空间解析几何与向量代数简介课件

空间解析几何简介向量及其线性运算数量积向量积*混合积空间平面及其方程空间直线及其方程二次曲线及其方程二次曲面及其方程空间解析几何简介向量及其线性运算1数量关系

—第一部分向量第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法

—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何数量关系—第一部分向量第二部分空间解析几何在三维空2四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影

向量及其线性运算四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的3表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段

M1

M2,或

a,表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢4规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,5二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则6空间解析几何与向量代数简介课件72.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式83.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a9ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规10向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上11坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:122.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的13四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:14五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式152.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称16方向余弦的性质:方向余弦的性质:17*三、向量的混合积第二节一、两向量的内积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积*三、向量的混合积第二节一、两向量的内积二、两向量的向量积18一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称

记作内积(点积，数量积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹19记作故2.性质为两个非零向量,则有记作故2.性质为两个非零向量,则有203.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律214.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角22例2.

已知三点AMB.解:则求故例2.已知三点AMB.解:则求故23为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体24二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与251.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向262.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律证明:2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3274.向量积的行列式计算法4.向量积的行列式计算法28例4.已知三点角形

ABC

的面积解:如图所示,求三例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求29一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,

方向与旋转方向符合右手法则,向径一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴30*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作312.混合积的坐标表示设2.混合积的坐标表示设323.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对33例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.34例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,35内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:36混合积:2.向量关系:混合积:2.向量关系:37第三节一、平面的方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程第三节一、平面的方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及38定义：设是中一个平面，定义如上，则中与二维子空间正交的非零向量称为平面的法向量；平面的所有法向量添上零向量组成的一个一维子空间，中以平面的法向量为方向向量的直线称为平面的法线。设在中给定一个平面，采用线性代数的术语来描述平面，是中的一个集合，则集合是中的一个二维线性子空间。反之，给了中一个二维子空间，存在中的平面使得实际上，任取点记则可充当平面的，可见这种平面有无限多。定义：设是中一个平面，定义如上，则中与二维子空间39①一、平面的方程设一平面通过已知点，法向量是称①式为平面的坐标形式方程（点法式）。故称为平面的向量形式方程。①一、平面的方程设一平面通过已知点，法向量是称①式为平面40还可以采用两个参数来表述平面。设是的一个二维子空间。设是两个不共线的向量。设是一个固定点，设

是上的任意点，则并得到平面的参数方程。还可以采用两个参数来表述平面。设是的一个二维41例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方42此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:此平面的三点式方程也可写成一般情况43特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.44二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面45特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.特殊情形•当D=0时,Ax+By+46例2.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的47三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为48特别有下列结论：特别有下列结论：49因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+50外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到51例6.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而例6.解:设球心为求内切于平面x+y+z=52内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式532.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:54第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方551.参数方程设直线上的动点为则已知直线上一点和它的方向向量或者这两个方程称为直线的参数方程。一、空间直线方程1.参数方程设直线上的动点为则已知直线上一点和它的方向向562.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量2.对称式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为57因此其一般式方程3.一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程3.一般式方程直线可视为两平面交线，58例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线59故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点60二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角61特别有:特别有:62例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例2.求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦63当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间64特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线651.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结66直线2.线与线的关系直线夹角公式:直线2.线与线的关系直线夹角公式:67平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关68第五节二次曲线定义：设在中取定了正交坐标系，则有形如的方程所确定的点的轨迹统称二次曲线，其中二次项系数不全为零。第五节二次曲线定义：设在中取定了正交坐标系，则有69消去交叉项若，要利用旋转坐标变换使得在新坐标系下方程不含交叉项。其中待定。消去交叉项若，要利用旋转坐标变换使得在70则方程在新坐标系下变为其中那么当有则方程在新坐标系下变为其中那么当有71无交叉项方程简化及曲线分类标准方程：（1）设，用配完全平方法，记无交叉项方程简化及曲线分类标准方程：（1）设72分类（1），不妨设椭圆一点无轨迹双曲线过原点的两直线分类（1），不妨设椭圆一点无轨迹双曲线过原点的两直线73（2）设，不妨设,则（2a）设，有（2b）设，有分类（2），抛物线两条平行直线无轨迹一条直线（2）设，不妨设74第六节二次曲面定义：设在中取定了正交坐标系，则有形如的方程所确定的点的轨迹统称二次曲面，其中二次项系数不全为零。（同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项）第六节二次曲面定义：设在中取定了正交坐标系，则751.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆标准方程有如下16种：1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆标准方程有76与的交线为椭圆：(4)同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)与的交线为椭圆：(4)同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时772.3.2.3.784.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:4.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴79虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴805双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面5双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:816.二次锥面（椭圆锥面）椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①6.二次锥面（椭圆锥面）椭圆在平面x＝0或y＝0827.椭圆抛物面8.双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕

z轴的旋转抛物面.7.椭圆抛物面8.双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=839、椭圆柱面10、直线11、无轨迹12、一对相交平面9、椭圆柱面10、8413、双曲柱面14、抛物面15、一对平行平面16、平面13、双曲柱面14、85斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面平面解析几何和空间解析几何的一些比较斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于86空间解析几何简介向量及其线性运算数量积向量积*混合积空间平面及其方程空间直线及其方程二次曲线及其方程二次曲面及其方程空间解析几何简介向量及其线性运算87数量关系

—第一部分向量第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法

—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何数量关系—第一部分向量第二部分空间解析几何在三维空88四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影

向量及其线性运算四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的89表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段

M1

M2,或

a,表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢90规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,91二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则92空间解析几何与向量代数简介课件932.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式943.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a95ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规96向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上97坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:982.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的99四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:100五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式1012.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称102方向余弦的性质:方向余弦的性质:103*三、向量的混合积第二节一、两向量的内积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积*三、向量的混合积第二节一、两向量的内积二、两向量的向量积104一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称

记作内积(点积，数量积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹105记作故2.性质为两个非零向量,则有记作故2.性质为两个非零向量,则有1063.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律1074.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角108例2.

已知三点AMB.解:则求故例2.已知三点AMB.解:则求故109为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体110二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与1111.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向1122.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律证明:2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(31134.向量积的行列式计算法4.向量积的行列式计算法114例4.已知三点角形

ABC

的面积解:如图所示,求三例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求115一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,

方向与旋转方向符合右手法则,向径一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴116*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作1172.混合积的坐标表示设2.混合积的坐标表示设1183.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对119例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.120例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,121内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:122混合积:2.向量关系:混合积:2.向量关系:123第三节一、平面的方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程第三节一、平面的方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及124定义：设是中一个平面，定义如上，则中与二维子空间正交的非零向量称为平面的法向量；平面的所有法向量添上零向量组成的一个一维子空间，中以平面的法向量为方向向量的直线称为平面的法线。设在中给定一个平面，采用线性代数的术语来描述平面，是中的一个集合，则集合是中的一个二维线性子空间。反之，给了中一个二维子空间，存在中的平面使得实际上，任取点记则可充当平面的，可见这种平面有无限多。定义：设是中一个平面，定义如上，则中与二维子空间125①一、平面的方程设一平面通过已知点，法向量是称①式为平面的坐标形式方程（点法式）。故称为平面的向量形式方程。①一、平面的方程设一平面通过已知点，法向量是称①式为平面126还可以采用两个参数来表述平面。设是的一个二维子空间。设是两个不共线的向量。设是一个固定点，设

是上的任意点，则并得到平面的参数方程。还可以采用两个参数来表述平面。设是的一个二维127例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方128此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:此平面的三点式方程也可写成一般情况129特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.130二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面131特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.特殊情形•当D=0时,Ax+By+132例2.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的133三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为134特别有下列结论：特别有下列结论：135因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+136外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到137例6.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而例6.解:设球心为求内切于平面x+y+z=138内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式1392.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:140第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方1411.参数方程设直线上的动点为则已知直线上一点和它的方向向量或者这两个方程称为直线的参数方程。一、空间直线方程1.参数方程设直线上的动点为则已知直线上一点和它的方向向1422.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量2.对称式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为143因此其一般式方程3.一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程3.一般式方程直线可视为两平面交线，144例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线145故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点146二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角147特别有:特别有:148例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例2.求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦149当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间150特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线1511.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结152直线2.线与线的关系直线夹角公式:直线2.线与线的关系直线夹角公式:153平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线