飞项世军本问题是一个典型预测要求我们根据已有数据结合人口特

1首先，进行数据预处理，通过对附录中所给数据的分析，发现只有2005年的数2005本文进一步改进，将2001-2004年第四阶段的率进行基于递增数列均值差的非等Leslie2005把不同不同地区不同的人口出生率与率按人口比例得出各年总人口的出生率与率考虑到在中短期内人口的出生率与死与率，并以此得到反映人口发展变化规律的Leslie矩阵，得（2而在长期预测中其出生率与率应该有所变化根据以往几年的出生率与死亡率，预测出长期内各年的出生率与率，并重新构造Leslie矩阵，利用C语编程进行模型求解（8205015.12005为基准来未来人口进行预测，在对偏微分方程的求解过程中，本了适当降维简化，利用Romberg（）求积公式计算得到了较为合理的结果，并与第一个些有效性的建议，有助于实现国家的人口发展目标。2等趋势平滑处 离散型人口预测模 连续偏微分人口预测模 ）求积公 熵权问题通过分析问题的附录1《国家人口发展，可以发现近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，化进程加速、出生人口比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长。数据，运用数学建模的方法，人口做出分析和预测是一个重要问题。比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长。2007年初发布的《国家人口发展》(附录1)还做出了进一步的分析。关于口问题已有多方面的研究并积累了大量数据资料附录2就是《中试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据，建立口增长的数学模型，并由此人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要模型中的优点与不足之处。模型1、在人口数量进行预测时，不考虑人口迁入国境和迁出国境的情况，即认为2、短时期的各个年份内不考虑因为或生活水平对出生率与率的影响3、假设90岁以及90岁以上的人口都看成是90岁4、在短期的人口预测中，其各个的人口率以及各妇女的率均保持问题的分

问题的分析与数据预处关于中国未来人口数量这个问题，前人做了许多研究工作。人口的预测模型有一元线性回归法、自回归法、指数函数法、幂函数法、多元回归模型法、灰色系统法、F其中较为著名的是19世纪中叶荷兰物学家Verhulst阻滞增长模型Logistic[1]到结构比例等因素的影响事实上在人口预测中人口按分布以及按分布状况是非常重要的，因为不同人的率和率有着很大的差那么二者人口的发展状况将大不一样同样如果二者的比例不同，与化程度比例不同地区的人口分布状况妇育率等因率以及迁移本文结合具体的背景资料不考虑人口迁移所带来的影响对于出生率本文认为其与国家政策以及人口素质有关对于率其与2005（2001－20042005大，且其很好地反映了现实中各个的人口数随的增长而呈现的规律，因此，2005数据的预处基于5.1中对问题的分析，又因为在短时间内每年各个上的人口数量规律相差不大，所以本文以2005年的数据为标准数据，来对2001－2004年的数据进行规范通过分析本题在附件中所提供的城市、乡镇、农村各段的率、比例年的人口数据尤其是不同地区各的率及育龄期女性各的率这些对预处理。因为2005年的数据真实度最大，且其很好地反映了现实中各个的人口数随的增大而呈现的规律，因此，我们认为2005年的数据是正常数据，它不但spss13.0、2001—2004因为在短时间内每年各个上的人口数量规律相差不大所以我们以2005年的2001－20042001—2004年的率及率的失真性很大而其他数据失真不明显我们主要依据这两种因素对数据做相应的处理。1、针对率的处理我们建立了率分段模型考虑到不同地区、不同以及不同上人口率的数据差异很大，我们从人口结构的实际情况出发，同时考虑率数据大小将分为四个阶段：0——阶段Ⅰ（出生时期1-39岁——阶段Ⅱ（青40-60岁——阶段Ⅲ（中；首先，分别计算2004年和2005年同一地区同一下不同阶段内的率的平2005为2004年各个上的率（处理前及处理后的数据分别见附录一）886420率率城城城镇女率率城市女农率率城农村女率率图 2004年40－60岁人口率处理前的分布状城城镇女率率城市女农率率城城城镇女率率城市女农率率城农村女率率0-886420率率城城城镇女率率城市女农率率城农村女率率图 2004年40－60岁人口率一次处理后的分布状0-城城镇女率率城市女0-城城镇女率率城市女农率率城农村女率率首先对阶段Ⅳ的各上的人口率不做等趋势平滑处理，而是在2005年数k(k=1,2,3…30),用k除以各k的累加和作为权值，然后乘以2004与2005年阶段Ⅳ各段的人口率之和作为修正值加到2005年的数据上，即得到2004年对应各段的人口率（见附录一）率率率率86420城城镇女率率城市86420城城镇女率率城市女农率率城农村女率率城率城市女率城率城镇女率农率农村女率00率率0- 0- 城城镇女率率城市女农率率城农村女率率率50 50 城城镇女率率城市女农率率城农村女率率从上边图表（图7、图8）中可以看出，阶段处的“阶梯效应”已经被很好的2、对率的预处由于2001—2004年的率存在着很多的零值，我们使用分段线性插值后的数据

模型20061,2,年，用t表示年份；20050依次记、女性为第⑴、⑵，用s表示；依次记市、镇、乡为第Ⅰ区域、Ⅱ区域、Ⅲ区域，用i表示r：表示各个xrt：该函数表示在第t年 为r的人口数量；[万人rxst：该函数表示在第t年 为 为r的人口数量；[万人rrxist：该函数表示在第t年，在i区域 为r 为s人口数量；[万人r，brt：该函数表示在第t年 为r的中国 ，rbt：该函数表示在第t年 为r的中 妇女人数占 中国总人数的rrbit：该函数表示在第t年 为r的在第i个区域 妇女人数占该区域r妇女总人口的比例；即区域 育率drt：该函数表示在第t年， 为r的 率；即在第t年， 为r的 ，rdist：该函数表示在第t 为r的在第i个区 为s的人口 人数占，r区域总人口的比例；即区 率reist：该函数表示在第t年 为r的在第i个区 为s的人口数占该区r为s的总人口的比例；即区域比率n1t：表示第tn2t：表示第t年的人口化程度，即第t年老年人人口总数占总人口的比例r0：妇女开始r1：妇女进行的最大系式但在此之前我们认为口数量较大可以将总的人口数目看成是时间t的连续函数，则人口数量变化可用微分方程建立的人口增长模型[1]。但由于对于不同的人口，其率是不相同的，所以率不仅是时间的函数，也是年龄的函数；而对于出生率，刚出生的人口是0岁，而对于其他，是不存在出生率、建立第t年、为r即当前时刻 为r的总人口数目对时间的一阶微分应等于人口出生率t0dxrtbt*xtdt*xtbtdt*xt

其中btbt

xst r, 1,...,r xr出生率、率都是时间和的函数，则上面的微分方程就有90个，分别求解这90Leslie由上述微分方程，取微分变量dt1 t1

txt1t1bt

r

bt

1

t1

r

bt1dt*

1 就可以求出后一年的人口数和人口关于的分布，且无后效性，即后一年的结果只与其前一年结果和前一年该人口的率和出生率有关，下面利用这个结论来对对于r010

x1

brr

d

t*x0t r对于1r88时，由式（1—3）可知后一年r1岁的人口数量为前一年r岁人 的人口，且bt0；r

1对于r89时，由式（1—3）可知后一年r1岁的人口数量为前一年r岁的人口减去的人口，以及前一年未的大于或等于90岁的人口；且同样有rbt0；但根据假设3可以知道rLeslie

145Leslie、首先要对各个率与各上妇女的由题目的介绍可知各个率与各妇女的率是相对于人口来说女的各个率与各个妇女的 2对于为r的人口用i地区且为s的人口所占总人口的比例乘以该人口的率（题中已给出，然后对不同地区、的人口种数进行加和处理，就得到了以往各年各个总的率与各妇女的率；233

xist

r即：dr

r*d

t,,

3ri1s1xr 3r

xi2t

i

br

r*brt,

ri1x2 r根据以上（1—7）式可以计算出从2001年到2005年各个的总率；其结根据以上（1—8）式可以计算出从2001年到2005年各妇女的率；根据间一般取15岁到49r015r149r14r50时，有brt0，基于此结论进行计算，其结果见附录二。Leslie

b90t0 0

L

1d1t0

1

1 1dt

1d89t

xt1

式就可以推出第t年的人口数量为： 1549r14r时，有brt0从网上的相关资料[2]查得2005年的总人口xrt130756（万人，根据题r所提供的2005年人口比例的数据，求得2005年各个的人口数目如下表 2005年各个的人口数目012345678人口数目（9x0

Leslie根据式（1—12，利用C语言编程（见附录三）进行求解，可以预测出未来短期几年或十几年的人口总数以及各的人口数目。未来短期内各年份的预测结果如表 未来十几年人口总数预测值人口总数（万人预预测人口年年、人口化的研由假设5可以知道，要研究口的化，就要计算出中龄人在总人口中所占的比例，当此比例达到一定的值时，就可以判断口是否已经达到的程度，比如摘至题中的一句话，一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口超过7%，或60岁及以上老年人口超过10%，那么该人口就属于老年型。表 中国各年份分的化程度表（认为60岁以上为人化程度表 中国各年份分的化程度表（认为65岁以上为人化程度人人口比50655065岁以上的人口比60岁以上的人口比，由以上数据及其图像可以发现我龄化程度在就近这几年里将持续增长，、出生人口比例的预测此处以前5年的出生人口比为依据，通过分析其前5年人口比的特征，并结合现实情况，选择一元线性回归模型对未来短时间内的出生人口比进行预2000 20102000 2010 2020 2030年年比比图11未来我国人口出 比发展趋势比从其预测结果可以看出，我国人口出生比例在未来一段时间内几乎呈线性增口比的不断增大，该预测结果符合现实情况。首先通过分析前5年市、镇、乡三者之间的比例关系，并结合现实中三者之间人口的表 人口比 12在短期预测中，我们假设人口出生率和人口率是恒定的，当用来预测有不同的人口出生率和人口率，所以我们的处理方法是，把未来一个长时期内比50的不同年份，我们仍假设它们具有相同的人口出生率和人口率，这样处理之后首先我们从相关[3]上找到了中国在过去将近60年内的各个年份的总人口数目以及相应年份的人口出生率和人口率，其相关数据如下：表 中国1950—2000年各年的出生率和率出生率率、用曲线拟和方法综合考虑实际情况和变化趋势分别对人口出生率率进行指数分布拟和和线性拟和，从而预测得到较为符合未来85年的人口出生率和人口率如、表 未来85年的人口出生率和人口率预测出生率率—2001—二2006—三2011—四2016—五2021—六2026—七2031—八2036—九2041—十2046—2051—2056—2061—2066—2071—2076—2081—2086—根据以上预测数据，运用C（程序见附录四）求解，可以得出一个较长表 未来85年总人口预测值（万人（万人（万人（万人年人口数量（万人2090口仍然维持在14亿以上，所以要使口数量达到某一合适较小的数量，还得经表 （万人（万人（万人（万人（万人（万人-

模型、人口发展方程使人口数量和结构变化的因素不外乎出生和迁移，由于此处、为研究任意时刻不 的人口数量，本文引入人口的分布函数和密度函数，刻t小于r的人口称为人口分布函数，记作F(r,t)，其中

(t0变量，设F是连续、可微的，时刻t的人口数记为N(t)，最高记作rm，在这里，我们取rm90，F(rt)，有

,,),(

2p(r,t)p(r,t)dr表示时刻 在r,rdr内的人数

2记(r,t)为时刻t 在区间r,rdr内的 率，其含义是：(r,t)p(r,t)dr表示时刻t 在r,rdr内单位时间 为了得到p(r,t)所满足的方程 时刻 在r,rdr内的人到时刻tdt 变为rdr1,rdrdr，这里dr1dt。而在dt这段时间内的人数为(r,t)p(r,t)drdt。于是有[p(r,t)drp(rr1,tdt)]dr(r,t)[p(rdr1,tdt)p(r,tdt)]dr[p(r,tdt)p(r,t)]dr(r,t)注意到如果有dr1dtpp(r,t)p(r,

2 上式即为人口密度函数p(r,t)的一阶偏微分方程，其中率(r,t)为已知函数。p(r,0)p0r)；单位时间出生的婴p(0tf(tpp(r,t)p(r,t);t,r

p(r,0)p0

2 p(0,t)

fp(r以后，立即可以得到各 的人口数，即人口分布函rF(r,t)0p(s,r

2模型的求，不太长时率大致与时间无关，于是可近似地假设(r,t)(r)。这时上式（2-4），p(r,t)p0(r

rrr

,0t

2 f(tr)e0(s)ds,t20052005未来各年的人口总数目；在拟合人口分布函数时，先求出2005（0）r岁以前的人口数目，则对于一个，就有一个人口数目与之相对应，则其函数形式为：F(r,t)Fr,0,其中r从上面定义可以看出Fr,0是关于r的离散函数，利用数学工具，对取得的数据表11各种预测方法接近程度比较表ModelSummaryandParameterModelRF61041-72-2-3-68-1DependentVariable:Theindependentvariableis图142005年个人口分布函因此由图中各近函数可得到人口分布函数的解析式为同理可以预测出人 率函数以及婴儿出生率函数，其函数解析式如下 ft0.12t23.207t13.053；、根据式（2—2）prpr,0Fr,024.926r2738.607 、经过以上的处理之后，利用式（2—4）p0,tft；利用此式也可以确定一个定解条件pr,tpr,t(r,t)p(r, p(r,0)p(r)24.926r 2p(0,t)f(t)0.12t23.207tr,00.004r20.13r即rrtr,02由于上式的积分很难用INT函数积出来，因此这里利用Romberg（）求积1250（万人（万人（万人（万人结果的优鉴于以上三种模型都可以预测出2006－2021各年的总人口数但三者之间有一定人人口数 年短期离散型预 长期离散型预 连续型预13熵权预测法预测的各年人口数值结果分率 模式由于p0(r)和(r)可以通过人口的统计与预测得到，(r,t)(r,0粗略估计。这样，为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注和可以作为控制的就是婴儿出生率f(t)。记女性性别比函数为k(rt)，即时刻t年龄在rrdr的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr，将这些女性在单位时间内平均每人的人数记作b(r,t)，在这里本f(t)15b(r,t)k(r,t)p(r,再将b(r,t)定义 b(r,t)(t)h(r,其中h(r,t)满 15h(r,t)dr于 (t)49b(r,f(t)(t)15b(r,t)k(r,t)p(r,由上式可以看出，(t)的直接含义是时刻t单位时间内平均每个育龄女性的数。如果所有育龄女性的在其育龄期所及的时刻都保持这个数，那么(t)也表示平均每个女性的医生的总和数，所以称(t)为总和率。平

N(t)0p(r,R(t)190rp(r,

22N(t)，平均S(t)表示时刻t出生的人无论活到什么时候率都按时刻t的(r,，S(t)90e0(r,tt

2S(t)实际上是预估，根据统计资料得到当前的率(r,0)后就可以算出S(0)化指数

其定义为(t)R(t)，显然平 R(t)越大，(t)越大；S对于R(t)相同的两个国家或地区，平均S(t)大的表示健康水平高，一个人在一 依赖性指数

(t)N(t)L(t)l2[1k(r,t)]p(r,t)drl2k(r,t)p(r,

2 其中[l1,l2]和[l1,l2]分别表示是和女性有劳动能力的区间，L(t)是全体人口中(t)表示平均每个劳动者要供养的人数。8果分析与1、由中短期的预测结果可以看出，在最初十几年里，总人口数量是逐年递增的而此时中国妇女的率不是很高出这种情况的原因是我国人口基数过大2、由长期的预测结果看来，口将在2050年出现一个值，达到15.12050年，口将出现负增15，1：1.2，所以为了社会稳定的人民的生活质量必须加大措施避免这种情况的进一步加剧，比如，可以出台对于那些只了，，的家庭以适当的经济的精神慰藉还可以强加一些强制措施来调控出生，是不利的，所以国家5、从总人口化程度上看，口化程度非常高，在二十年代以后，化程度将超过20%，甚至将近达到30%左右，造成抚养比很高的情况，所以中国在加强的同时，又不能抓的太紧，即还要保持一定的出生率，维持整个人口的结构，不能让化程度过高等。综上所述，中国必须加大对我国人口宏观调控的力度，在保证有一定出生率的前提下，实行，注重提高人口的质量，并适当开展一些鼓励措施，鼓励那些只了的夫妇。并且还要加大对农村基本建设的投资，关注“三农”问题，把我国建设成一个和谐的。、模型的优

9型的评价与拓1Leslie矩阵模型，通过人口增长无后效性的特点，建立Leslie矩阵，即人口增长矩阵，从而依次求出以后各年的总人口以及各年中各的人口数。这种模型可以用来研究各种生物群落的发展，方法直观易懂，可移植性好。另外我们还建立了续的人口预测模型，用该模型来进行口的长期预测，并用此模型求解的结果与前一离散模型求解得到据进行一个合理的转换，我们用的基本方法是人口比例法，从而使问题得到的预测失真而对整体人口率的影响。、模型的缺