华师版初中九年级数学HS下册教案（全一册）

第26章二次函数

课题：二次函数

【学习目标】

1.通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识.

2.掌握二次函数的概念，列出实际问题中的二次函数关系式.

【学习重点】

掌握二次函数的概念，列出二次函数关系式.

【学习难点】

理解变量之间的对应关系，并会求白变量的取值范围.

一、情景导入生成问题

（敌学环节指导

JI.什么是一次函数？

答：形如），=心一+〃（%#（）,k,力为常数）的函数为一次函数.

行为提示：点燃激情，引发2.列出下列问题中的函数关系式，它们有什么共同特点？

学生思考本节课学什么.（1）矩形周长为20,其面积），与一边长x的函数关系式；

（2）圆的面积S与半径，•之间的函数关系式；

（3）矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将其长与宽都增加xcm,则面积增

加yen?,试写出y与x的函数关系式.

行为提示：认真阅读课本，答：（l）y——x2+IOx；（2）5—“（3）y—『+7大.共同特点：都是关丁白

独立完成“自学互研”中的题变量的二次式.

目，并在练习中发现规律，从猜

测到探索到理解知识.二、自学互研生成能力

知识模块一二次函数的概念

阅读教材P2〜P4，完成下列问题：

问题：什么是二次函数？

知识链接：判断二次函数的方法，答：形如产加+法+或小b,C是常数，4#0）的函数叫做二次函数，

函数化简整理后满足：①函数的其中4,b,C分别是二次项系数，一次项系数，常数项.

表达式是整式；②自变量的最高的例：卜列函数属于二次函数的是（B）

次数是2；③二次项系数不等于

A.+1B.y=2—x2

0.若满足就是二次函数，否则就不

是.C.y=A-x2-D.y=（x—I）2—x2

仿例I：对于二次函数：v=7-3x+冗/，它的二次项系数，一次项系数

和常数项分别为（C）

A.7,-3,1B.7,-3,nC.n,—3,7D.1,

-3,7

仿例2：下列关系中，为二次函数的是（B）

A.大米每千克4元，购买数量x（kg）与所付钱数y（元）

B.圆的面积S（cn】2）与半径r（cm）

C.矩形的面积为20cm2,两邻边长Mem）与y（cm）

D.已知7TC）随时间《h）的变化

仿例3：已知函数)，=("尸一/〃)/+〃次+(〃?+1)(机是常数)，当m为何值时：

行为提示：列二次函数关系(1)函数是一次函数；

式要注意实际问题中自变量取值(2)函数是二次函数.

范围，求自变量取值范围时，注解：(l)m=l；(2)*0且mW1.

意题目条件限制和图形限制等.知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式

范例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有〃?人患了感冒，假设每轮

传染恰好每一个人传染n个人，则m与n之间的函数关系式为阳=(1+/?尸.

仿例1：某车的刹车距离)，(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次

函数尸主f(Q0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为

(C)

A.40m/sB.20m/sC.1Om/sD.5m/s

仿例2：一个长方形的周长是20cm,一边长是xcm,则这个长方形的面

积"cm?)与x(cm)的函数关系式是v=—/+10x,自变量x的取值范围是

0<.r<10.

仿例3：如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度

为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽A3为x(m),面积

为S(nf),则S与x的函数关系式为S=—3/+24X,自变量取值范围是之

<x<8.

仿例4：多边形的对角线条数d与边数〃之间的关系式为d=\K,

自变量〃的取值范围是“23且为整数;当d=35时，多边形的边数〃=的.

仿例5：如图，等腰直角△A4C的直角边长与正方形

行为提示：找出自己不明白MNPQ的边长均为20cm,4c与MN在同一条直线上，开

的问题，先对学，再群学，对照始时点A与点N重合，若△ABC以2cm/s的速度向左运动，

答案，提出疑惑，小组内解决不最终点A与点”重合，则重叠部分的面积Mem》与时间r(s)

了的问题，写在小黑板上，在小之间的函数关系式为尸皆(20-2/)2(()WXW10)

组展示的时候解决.

三、交流展示生成新知

.|傀|预|屐

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展

示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再■次通过小组间

就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑

板上，通过交流“生成新知”.

行为提示：教会学生整理反思.屐除I楣升

知识模块一二次函数的概念

知识模块二列出实际问题中的二次函数1.1■表达

式

8、检测反债达成日林BC

见学生用书.

i.课后反思查漏补缺

1.收获：_______________

2困惑：

课题：二次函数丁=加的图象与性质

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数），=加的图象，掌握二次函数的性质.

2.经历探索二次函数），=加的图象与性质的过程，能运用二次函数），=62的图象及性质解决简单的实际问题,

掌握数形结合的数学思想方法.

【学习重点】

会面二次函数1y=aP的图象，理解有关概念及图象性质.

【学习难点】

对二次函数研究的途径和方法的体悟.

教学环节指导3.对于函数y=f,取一些心y的对应值在坐标系内描点，这些点会在

同一直线上吗？

答：不会.

行为提示：点燃激情，引发二、自学互研生成能力

学生思考本节课学什么.知识模块一二次函数y=aF的图象

阅读教材Ps〜P6，完成下列问题：

问题：二次函数＞=公2的图象是怎样的？

答：二次函数），=加的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，），轴是它

的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点是抛物线的顶点.

范例：关于二次函数），=/与丁=一/的图象，下列叙述正确的有（A）

①它们的图象都是一条抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它

们的图象都经过（0,0）；④二次函数），=『的图象开口向上，二次函数y=一

x2的图象开口向下.

A.4个B.3个C.2个D.1个

行为提示：认真阅读课本，仿例：函数），=aF与）=—〃丫+〃的图象可能是图中的（B）

独立完成“自学互研”中的题

目，并在练习中发现规律，从猜

测到探索到理解知识.

知识模块二二次函数y=ad的图象与性质

问题：二次函数），=加的图象与性质是什么？

答：二次函数），=/的图象是一条抛物线，①当。＞0时，抛物线的开口

向上，图象有最低点；当。＜0时，抛物线的开口向下，图象有最高点；②抛

物线的对称轴是y轴，顶点生标是（0,0）；③当。＞0时，在对称轴左侧，图

知诙链接：二次函数,=加⑺之。）象呈下降趋势，），随工的增大而减小，在对称轴右侧，图象呈上升趋势，y随

的图象开口方向和开口大小分别x的增大而增大.

由a决定，当〃＞0时，开口向上；

当4Vo时，开口向下，开口的大

小由同决定，同越小，抛物线的开

口越大；⑷越大，抛物线的开口

越小.

一，情景导人生成问题

1.用描点法画函数图象有哪些

步骤？

答：列表、描点、连线.

2.一次函数、反比例函数的图

象是什么？

答：一次函数的图象是一条直

线，反比例函数的图象是两条双曲

线.

范例1：函数），=-6.F的图象开口向上，顶点坐标是（0,0）,对称轴是工

轴，当x=Q_时，函数），=一6尸有最大（选填“大”或“小”）值，这个值为0.

仿例I：在抛物线），=一；/中，当工<0时，），的值随x的增大而增大，

行为提示：要灵活应用二次

函数图象性质，必须结合图象来当工乂）时，），的值随x的增大而减小.

进行做题，一定要多画草图，这

仿例2：下列四个二次函数：①/二/；②y=-Zv2；③『；®y=3.r,

是求解函数题的关键.

其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.

范例2：抛物线y=-AT上有两点（XI,.V1）,（X2,），2），若X1VYO,则.”今2.（比

较大小）

仿例I：已知函数y=（/〃+口方后+山一4是二次函数，当x>0时，y随x

的增大而减小，则阳=二3.

仿例2：如图，。。的半径为2,G是函数）=3『的图象，。2是函数），

=一3炉的图象，则阴影部分的面积是”.

仿例3：若点（内，5）和点i>2，5）&I#X2）均在抛物线产加上，则当工=力

+4时，y的值是（A）

A.0B.1（）C.5D.-5

三、交流展示生成新知

质腐颐I显

I.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展

示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间

就上述疑难问题相互释疑.

行为提示：教会学生怎么交2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑

流，先对学，再群学，充分在小板上，通过交流“生成新知”.

组内展示自己，分析答案，提出

疑惑，共同解决.知识模块一二次函数的图象

知识模块二二次函数y=av2的图象与性质

6、检测反馈达成目林

见学生用书.

A.课后反思查漏补缺

1.收获：______________________________________

2.困惑：________________________________________

课题：二次函数），=aF+A的图象与性质

【学习目标】

1.能解释二次函数y=o?+A和），=加的图象的位置关系，掌握y=加上、下平移规律.

2.体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y=aF与3，=加+&相互转化的过程.

【学习重点】

抛物线y=o?+&的图象与性质.

【学习难点】

理解抛物线），=加与），=加+攵之间的位置关系.

一、情景导入生成问题

I教学环节指导J二次函数），="的图象性质是怎样的？

答：二次函数），=,小的图象是一条抛物线，对称轴是），轴，顶点为原点，

行为提示：点燃激情，引发当。>0时，开口向上，在对称轴左侧，），随工增大而减小，在对称轴右侧，），

学生思考本节课学什么.随x增大而增大；当〃<0时，开口向下，在对称轴左侧，），随X增大而增大，

在对称轴右侧，y随X增大而减小，且间越大，开口越小，间越小，开口越大.

二,自学互研生成能力

行为提示：教会学生看书，知识模块一抛物线.\=加+女与），=〃/之间的平移

自学时对于书中的问题一定要认阅读教材PLTV完成下列问题：

真探究，书写答案，教会学生落问题：）=0X2+攵与y=av2之间有何关系？

实重点.答：二次函数丁=奴2+L是由y=加平移因个单位得到的，Q0,向上平

移，k<0,向下平移.

范例：（郴州中考）将抛物线y=f+l向下平移2个单位，则此时抛物线

的表达式为v=—-l.

知炽链接：二次函数y=axL仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼比得到对方的是

+2的药象是由二次函数y=aF（D）

的图象向上或向下平移因个单位A.丁=21与y=3fB.,y=；x2+2与¥=2/+号

得到的，当k>0时，向上平移，

当K0对，向下平移.C.），=*与y=/+2D.），=f+2与），=/一2

知识模块二二次函数,v=aF+k的图象与性质

问题：二次函数旷=加+2的图象与性质是怎样的？

答：一般地，抛物线），=加+女的对称轴是y轴，顶点是（0,k）,当心0

时，开口向上，顶点是最低点；当。<0时，开口向下，顶点是最高点.

范例1：抛物线），=；『一9的开门向上，对称轴是曲，顶点坐标是以

—9）,它可以看做是由抛物线），=:『一1向上平移8个单位得到的.

行为提示：二次函数），=加+%的

图象与性质要结合平移来记，顶仿例:抛物线尸一^f+1与抛物线产加+C•关于X轴对称，则4=]

点变，其他不变.

C=—\.

范例2：一抛物线的顶点坐标为（（），5）,形状与抛物线x2相同，

在对称轴右侧，了随x增大而减小，则该函数关系式为（A）

行为提示：求二次函数A.y=~y[2x2+5B.y=-5f+啦

的表达式，一般先依题意设出适C.y=-5f-陋D.y=y[2/-5

当的函数式，然后依据图象上点仿例：抛物线），=-：W+4与k轴交于8,C两点，顶点为人，则△加《

的坐标代入所设函数式，得到一

个方程组，从而求出函数表达式.的面积为（B）

A.8B.8/C.4D.4-72

三、交流展示生成新知

袤|」|预|屐

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展

示在各小组的小黑板匕并将疑难问题也板演到黑板上，再i次通过小组间

行为提示：找出自己不明白的问就上述疑难问题相互释疑.

题，先对学，再群学，对照答案,2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑

提出疑惑，小组内解决不了的问板上，通过交流“生成新知”.

题，写在小黑板上，在小组展示

的时候解决.知识模块一抛物线），=加+上与），=。必之间的平移

知识模块二二次函数IA的图象与性质

四、检测反馈达成目标

见学生用书.

五.课后反思查漏补缺

1.收获：____________________________________________

2.困惑：____________________________________________

课题：二次函数y=a（x—〃）2的图象与性质

【学习目标】

1.会用描点法画二次函数），=。（/一力）2的图象，掌握），=。。一〃尸的图象与性质.

2.理解抛物线y=a{x-h^与》，=加之间的位置关系.

【学习重点】

二次函数y=a（x—h）2的图象与性质.

【学习难点】

把握抛物线），=加通过平移后得到），=〃。一/?）2时平移的方向和距离.

一、情景导入生成问题

教学环节指导

IJ1.二次函数），=加+©〃70）的图象与性质是什么？它由y=aF如何平

移得到？

行为提示：点燃激情，引发学生答：函数yuaf+MaWO）的图象是一条抛物线，对称粕是y轴，顶点是

思考本节课学什么.（0,女）.当〃＞（）时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当〃＜0时，抛

物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.当a＞0时，在对称轴左侧。＜0）,,，

随x的增大而减小，在对称轴右侧（x＞0）,y随x的增大而增大.

行为提示：认真阅读课本，2.二次函数），=加+女的图象是由y=a:r的图象上、下平移I川个单位得

独立完成“自学互研”中的题到的.

日，并在练习中发现规律，从猜二、自学互研生成能力

测到探索到理解知识.知识模块一抛物线尸小一〃）2与），=加之间的平移

阅读教材P“〜P|3，完成下列问题：

问题：二次函数），=。（%—/?）2如何由y=aF平移得到？

答：二次函数），=。（工一〃）2是由y=a*向左或向右平移|川个单位得到，当

知识链接：力＞0时，向右平移；当力＜0时，向左平移.

1.由抛物线），=加向右平移范例：将抛物线），=-2@一9一向左平移4个单位后，所得抛物线的表

k（k＞0）个单位,则y=a（x—2）2向

左平移©Q0）个单位，则y=a（x达式为v=—2^±.£）__

十八

2.抛物线平移对应的二次项2

仿例：将抛物线产守。+2）2沿工轴向五平移上个单位，得到抛物线），

系数。相等；

3.抛物线的平移规律是“左2

=3（L1）2.

右平移，左加右减；上下平移，

上加下减”.知识模块二抛物线,v=a（x-/z）2的图象与性质

问题：抛物线y=a（x-h?的图象与性质是什么？

答：抛物线），=4（X—A）?的性质：对称轴是直线％=力，顶点坐标为（力，0）,

。＞0时，在对称轴右侧y随X的增大而增大，在对称轴的左侧y随X的增大而

减小，图象有最低点，函数有最小值；。＜（）时，在对称轴右侧y随x的增大

行为提示：y=a（x—h）2由y而减小，在对称轴的左侧），随x的增大而增大，图象有最高点，函数有最大

=a1左右平移得到，注意顶点对值.

称轴的变化，函数增减性叙述的范例：抛物线＞=-9。+12）2的开口向王，对称轴为直线一=一12,顶点

变化.坐标是（一12,（））；当x＜—12时,y随x的增大而增大；当」＞—12时,y随x

的增大而减小；当尸一12时,函数），有站（选填“最大”或“最小”）值.

仿例：己知A（—l,y）,B（-2,”），C（3,券）三点都在二次函数产一

2（x+2）2的图象上，则V,%，1y3的大小关系是,Y3＜yi＜V2-

三、交流兼示生成所知

gm

।.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展

示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间

行为提示：教会学生怎么交流，就上述疑难问题相互释疑.

先对学，再群学，充分在小组内2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑

展示自己，分析答案，提出疑惑,板上，通过交流“生成新知”.

共同解决.展除I提I升

知识模块一抛物线y=a(x-h)2与y=a^之间的平移

知识模块二抛物线y=a(x—〃)2的图象与性质

R、检测反馈达成目林

见学生用书.

五、课后反思查漏补矮

I.收获：__________________________________________

2.困惑：______________________________________

课题：二次函数），=4（%一人）2+上的图象与性质

【学习目标】

1.掌握抛物线》=。。一/?）2+攵与），=aF的图象之间的关系，熟练掌握函数、=。（工一力2+4的有关性质，并能用

函数），=。。一/?）2+上的性质解决一些实际问题.

2.经历探索y=〃（x—力产+左的图象与性质的过程，体验），=〃（工一力）2+”与丁=混，），=加+匕y=〃（x—力产之间

的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.

【学习重点】

二次函数y=a（x+h）2+k的性质.

【学习难点】

二次函数y=a（x+h）2-^-k的图象与性质的运用.

一、情景导入生成问题

（敌学环节指导

J1.填写下表

图象性质开口方最大/对称轴左

行为提示：创景设疑，帮助顶点对称轴

函数向最小值侧增减性

学生知道本节课学什么.

当K0时，

y=-1f

下(0,0)y轴最大值0y随x增大

而增大

行为提示：教会学生看书，当xvO时，

最小值一

自学时对于书中的问题一定要认y=2r—1上(0,-1)y轴y随x增大

1

真探究，书写答案，教会学生落而减小

实重点.当x<-4

y=-3(x4-直线时，

下(-4,0)最大值0

4)2x=-4y随x增大

而增大

知诙链接：二次函数_y=a（x—力产

2.抛物线），=；f-2,0-2）2是由y=L『如何平移得来？

十攵的图象是由y=aF的图象向

左（或右）平移|川个单位，再向上答：抛物线），=《*一2是由抛物线），=3/向下平移2个单位得到，），=

（或下）皿移因个单位得到的，平移

规律是上下平移变常数项，上加I（x—2）2是由），=；/向右平移2个单位得到.

下减；左右平移变自变量，左加JJ

右减.二、4学互研生成能力

知识模块一抛物线y=a（x-h）2+k与产加之间的平移

阅读教材PM〜Pis,完成下列问题：

2

问题：抛物线y=a（x—/??+4如何由y=ax平移得到？

答：一般地，抛物线）=如一〃）2+女是由抛物线），=加向上（下”向左（右）

平移得到的，平移的方向、距离要依据力，々的值来决定.

范例：（无锡中考）将抛物线y=2（x+l）2—3向右平移I个单位，再向上平

移3个单位，则所得抛物线的表达式为日式.

仿例：（扬州中考）将抛物线y=f+l先向左平移2个单位，再向下平移3

个单位，那么所得抛物线的函数表达式是（B）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x+2）2-2

C.y=（x-2）2+2D.y=（x-2）2-2

知识模块二抛物线），=〃。一"）2+/的图象与性质

问题：抛物线尸心一方尸+2的图象性质是怎样的？

答：抛物线y=a（x—。尸+攵有如下特点：当>0时，开口向上；当〃<0

时.，开口向下，对称轴是直线X=力，顶点是（九桂从图象可以看出，如果a>0,

当时，），随x的增大而减小，当x»时，y随x的增大而增大，如果.<0,

当xv〃时，y随x的增大而增大，当Q/7时，y随x的增大而减小.

范例：抛物线丁=-3（》一2）2+1的对称轴是直线x=2,当人必时，y的

值随x的增大而增大，当x注时，1y的值随x的增大而减小；有最大值，当x

=2_时，这个值等于L

仿例：（泰安中考）对于抛物线丁=一：（K+I）2+3,下列结论：①抛物线

的开口向下；②对称轴为直线4=1；③顶点坐标为（-1,3）；④第>1时，y随

x的增大而减小.其中正确结论的个数有（C）

A.1个B.2个C.3个D.4

行为提示：熟记y=a（x—h）2个

+2的图象与性质并用它解决问三、支流展示生成新知

题，已知顶点坐标可直接代入求.|傀|预|屐

〃，k的值.注意平移时a不变，1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展

绕原点旋转180°,〃变为原数的示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再■次通过小组间

相反数.就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑

板上，通过交流“生成新知”.

品隗Ei

知识模块一抛物线y=a（x-h）2+k与），=加之间的平移

行为提示：教会学生怎么交流，知识模块二抛物线），=〃（工一力）2+々的图象与性质

先对学，再群学，充分在小组内5、检测反债达成目标

展不自己，分析答案，提出疑惑,见学生用书.

共同解决.

五，课后反思查漏补缺

1.收获：_________________________________________

2.困惑：________________________________________________

果题：二次函数y=o?+/zr+c的图象与性质

【学习目标】

1.会用配方法将二次函数），=加十云+c的表达式写成），=。（.1一与2+&的形式；通过图象能熟练地掌握二次函

数y=av2+bx~\~c,的性质.

2.经历探索y=aF+取+c与y=a（x—，?）2+上的图象与性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象与性质解

决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.

【学习重点】

用描点法画出二次函数的图象，并指出该图象的基本性质.

【学习难点】

通过对二次函数y=aF+以+c上的一些点的分析得出关于小b,c的不等式.

一、情景导入生成问题

（敌学环节指导

J1.抛物线y=a（x—/2）2+k的图象与性质是什么？

行为提示：点燃激情，引发答：（1）顶点坐标是（人,4,对称轴是直线x=/z；

学生思考本节课学什么.（2）当。＞0时，开口向上，顶点是最低点：当。＜0时，尸口向下，顶点是

最高点.

2.抛物线,=一2。-1）2—3的开口方向是向工，其顶点坐标是（1,一3）,

对称轴是直线正1，当x＞l时，函数值y随自变量x的值的增大而减小.

行为提示：认真阅读课本，独立二、4学互研生成能力

完成“自学互研”中的题目，并知识模块一二次函数）=如2+云+。的图象与性质

在练习中发现规律，从猜测到探阅读教材口6〜Pl8，完成下列问题：

索到理解知识.问题：二次函数）=4«+/求+。的图象与性质是什么？

答：由），二加+版+4”。）配方得y=a（x+给+