4的任意两列也成比例）。（iv）A的最大特征值人=n，其中〃为矩阵A的阶。人的其余特征根均为max零。（V）若4的最大特征值人对应的特征向量为w=（w，…,W广，^"=wi，jTOC\o"1-5"\h\zVi,j=1,2,…，n，艮。wwwrr...—www12nwww—2—2…—24=www12n.........www…www12n定理3昨阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征木技=n，且当max正互反矩阵a非一致时，必有人>孔。max根据定理3,我们可以由人是否等于孔来检验判断矩阵a是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖七..，故人比孔大得越多，a的非一致性程度也就越严ljmax重，人对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映或=（X,...,X｝在对因素max1nZ的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i）计算一致性指标aCI=入max-"n一1（ii）查找相应的平均随机一致性指标显。对n=1,…,9，Saaty给出了RI的值，如下表所示：n123456789RI000.580.9021.411.45RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1〜9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值'，并定义RI=入max-n。n一1（iii）计算一致性比例°&CICR=——当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。2.4层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。设上一层次(人层)包含气,…,A共^个因素，它们的层次总排序权重分别为a1,...,a。又设其后的下一层次G层)包含〃个因素气,…,b，它们关于人.的层次单排序权重分别为8,...M(当B与A无关联时，b=0)。现求£层中各因1JniJ.素关于总目标的权重，即求3层各因素的层次总排序权重八...M，计算按下表所示方式进行，即b”『，i=1,…,n。J=1A层&a\RmB层总排序权值如^12blmmKjb2b金i坛2b*m£bg**VJbumSbg对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。设b层中与A相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，J求得单排序一致性指标为CI(J)，(j=1,...,m)，相应的平均随机一致性指标为RI(J)(CI(J)、RI(J)已在层次单排序时求得)，则B层总排序随机一致性比例为zC'（j）aCR=j11RI（j）aj=1当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。求得单排序一致性指标为CI(J)，8.3应用层次分析法的注意事项层次分析法的优点系统性一将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；实用性——定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；简洁性一计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限囿旧一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；粗略——该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。；主观一从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。8.4层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。AHP方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。例2选拔十部模型对三个十部候选人y1、y2、y3,按选拔十部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系构成如下层次分析模型假设有三个十部候选人y1、y2、y，按选拔十部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下3层次分析模型

准则展构造成对比较矩阵准则展比较第i个元素与第j个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重气来描述。设共有n个元素参与比较，贝K=（气）心缶称为成对比较矩阵。成对比较矩阵中％的取值可参考Satty的提议，按下述标度进行赋值。aij在1-9及其倒数中间取值。.aij=1，元素i与元素j对上一层次因素的重要性相同；.aij=3，元素i比元素j略重要；.aij=5，元素i比元素j重要；.a「=7，元素i比元素j重要得多；

.a”=9,元素i比元素j的极其重要；.a”=2n,n=1,2,3,4,元素i与j的重要性介于a”=2n1与a”=2n+1之间；.w•,n=1,2,...,9,当且仅当a=n。,ji成对比较矩阵的特点：""'、""""y.。（备注：当i=j时候，a..=1）对例2，选拔十部考虑5个条件：品德x，才能x，资历x，年龄x，群1234众关系x。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：511-21-71-nl-n2111-21-71-nl-n211-41-31-3531-21174123a14=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄重要。作一致性检验从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有aa*二a了但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。检验成对比较矩阵A一致性的步骤如下：.计算衡量一个成对比矩阵A（n>1阶方阵）不一致程度的指标CI：侦［^rruix（，）-门其中Amax是矩阵A的最大特征值。注解.从有关资料查出检验成对比较矩阵A一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数有关。.按下面公式计算成对比较阵A的随机一致性比率CR：.判断方法如下：当CR<0.1时，判定成对比较阵A具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A，直到达到满意的一致性为止。例如对例2的矩阵531-3531-311531-9-1174123211-41-31-31-_VI-51-5计算得到1——""一、,查得RI=1.12,这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。该特征向量标准化后变成u=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087》。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔十部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。求A的特征值的方法可以用MATLAB语句求A的特征值：〔Y,D〕=eig(A)，Y为成对比较阵的特征值，D的列为相应特征向量。在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值入max(A)和相应特征向量的近似值。定义=遛=1&切"''"、'"“.：，：,.七可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。计算"1寸(叫_1宁二］n会％n2；=炒见可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由入来判断矩阵A的一致性。层次总排序及决策现在来完整地解决例2的问题，要从三个候选人y1,y2，y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选Ay=y,y,y分别比较他123们的品德(X)，才能(x)，资历(x)，年龄(x)，群众关系(x)。12345先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵经计算，B的权向量

31(Y)=(0.082,0.244,0.674)z=3.002,C/=0.001,名=<0.1HlU.OO故B1的不一致程度可接受。3xi(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较1-3-11-31-3-11-35通过计算知，相应的权向量为幕Y)=(0.606,0.265,0.129)"心¥)=(0.429,0.429,0.143)^心¥)=(0.636,0.185,0.179)"心心(丫)=(0.167,0.167,0.667)"它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知,12受。最后计算各候选人的总得分。y1的总得分必（J/1）==1的翊=0.457x0.082|0.263x0.606I0.051x0.429|0.104x0.从计算公式可知，七的总得分3(y1)实际上是y1各条件得分3(y),3(y),...,3(y)，的加权平均，权就是各条件的重要X11x21x51性。同理可得y2,Y3的得分为3(y2)=0.243,3