2023高考真题知识总结方法总结题型突破：36 二项分布、超几何分布与正态分布问题(学生版)

专题36二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【知识总结】1．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：类型救死扶伤的医务类除暴安良的警察类百花齐放的文化类公平正义的法律类人数30202030在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：(1)求a的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学习成绩是否有关，对本年级成绩在前50名与后50名的学生进行了调查．得到的数据如下，根据表中数据，能否有95%的把握认为视力与学习成绩有关？前50名后50名近视4032不近视1018(3)自从“党的十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视．近年来该市空军飞行员录取情况喜人，继2019年该市有6人被空军航空大学录取之后，2020年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了该市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三年级学生的视力，现从全市视力不低于4.8的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.8794．《健康中国行动(2019－2030年)》包括15个专项行动，其中全民健身行动提出鼓励公众每周进行3次以上、每次30分钟以上中等强度运动，或者累计150分钟中等强度或75分钟高强度身体活动，日常生活中要尽量多动，达到每天6千步～10千步的身体活动量，某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计他们的日均步行数(均在2千步～14千步之间)，得到的数据如下表：日均步行数/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人数1224a24b9频率0.080.160.40.16c0.06(1)求a，b，c的值；(2)“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于m千步的教职工进行奖励，为了使全校30%的教职工得到奖励，试估计m的值；(3)在第(2)问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机抽取3人，设这3人中日均步行数不低于10千步的人数为X，求X的分布列和均值．5．为了加强食品安全监管，某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器，符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号，下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表．使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220以频率估计概率．(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台，求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率；(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台，记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ，求ξ的分布列与均值．6．某学院为了调查本校学生2021年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)．7．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和均值；(3)假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为x1，x2，…，xn的平均数)8．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．9．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的方式可供选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展).A市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的8人中，2名是男生，6名是女生).(1)若从样本中随机选取一名小学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，他佩戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名佩戴角膜塑形镜的小学生中，随机选出3人，求其中男生人数X的分布列；(3)若将样本的频率当成估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20名小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．10．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－16\x\to(x)2)))≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．用样本平均数eq\x\to(x)作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)≈0.9973；0.997316≈0.9577，eq\r(0.008)≈0.09．11．“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的互联网学习平台．该学习平台采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治、经济、文化、社会、生态，表现形式有图片、文字、视频、考试、答题、互动等，让人们的生活充实而有质量．某市为了了解教职工在“学习强国”平台的学习情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学习强国”中获得的积分(单位：千分)并将样本数据分成[1，3)，[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)以样本估计总体，该市教职工在“学习强国”获得的积分近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取σ＝2.3．若该市恰有1万名教职工，试估计这些教职工中积分ξ位于区间[4.4，11.3]内的人数；(2)若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学习“学习强国”的要求与该市相同，教职工的人数也与该市教职工的人数相当)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3千分至9千分内的教职工人数为X，求X的均值E(X)．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．12．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．(1)按照分层抽样的方法，从[40，50)和[80，90)中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自[40，50)的人数为X，求X的分布列和均值；(2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ为周末运动时间的平均数eq\x\to(t)，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(43.9，87.7]之外的人数为Y，求P(Y＝3)(精确到0.001)．参考数据1：当t～N(μ，σ2)时，P(μ－σ<t≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<t≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<t≤μ＋3σ)≈0.9973．参考数据2：0.81869≈0.16506，0.18143≈0.0060．13．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28(吨/天)的确定为“超标”社区：垃圾量X[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5]频数56912864(1)在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值eq\x\to(x)(精确到0.1)；(2)若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别近似为(1)中样本的平均值eq\x\to(x)，方差s2，经计算s约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与均值．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973．14．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20～10：40记作[80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20～10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，σ2用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)．附：若随机变量T服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤T≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)≈0.9973.15．面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)；(2)若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124mm的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，0.977210≈0.7940，0.954410≈0.6271.16．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定到2020年年底，实施生活垃圾强制分类的城市，生活垃圾回收利用率要达到35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾量超过28吨/天的确定为“超标”社区．垃圾量X/吨[12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)[24.5，27.5)[27.5，30.5)[30.5，33.5]频数56912864(1)通过频数分布表估算这50个社区这一天的垃圾量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替，精确到0.1)；(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)17．某市2020年年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的频数分布表如下表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率)．质量指标值[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)频数2010301525(1)规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为eq\f(80,3)，乙厂生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布Ν(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，并已求得σ≈11.95.该厂决定将消毒液分为A，B，C三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级，高于38.45的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题．(ⅰ)甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数．(ⅱ)已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位：元)的关系如下表所示．等级ABC出厂价X302516假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4000万元，问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9974.18．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若同一组数据用该组区间的中点值作代表．①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))；②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，求P(54<X<64)的值；(2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y)．参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ