整式的乘法与因式分解复习

关于整式的乘法与因式分解复习第一页，共五十八页，2022年，8月28日整式的乘法同底数幂的乘法:am.an=am+n幂的乘方：(am)n=amn积的乘方:(ab)n=anbn预备知识1.单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。如4a2yx5.(-3ab2x)2.单项式乘以多项式：转化单项式乘以单项式m(a+b+c)=ma+mb+mc再如（ab2-2ab).ab如（-4x2).(2x-y-1)3.多项式乘以多项式：转化单项式乘以多项式(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如(x-y)(x2+xy+y2)相反变形难点am+n=am.anamn=(am)nan.bn=(ab)n第二页，共五十八页，2022年，8月28日想一想a2a3a5+=(1)a2aa2·=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2()3=x5(4)··47(6)(-5)(-5)=511(-3)2·33=(-3)5(7)2(5)35a·2a=10a6(3)a3a3=2a3第三页，共五十八页，2022年，8月28日练习一1.计算(1)100.10m+1.10m-2(2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3(4)(xy3n)2+(xy6)n(5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2)(7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3(9)(x-2y)2(y-2x)3注意：通过以上练习可知，公式中的a既可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。第四页，共五十八页，2022年，8月28日2.(1).-x2y2.xyz(2)(a2+ab-0.6b2).(-a2b2)(3)(2x+y)(x-3y)(4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n)(6)若ab2=-1,则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少？第五页，共五十八页，2022年，8月28日比一比算计(1)3x2()3-7x3[]x3-x4x2+1()a2()-2b2a+2b()-2ab(a-b)(2)先化简，再求值:其中a=1,b=21.第六页，共五十八页，2022年，8月28日公式的逆向使用（3）已知2m=3，2n=5，求23m+2n+2的值.

第七页，共五十八页，2022年，8月28日1、若10x=5,10y=4,求102x+3y+1的值.2、计算：0.251000×（-2）2001注意点：（1）指数：相加底数相乘转化（2）指数：乘法幂的乘方转化（3）底数：不同底数同底数转化第八页，共五十八页，2022年，8月28日

（3）

（1）0．12516·(－8)17；（2）逆用公式即

第九页，共五十八页，2022年，8月28日公式的反向使用

试用简便方法计算:(ab)n=

an·bn

（m,n都是正整数）反向使用:an·bn=

(ab)n(1)23×53;(2)(-5)16×(-2)15(3)24×44×(-0.125)4;第十页，共五十八页，2022年，8月28日整式的乘法1.单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式逆运算预备知识am÷an=am-n当m=n时，规定：a0=1(a≠0)整式的除法1.单项式除以单项式2.多项式除以单项式3.多项式除以多项式单项式相除，把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。如20x4y2z÷(-x3y2)(-2a2b3c)2÷a3b2单÷单转化(a+b)÷m=a÷m+b÷m如(0.25a2b-0.5a3b2-a4b3)÷(-0.5a2b)初中阶段不学习am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn特例乘法公式1.平方差公式2.完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相反变形因式分解第十一页，共五十八页，2022年，8月28日(1)(-a)8÷(-a2)(2)-5a5b3c÷5a4b3(4)-3a2x4y3÷(-axy2)(5)(4×109)÷(-2×103)=-a6=-ac=3ax3y=-2×106(3)6m2n÷(-2mn)=-3m第十二页，共五十八页，2022年，8月28日(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c)(3

)(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2小测=a8b4c2=–10(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2=4x2y2第十三页，共五十八页，2022年，8月28日练习1.计算(1).x15÷x6(2).(-xy)10÷(-xy)8(3)a2m+4

÷am-2(4).(x-2y)4÷(2y-x)3(5).(-a)5÷a32.计算(1).-3a7b4c÷9a4b2(2)28x4y2÷7x3y(3)4a3m+1÷(-8a2m-1)(4).8(m+n)5÷(-(m+n)3)(5).(8a2+ab+a)÷a(6).已知一个多项式除以多项式a2+4a-3所得的商式是2a+1,余式是2a+8,求这个多项式。第十四页，共五十八页，2022年，8月28日

计算（一）：（1）（2x＋3）（2x－3）（2）（－x＋2）（－x－2）（3）（－2x＋y）（2x＋y）（4）（y－x）（－x－y）

(5)1998×2002填空(1).(a+)2=a2+6a+。(2).(2x-)2=4x2-+25(3).a2+b2=(a-b)2+。(4).(x-y)2+=(x+y)2第十五页，共五十八页，2022年，8月28日想一想下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？(-x+6)(-x-6)=-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1)=(2)(3)(-2xy-1)(2xy-1)=1-2xy2第十六页，共五十八页，2022年，8月28日计算(1).(5a+3)(5b-3)(2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4)(4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2(6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2(8).(-2x2-3y)2第十七页，共五十八页，2022年，8月28日选择已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab=()(1)（A）1（B）-1（C）0（D）1或-1(C)(D)(2)如果4x+12xy+k是一个关于x、y的完全2平方式，则k=()(A)(B)3y29y2y36y2AB第十八页，共五十八页，2022年，8月28日选择（3）如果a+a1=3,则a2+a21=()(A)7(B)9(C)10(D)11所以=9a+a1()2所以a+a1=922+2A故aa1=72+2因为a+a1=3解：第十九页，共五十八页，2022年，8月28日选择(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是（）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b-12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算=[a-(2b-3)][a+(2b-3)]=a2-(2b-3)2=a2-(4b-12b+9)2=a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：第二十页，共五十八页，2022年，8月28日是一个关于x、y的完全平如果4x2+kxy+9y2方式，则k=()填空第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日因式分解1.运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=

.2).(a+b)(a-b)=

.3).(a+b)2=

.2.试一试填空:1).ma+mb+mc=m•()2).a2-b2=(

)(

)3).a2+2ab+b2=()2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?a+b+ca+ba+ba-b第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日

一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。定义第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日理解概念判断哪些是因式分解?

(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9

因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法两者都不是第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法.1)ma+mb+mc=m(a+b+c)2)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日注意事项1)首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一

个因式再考虑其他方法。x3-4x2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。x4-2x2y2+y43）因式分解要彻底。4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日找出下列各多项式中的公因式找一找公因式系数字母35a6a２b各项系数的最大公约数取每项中含有的相同字母问:多项式中的公因式是如何确定的？指数相同字母的最低次幂第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日易

错

分

析1、把下列各式分解因式：

1）18-2b²

2)x4–1第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日2.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）4X²+y²B.4x-(-y)²-4X²-y³D.-X²+y²2)-4a²+1分解因式的结果应是（）-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)DD第三十页，共五十八页，2022年，8月28日拓展提高1.把下列多项式因式分解1).6x(a+2b)2-3x(a+2b)2).(b-a)2-2a+2b3).a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日1)13.8×0.125+86.2×2)0.73×32-0.32×633)33+112+664)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.巧计妙算18第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日3.解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日()(

)＋－x2－16练习：分解下列各式:（1）x2-16

解：(1)（2）9m2-4n2

xx４４(

)(

)＋－a2b2－aabb(

)(

)＋－＝……①＝x2－4242x2＝(2)9m2-4n2

3m3m(

)(

)＋－a2aabb……②

＝(3m)2－(2n)2(2n)2(3m)2＝b2－＝2n2n第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日平方差公式的应用题：

1、利用分解因式简便计算

(1)652-642 (2)5.42-4.62(3) (4)解:652-642=(65+64)(65-64)=129×1=129

解:5.42-4.62=(5.4+4.6)(5.4-4.6)=10×0.8=8答案:5答案:28第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日提高题：2、已知,,求（a+b）2-(a-b)2的值。解:(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab当，时，原式=4××

=第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日3、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差

(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日思考：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2什么关系？第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2用他们可以把一个三项式分解因式的特点：两项是两个数(式）的平方另一项是加上(或减去)这两个数（式）积的两倍第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日完全平方例题讲解(1)x2-4x+4

=x2-2·2x+22=(x-2)2a2+2a+1=a2+2·a·1+12=（a+1）2a2+10a+25=a2+2·a()+()2=(a+)2555

X2+12ax+36a2=X2+2·x·6a+(6a)2=(x+6a)2第四十页，共五十八页，2022年，8月28日小练习(2)4a2+25b2-20ab=(2a)2-2·2a·5b

+(5b)2=(2a-5b)2

-8x2y-2x3-8xy2

=-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)2第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日动手做已知x=a+2b,y=a-2b，求:x+xy+y22第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日活用乘法公式求代数式的值

1、已知a+b=5，ab=-2，求（1）a2+b2（2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知a2-3a+1=0，求（1）（2）3、已知求x2-2x-3的值第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日4.若(x-m)2=x2+8x+n,求mn的值5.若9x2-mx+4是一个完全平方式，求m的值6.若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求5mn的值第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日7.在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为完全平方式，则应添。8.在式子中加上一个单项式使之成为完全平方的形式，则应添。第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日9.若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，

A应为。10.若x2+2mx+36是完全平方式，求m的值第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日11.已知：a+b=5,ab=3,求a2+b2的值12.已知：a-b=3,a2+b2=17，求(a+b)2的值13.已知：ab=12,a2+b2=25,求(a-b)2的值第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日14.已知：m2+n2+4m-6n+13=0,求mn的值。第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日考查知识点：（当m,n是正整数时）1、同底数幂的乘法：am·an=am+n

2、幂的乘方:(am

)n=amn

3、积的乘方:(ab)n=anbn

4、合并同类项:计算：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4

-(-x10)(-x)2解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免